辽宁省备考卷（2-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年辽宁省中考数学备考卷（2-2） 一．选择题（共10小题） 1．如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（　　） A． B． C． D． 2．在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫．将9899万用科学记数法表示为（　　） A．9.899×107 B．9.899×108 C．0.9899×109 D．98.99×106 3．人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A．m2+m2＝m4 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2•m3＝m5 5．甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”；乙、丙口袋中各装有3张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”、“美”．从这三个口袋中各随机取出1张卡片，取出的3张卡片恰好有“数”、“学”、“美”三个字的概率是（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，a与c相交于点O，OP⊥a于点O，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 8．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（5，﹣5） C．（﹣1，﹣5） D．（5，﹣1） 9．学校需采购部分课桌，现有A，B两个商家供货，A商家每张课桌的售价比B商家的优惠30元．若该校花费1800元采购款在A商家购买课桌的数量与花费2250元采购款在B商家购买课桌的数量一样多，则A商家每张课桌的售价为（　　） A．90元 B．120元 C．150元 D．180元 10．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连接OP，过点P作直线PEOA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下5℃记作　 　 ℃． 12．某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当R＝6Ω时，I＝6A，则当R＝12Ω时，I的值是　 　 A． 13．为考察学校科技实践基地丙、丁两种蔬菜的长势，数学兴趣小组从两种蔬菜中各随机抽取15株进行测量，测得两种蔬菜苗高度的平均数相同，方差分别为，，则这两种蔬菜长势更整齐的是　 　 （填“丙”或“丁”）． 14．如图，平地上一旗杆高为10米，两次观察地面上的影子，第一次太阳光线OA与地面成45°，第二次太阳光线OB与地面成27°，第二次观察到的影子比第一次长 　 　 米．（结果保留一位小数）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：． （2）化简：． 17．艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 香艾香 a 12 苦艾草 b 16 （1）求a，b的值； （2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草x（x≤100）千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y（元）最大？最大利润为多少？ 18．今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，随着科技的发展机器人在人们生活中应用广泛，某实践小组对某款AI聊天机器人的使用满意度进行了问卷调查，并对数据进行整理、描述和分析（测试满分为100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：“不满意”：60≤x＜70，“比较满意”：70≤x＜80，“满意”：80≤x＜90，“非常满意”：90≤x≤100），部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分）如下：80，81，81，82，82，83，84，84，88 根据以上信息，解答下列问题； （1）求所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数； （2）求所抽取的机器人使用满意度评分的中位数； （3）若有1000人购买了本款AI聊天机器人，请估计这1000人中对本款机器人“满意”的人数． 19．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）． （1）此时小强头部E点与地面DK相距多少厘米？ （2）此时小强头部E点是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不是，他应向前还是向后移动多少厘米，使头部E点恰好是在洗漱盆AB的中点O的正上方？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，1.41，结果精确到1cm） 20．