第七单元《分数乘法》讲义-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

苏教版（2026修订）五年级下册第七单元《分数乘法》讲义 标题： “分”毫不差，“乘”风破浪——分数乘法全攻略 单元导航 本单元编排在新版苏教版教材五年级下册（目录显示，新版教材将原六年级的分数乘法内容提前至五年级下册教学），是继“分数的意义和性质”与“分数加法和减法”之后的重要单元。本单元核心内容包括：分数与整数的乘法、求一个数的几分之几的实际问题、分数与分数的乘法、分数连乘及倒数的认识。 第一部分 知识点梳理 知识点一：分数与整数相乘 1. 意义：分数乘整数的意义与整数乘法相同，即求几个相同加数和的简便运算。“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 2. 计算方法： 用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。能约分的可以先约分，再计算，使计算更简便。计算结果必须是最简分数。 3. 计算口诀： “分子乘整数，分母不改变；能约先约分，结果要最简。” 知识点二：求一个数的几分之几是多少 1. 意义：一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少。 2. 核心公式：单位“1”的量 × 几分之几 = 对应量 3. 找单位“1”的技巧：分率前面的量，或“占”“是”“比”字后面的量，通常是单位“1”。 知识点三：分数乘分数 1. 计算法则：分数乘分数，用分子乘分子的积作分子，分母乘分母的积作分母。计算过程中可先约分再相乘，结果要化为最简分数。 2. 注意：若算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 知识点四：分数连乘 1. 意义：求一个数的几分之几的几分之几是多少。 2. 计算方法：可以按从左到右的顺序依次计算，也可以先把所有分子和分母进行一次性约分，再相乘，计算更简便。 知识点五：倒数 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数。 2. 特殊规定：1的倒数是1；0没有倒数。 3. 求倒数的方法： （1）求分数倒数：分子分母交换位置 （2）求整数倒数：把它看作分母为1的分数，再交换位置 （3）求小数倒数：先把小数化成分数，再交换位置 第二部分 经典例题精选 例题1（分数与整数相乘·运算辨析） 下面是四个同学计算5×的过程，其中错误的是（ ）。 A. 5× = 3 B. 5× = = 3 C. 5×= ×5 = 3 D. 5×= = = 3 【解答】 四个选项的计算结果均为3，需检查计算过程是否规范。由于题干部分数据有缺失（原卷为选择题，显示部分选项），同学们在实际练习中应重点关注：分数与整数相乘时，是分子与整数相乘，分母不变。 四个选项均运用了此法则或乘法交换律，计算均正确。请注意：若其中一个选项将分母也与整数相乘（即写成 \\frac{5 \\times 3}{5 \\times 5} ），则属于错误算法。 例题2（求一个数的几分之几·实际应用） 校园里有杨树30棵，柳树是杨树的 ，槐树是杨树的 ，求槐树有多少棵的正确列式是（ ）。 A. 30× B. 30× C. 30× × 【解答】 找准“单位1”：槐树是杨树的 ，单位“1”是杨树的30棵。因此槐树棵数= 30× = 15 （棵）。正确列式为30× ，选 B。 变式训练：某农场有鸡2400只，其中是蛋鸡。蛋鸡有多少只？如果肉鸡（非蛋鸡部分）的 今天要出售，今天要卖出的肉鸡有多少只？ 解题要点：①先求蛋鸡数量（求2400的）；②求肉鸡总量（2400 − 蛋鸡数）；③求卖出的肉鸡（肉鸡数的）。所以可以用 2400××=1000只 例题3（较复杂分数乘法·综合应用） 食堂运来吨煤，用去吨后，又用去了余下的。又用去了多少吨？ 【解答】 分步分析： 1. 第一次用去后剩余量： - = - =（吨） 2. 又用去余下的 ：× = （吨） 易错提醒：注意“用去吨”是具体数量（带单位），而非占比。若题目表述为“用去”（不带单位），则理解为用去了总量的，两者列式不同！ 变式训练：一根绳子长米，第一次用去了米，第二次用去了余下的 ，这时绳子还剩多少米？ 解题要点：①注意“米”是带单位的直接量；②余下： - ；③第二次用去：余下量 × ；④剩余 = 余下量 − 第二次用去量。所以可以用 - ） × = （米） 例题4（分数连乘·实际应用） 学校合唱社团有60人，美术社团的人数是合唱社团的 ，围棋社团的人数又是美术社团的 。围棋社团有多少人？ 【解答】 连续求“几分之几”的关系： 美术社团人数 = 60× = 36 （人） 围棋社团人数 = 36× = 24 （人） 或直接用连乘算式： 60× × = 24 （人） 例题5（倒数与综合·期末高频易错题） （1）最小的合数的倒数是（ ），0.05的倒数是（ ）。 （2）判断：因为×= 1 ，所以是倒数，也是倒数。 （ ） 【解答】 （1）最小的合数是4，4可以看作，其倒数为 ；0.05 = ，倒数为20。 （2）错误。倒数是相互依存的关系——只能说“是的倒数”或“两者互为倒数”，不能单独说某个数是倒数。 变式训练：判断下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”并改正： （1）任何自然数都有倒数。 （ ） （2）假分数的倒数一定小于1。 （ ） （3） 和 互为倒数。 （ ） 解题要点：①×，0没有倒数；②×，假分数（如= 1 ）的倒数等于1（不是小于1）；③√，乘积为1即互为倒数， × = 1 例题6（分数乘分数·运算辨析） 计算：× 【解答】 先约分再相乘可使计算简便： × = = = 解题妙招：分数乘法通用法则——“能约分的先约分，先约分再相乘” ，分子与分母交叉寻找公约数，约分后再计算更简便。 例题7（分数连乘·期末综合） 一段路，第一周修了全长的 ，第二周修了第一周的，第二周修了全长的（ ）。 【解答】 在此题中，“第一周的”是把第一周修的量看作单位“1”，要求第二周修的量占全长（即最开始的单位“1”）的几分之几，需要做连乘： × = = 答：第二周修了全长的 。 例题8（积与因数大小比较·高频易错） 一个不为0的数乘后，这个数就（ ）。 A. 扩大6倍　　B. 缩小6倍　　C. 大小不变 【解答】 一个不为0的数乘小于1的真分数，积一定小于原数，且等于原数的，即原数缩小到原来的。选 B。 规律速记： 1.乘大于1的数，积大于原数 2.乘等于1的数，积等于原数 3.乘小于1的真分数，积小于原数 例题9（倒数与综合·核心素养题） 如果 a × b = 1，那么（ ）。 A. a 一定等于1　　B. b 一定等于1　　C. a 和 b 互为倒数 【解答】 根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，因此选 C。倒数是相互依存的关系，不能孤立地说某个数是倒数。 【补充】 常见的倒数对有哪些呢？自己想一想：3 和 ， 和 ，5 和 ……你还能找出更多吗？ 例题10（综合应用·拓展提高） 晨光小学五年级人数是四年级的 ，六年级人数比五年级少，已知四年级有学生120人。问：五年级比六年级多多少人？ 【解答】 1. 五年级人数 = 120× = 100 （人） 2. 六年级人数 = 100 × (1 - ) = 100× = 80 （人） 3. 五年级比六年级多 = 100 − 80 = 20（人） 第3部分 易错点汇总 学科网（北京）股份有限公司 $