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，且B点坐标是（0，3），∠OAB＝60°，延长BA，与x轴相交于点D． （1）求直线AB的函数表达式； （2）将菱形OABC沿x轴向右平移得菱形O′A′B′C′，设，菱形O′A′B′C′与△OBD重叠部分的面积为S． ①如图2，当点C′与在y轴上时，求S的值； ②当时，请直接写出t的值． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧DE＝50°，求∠C的度数． （3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝16，AF＝3BF，求弧BD的长． 22．初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究． 【操作探究】 （1）△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AD＝2，AB＝6． ①如图1，当点D是AB上一点时，DE＝　 　 ． ②如图2，当点D在BA延长线上时，求DE的长． 【迁移探究】 （2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝6，过点C作直线l∥AB，点M为直线AC上一动点，点N为直线l上一动点，∠MBN＝45°，点M、N都不与点C重合．当△BCN为等腰三角形时，直接写出CM的长． 23．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P（x1，y1）是图形G1上的任意一点，点Q（x2，y2）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：y＝kx+b（k≠0）满足y1≤kx1+b且y2≥kx2+b（或y1≥kx1+b且y2≤kx2+b），则称直线l：y＝kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“区分直线”． 例如：如图1，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，2），直线l：y＝﹣x﹣4是函数y（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“区分直线”． （1）在直线y1＝﹣2x，y2＝3x﹣1，y3＝﹣2x+1中，是图1函数y（x＜0）的图象与正方形OABC的“区分直线”的为 　 　 ； （2）若直线y＝﹣x+b是图1函数y（x＜0）的图象与正方形OABC的“区分直线”，且直线y＝﹣x+b与函数y（x＜0）的图象有公共点，求公共点的坐标； （3）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，点E在点D的右侧，点F在点D的上方，直角顶点D的坐标是，△EDF与⊙O的“区分直线”有且只有一条，求此“区分直线”的函数表达式； （4）正方形GHMN的边GH在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点Q（1，t）是此正方形的中心，直线y＝﹣2x+b是函数y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤4）的图象与正方形GHMN的“区分直线”． ①若t＜0，“区分直线”有且只有一条时，求t的值； ②若存“区分直线”y＝﹣2x+b，直接写出t的取值范围． 【三轮复习】2026年辽宁省中考数学备考卷（2-2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中部靠下有一条横向的虚线． 故选：B． 2．在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫．将9899万用科学记数法表示为（　　） A．9.899×107 B．9.899×108 C．0.9899×109 D．98.99×106 【解答】解：9899万＝98990000＝9.899×107． 故选：A． 3．人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．下列运算正确的是（　　） A．m2+m2＝m4 B．m6÷m2＝m3 C．（2m3）2＝4m5 D．m2•m3＝m5 【解答】解：A．m2+m2＝2m2，选项A运算错误，不符合题意； B．m6÷m2＝m6﹣2＝m4，选项B运算错误，不符合题意； C．（2m3）2＝22•（m3）2＝4m6，选项C运算错误，不符合题意； D．m2•m3＝m2+3＝m5，选项C运算正确，符合题意； 故选：D． 5．甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”；乙、丙口袋中各装有3张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”、“美”．从这三个口袋中各随机取出1张卡片，取出的3张卡片恰好有“数”、“学”、“美”三个字的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：画树状图如下： 共有18种等可能的结果，其中取出的3张卡片恰好有“数”、“学”、“美”三个字的结果有：（数，学，美），（数，美，学），（学，数，美），（学，美，数），共4种， ∴取出的3张卡片恰好有“数”、“学”、“美”三个字的概率为． 故选：C． 6．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，a与c相交于点O，OP⊥a于点O，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 【解答】解：如图所示： ∵a∥b ∴∠3＝∠1＝50°， ∵OP⊥a， ∴∠2+∠3＝90° ∴∠2＝90°﹣∠3＝40°， 故选：C． 7．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD， ∵DE＝AD， ∴BC＝DE， ∵BC∥AD， ∴BC∥DE， ∴四边形DBCE是平行四边形 A、∵AB＝BE时，AB＝CD， ∴BE＝CD， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意； B、∵CE⊥DE， ∴∠CED＝90°时， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意； C、∵∠ADB＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°， ∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意； D、∵BE⊥AB，AB∥CD， ∴BE⊥CD， ∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意． 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点A′，则点A′的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（5，﹣5） C．（﹣1，﹣5） D．（5，﹣1） 【解答】解：点A（2，﹣3）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点A′（2﹣3，﹣3+2），即（﹣1，﹣1）． 故选：A． 9．学校需采购部分课桌，现有A，B两个商家供货，A商家每张课桌的售价比B商家的优惠30元．若该校花费1800元采购款在A商家购买课桌的数量与花费2250元采购款在B商家购买课桌的数量一样多，则A商家每张课桌的售价为（　　） A．90元 B．120元 C．150元 D．180元 【解答】解：设A商家每张课桌的售价为x元，则B商家每张课桌的售价为（x+30）元， 根据题意得：， 解得：x＝120， 经检验：x＝120是原分式方程的解，且符合题意， 即A商家每张课桌的售价为120元． 故选：B． 10．如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连接OP，过点P作直线PEOA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过P作PM⊥OB于M， 由作图得：OP平分∠AOB， ∴∠POB＝∠AOP∠AOB＝30°， ∴PMOP＝3cm， ∴OM3（cm）， ∵PE∥OA，PF∥OB， ∴四边形PFOE为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°， ∴∠POE＝∠OPE， ∴OE＝PE， 设OE＝PE＝xcm， 在Rt△PEM中，PE2﹣MP2＝EM2， 即：， 解得x＝2， ∴OE＝2cm， ∴四边形PFOE的面积＝OE•PM＝23＝6（cm2）． 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上3℃记作+3℃，则零下5℃记作　﹣5　 ℃． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上3℃记作+3℃，则零下5℃记作﹣5℃． 故答案为：﹣5． 12．某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当R＝6Ω时，I＝6A，则当R＝12Ω时，I的值是　3　 A． 【解答】解：由题意知，I， ∴U＝IR＝6×6＝36（V）， ∴当R＝12时，I3（A）， 故答案为：3． 13．为考察学校科技实践基地丙、丁两种蔬菜的长势，数学兴趣小组从两种蔬菜中各随机抽取15株进行测量，测得两种蔬菜苗高度的平均数相同，方差分别为，，则这两种蔬菜长势更整齐的是　丁　 （填“丙”或“丁”）． 【解答】解：∵，， ∴． ∴这两种蔬菜长势更整齐的是丁， 故答案为：丁． 14．如图，平地上一旗杆高为10米，两次观察地面上的影子，第一次太阳光线OA与地面成45°，第二次太阳光线OB与地面成27°，第二次观察到的影子比第一次长 　9.6　 米．（结果保留一位小数）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） 【解答】解：如图所示： ∵第一次是当阳光OA与地面成45°， ∴AC＝OC＝10m， ∵第二次是阳光与地面成27°， ∴BC＝10÷tan27°≈10÷0.51＝19.6m， ∴第二次观察到的影子比第一次长：19.6﹣10＝9.6m． 故答案为：9.6． 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为　　 ． 【解答】解：方法一：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12， ∴，AC⊥BD， ∵AE＝2， ∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2， 如图，取OE中点H，连接GH， ∵点G为BE的中点，点H为OE的中点， ∴GH是三角形EBO的中位线， ∴，GH∥OB， ∴∠GHE＝∠BOA＝90°， ∵OF＝1， ∴， 在直角三角形GFH中，由勾股定理得：； 方法二：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，AE＝2，OF＝1， ∴OB＝6，OC＝4， ∴CE＝8﹣2＝6，CF＝OC﹣OF＝4﹣1＝3， ∴F为CE的中点， 又∵点G为BE的中点， ∴GF为△BCE的中位线， ∵BC2， ∴FG． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：． （2）化简：． 【解答】解：（1）原式 ＝2﹣1+1+2 ＝4． （2） ． 17．艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 香艾香 a 12 苦艾草 b 16 （1）求a，b的值； （2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草x（x≤100）千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y（元）最大？最大利润为多少？ 【解答】解：（1）依题意，得：， 解得：， 答：a的值为7，b的值为12； （2）解：设购进香艾草x（x≤100）千克，则购进苦艾草（160﹣x）千克， 依题意，得： 160﹣x≤3x， 解得：x≥40， 故40≤x≤100， ∵全部销售完后的销售利润y＝（12﹣7）x+（16﹣12）（160﹣x）＝x+640， ∵1＞0， ∴y随x的增大而增大， 又∵40≤x≤100， ∴当x＝100时，y取得最大值，最大值＝x+640＝100+640＝740， 此时160﹣x＝60． 答：该经销商应购进100千克香艾草，60千克苦艾草，才能使销售利润y（元）最大，最大利润为740元． 18．今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，随着科技的发展机器人在人们生活中应用广泛，某实践小组对某款AI聊天机器人的使用满意度进行了问卷调查，并对数据进行整理、描述和分析（测试满分为100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：“不满意”：60≤x＜70，“比较满意”：70≤x＜80，“满意”：80≤x＜90，“非常满意”：90≤x≤100），部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分）如下：80，81，81，82，82，83，84，84，88 根据以上信息，解答下列问题； （1）求所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数； （2）求所抽取的机器人使用满意度评分的中位数； （3）若有1000人购买了本款AI聊天机器人，请估计这1000人中对本款机器人“满意”的人数． 【解答】解：（1）由题意得：9÷45%﹣2﹣3﹣9＝6（人）， 答：所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数为6人； （2）把评分分数数据从小到大排列，排在中间的两个数是82、83， ∴中位数为82.5， 答：所抽取的机器人使用满意度评分的中位数为82.5； （3）1000×45%＝450（人）， 答：估计这1000人中对本款机器人“满意”的人数有450人． 19．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）． （1）此时小强头部E点与地面DK相距多少厘米？ （2）此时小强头部E点是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不是，他应向前还是向后移动多少厘米，使头部E点恰好是在洗漱盆AB的中点O的正上方？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，1.41，结果精确到1cm） 【解答】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M． ∵EF+FG＝166，FG＝100， ∴EF＝66， ∵∠FGK＝80°， ∴FN＝100•sin80°≈98， ∵∠EFG＝125°， ∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°， ∴FM＝66•cos45°＝3346.5， ∴MN＝FN+FM≈145， ∴此时小强头部E点与地面DK相距约为145cm． （2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H． ∵AB＝48，O为AB中点， ∴AO＝BO＝24， ∵EM＝66•sin45°≈46.53， ∴PH≈46.53， ∵GN＝100•cos80°≈17，CG＝15， ∴OH＝24+15+17＝56，OP＝OH﹣PH＝56﹣46.53≈9， ∴他应向前9cm． 20．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，且B点坐标是（0，3），∠OAB＝60°，延长BA，与x轴相交于点D． （1）求直线AB的函数表达式； （2）将菱形OABC沿x轴向右平移得菱形O′A′B′C′，设，菱形O′A′B′C′与△OBD重叠部分的面积为S． ①如图2，当点C′与在y轴上时，求S的值； ②当时，请直接写出t的值． 【解答】解：（1）连接AC交y轴于点I， 由条件可知，AC⊥BO， ∵B（0，3）， ∴， ∴BA＝2BI＝3， ∴， ∴， 设直线AB：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线； （2）①在图1中，AB＝AO， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°，OB＝AB＝3， ∴AB＝O′C′＝B′C′＝3，∠A′＝∠OAB＝∠B′C′O′＝60°，O′C′∥BD∥A′B′， ∴∠O′C′B′＝∠BHC′＝60°， ∴∠OBD＝∠BHC′＝∠BC′H＝60°， ∴△BC′H为等边三角形，∠OC′O′＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴C′H＝BC′，∠OO′C′＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， 过点H作HJ⊥C′O′于点J， ∴∠C′HJ＝30°， ∴， ∴， 由条件可知四边形HC′O′K为平行四边形， ∴； ②当重叠部分为五边形时，如图： 过点H作HJ⊥C′O′于点J， 由①可得O′R＝2OR， ∴， ∴， ∴， ∴， 由条件可知∠C′QR＝∠C′RQ＝∠C′＝60°， ∴△C′QR为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点Q作QT⊥C′O′于点T， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意， 综上：当时，． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E． （1）求证：BD＝CD． （2）若弧DE＝50°，求∠C的度数． （3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝16，AF＝3BF，求弧BD的长． 【解答】（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD， 又∵AB＝AC， ∴BD＝CD； （2）解：∵弧DE＝50°， ∴∠CAD50°＝25°， ∴∠C＝90°﹣25°＝65°； （3）解：如图，连接OD， ∵DF⊥AB，BD⊥AD， ∴∠BFD＝∠BDA＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDF∽△BAD， ∴， 由于AF＝3BF，可设BF＝x，则AF＝3x，AB＝4x， ∴， 解得x＝4， 经检验x＝4是原方程的根， 即BF＝4， ∴AB＝AC＝4x＝16， ∵OA＝OB，BD＝CD， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，ODAC＝8， ∴OD＝BD＝OB＝8， ∴△BOD是正三角形， ∴∠BOD＝60°， ∴弧BD的长为π． 22．初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究． 【操作探究】 （1）△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AD＝2，AB＝6． ①如图1，当点D是AB上一点时，DE＝　2　 ． ②如图2，当点D在BA延长线上时，求DE的长． 【迁移探究】 （2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝6，过点C作直线l∥AB，点M为直线AC上一动点，点N为直线l上一动点，∠MBN＝45°，点M、N都不与点C重合．当△BCN为等腰三角形时，直接写出CM的长． 【解答】解：（1）①∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°，CE＝CD，AC＝BC， ∴∠ACD+∠ACE＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠CAB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBD＝45°，AE＝BD， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAB＝90°， ∵BD＝AB﹣AD＝6﹣2＝4， ∴AE＝4， ∴由勾股定理得：， 故答案为：2； ②如图2，连接AE， ∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°，CE＝CD，AC＝BC， ∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠ACB，∠CAB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠CAE＝∠CBD＝45°， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAB＝90°，AE＝BD， ∵BD＝AB+AD＝6+2＝8， ∴AE＝8， ∴由勾股定理得：； （2）CM的长为或或．理由如下： ①如图3，当N在C左侧，且CN＝CB时， ∴∠CBN＝∠CNB， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°， ∵l∥AB， ∴∠NCA＝∠CAB＝45°， ∴∠CBN＝∠CNB＝22.5°， ∴∠ABN＝22.5°， ∴∠ABM＝∠MBN﹣∠ABN＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠M＝∠ABM＝22.5°， ∴AM＝AB＝6， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝62， ∴， ∴； ②如图4，当N在C左侧，且CN＝CB时， ∴∠CBN＝∠CNB， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°， ∵l∥AB， ∴∠NCB＝∠ABC＝45°， ∴∠CBN＝∠CNB＝67.5°， ∴∠MBC＝∠NBC﹣∠MBN＝67.5°﹣45°＝22.5°， ∴∠ABM＝∠ABC+∠MBC＝45°+22.5°＝67.5°， ∴∠M＝∠ABM＝67.5°， ∴AM＝AB＝6， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝62， ∴， ∴； ③如图5，当N在C左侧，且NB＝CB时， 由上得：∠NCB＝∠ABC＝45°， ∴∠NCB＝∠CNB＝45°， ∴∠CBN＝90°， ∵∠MBN＝45°， ∴∠MBC＝45°， ∴∠ABM＝90°， ∴∠MAB＝∠AMB＝45°， ∴AB＝MB， ∵BC⊥AM， ∴， 综上可知：CM的长为或或． 23．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P（x1，y1）是图形G1上的任意一点，点Q（x2，y2）是图形G2上的任意一点，若存在直线l：y＝kx+b（k≠0）满足y1≤kx1+b且y2≥kx2+b（或y1≥kx1+b且y2≤kx2+b），则称直线l：y＝kx+b（k≠0）是图形G1与G2的“区分直线”． 例如：如图1，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，2），直线l：y＝﹣x﹣4是函数y（x＜0）的图象与正方形OABC的一条“区分直线”． （1）在直线y1＝﹣2x，y2＝3x﹣1，y3＝﹣2x+1中，是图1函数y（x＜0）的图象与正方形OABC的“区分直线”的为 y1＝﹣2x ； （2）若直线y＝﹣x+b是图1函数y（x＜0）的图象与正方形OABC的“区分直线”，且直线y＝﹣x+b与函数y（x＜0）的图象有公共点，求公共点的坐标； （3）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，点E在点D的右侧，点F在点D的上方，直角顶点D的坐标是，△EDF与⊙O的“区分直线”有且只有一条，求此“区分直线”的函数表达式； （4）正方形GHMN的边GH在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点Q（1，t）是此正方形的中心，直线y＝﹣2x+b是函数y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤4）的图象与正方形GHMN的“区分直线”． ①若t＜0，“区分直线”有且只有一条时，求t的值； ②若存“区分直线”y＝﹣2x+b，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）如图所示： 从图可知：y1＝﹣2x与双曲线y（x＜0）和正方形OABC没有公共点，y2＝3x﹣1，y3＝﹣2x+1不在双曲线y（x＜0）及正方形OABC之间，根据“区分直线”定义可知，直线y1＝﹣2x是双曲线y（x＜0）与正方形OABC的“区分直线”，故答案为：y1＝﹣2x； （2）令x+b，则x2﹣bx+6＝0， 根据题意得：Δ＝b2﹣24＝0， ∴b＝﹣2或b＝2（舍去）， ∴x2+2x+6＝0， 解得：x1＝x2， ∴直线y＝﹣x+b与函数y（x＜0）的图象的公共点坐标为（，）； （3）如图2，连接OD，以O为圆心，OD长为半径作⊙O，作DG⊥x轴于点G，过点D作⊙O的切线，则MD⊥OD． ∵D（，1）， ∴OD2， ∴直线MD是△EDF与⊙O的“区分直线”． ∵tan∠DOG， ∴∠DOG＝30°， ∴∠DMO＝∠90°﹣∠MOD＝∠DOG＝30°， ∴OM＝2OD＝4， ∴M（0，4）， 设直线MD的解析式为y＝mx+4，则m+4＝1， 解得m， ∴△EDF与⊙O的“区分直线”是yx+4； （4）①在y＝﹣x2+2x+3中， 当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣5； ∵正方形GHMN的边GH在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点Q（1，t）是此正方形的中心， ∴G（0，t﹣1），H（0，t+1），M（2，t+1），N（2，t﹣1）， ∵t＜0，“区分直线”有且只有一条， ∴正方形GHMN在直线y＝﹣2x+b的左方，如图3， 把（4，﹣5）代入y＝﹣2x+b，得﹣5＝﹣8+b， 解得：b＝3， 把M（2，t+1）代入y＝﹣2x+3，得t+1＝﹣4+3， 解得：t＝﹣2； ②由，得x2﹣4x+b﹣3＝0， ∵直线与抛物线有唯一公共点，∴Δ＝0，∴16﹣4b+12＝0，解得b＝7，∴此时的“区分直线”为y＝﹣2x+7，当正方形GHMN在直线y＝﹣2x+7上方时，如图4， ∵点Q（1，t）是此正方形的中心，∴顶点G（0，t﹣1），∵顶点G（0，t﹣1）不能在直线y＝﹣2x+7下方， ∴t﹣1≥7， 解得t≥8；当直线y＝﹣2x+b经过点（4，﹣5）时，﹣5＝﹣8+b， 解得：b＝3， 当正方形GHMN在直线y＝﹣2x+3下方时，如图5， ∵点Q（1，t）是此正方形的中心，∴顶点M（2，t+1），∵顶点M（2，t+1）不能在直线y＝﹣2x+3下方， ∴t+1≤﹣1， 解得t≤﹣2；综上所述，t的取值范围为t≤﹣2或t≥8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $