吉林省长春市备考卷（2-2）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年吉林省长春市中考数学备考卷（2-2） 一．选择题（共8小题） 1．一袋面粉的质量标识为“100±0.25千克”，则下列面粉质量中合格的是（　　） A．100.30千克 B．99.51千克 C．99.80千克 D．100.70千克 2．如图，将正五角星沿虚线折叠，使A、B、C、D、E五个顶点重合，得到的立体图形是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 3．下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a3＝a6 D．a2+a3＝a5 4．若x＞y，则下列不等式成立的是（　　） A．x﹣3＞y+3 B．﹣6x＞﹣6y C． D．x+7＞y+7 5．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（　　） A． B．20tan37° C． D．20sin37° 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≤y2 7．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝6，点E在AB上，将△DAE沿直线DE折叠，使点A恰好落在DC上的点F处，连接EF，分别与矩形ABCD的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（　　） A．△ADE是等腰直角三角形 B．S△BEM：S△BAD＝1：9 C．FG＝GM＝EM D． 8．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距x的取值范围是（　　） A．0米＜x＜0.25米 B．x＞0.25米 C．0米＜x＜0.2米 D．x＞0.2米 二．填空题（共6小题） 9．一个体积是64的小正方体的棱长是　 　 ． 10．若3x2myn与4x6y2是同类项，则mn＝　 　 ． 11．若x2﹣2y+1＝0，则代数式﹣2x2+4y﹣3的值是　 　 ． 12．扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的大小是 　 　 °． 13．如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中∠ABC＝ 　 　 度． 14．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝2，BC＝4，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连结PC，交MN于点Q，连结CM．下列结论：①CQ＝AB；②四边形CMPN是菱形；③当点P，A重合时，MN；④△PNQ的面积的最小值为1．上述结论中正确的序号是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 15．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣2y（x+2y）]÷2x，其中x＝﹣2，． 16．消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是　 　 ； （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O，连接AE、DC、AD，当E为BC的中点时，求证：四边形AECD为矩形． 18． 2025年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共15艘．每艘“天问”需1名航天工程师保障，每艘“神舟”需2名工程师协同．现调配20名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 19．如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中找到格点D（不与点A重合），使∠BDC＝∠BAC，连接BD、CD； （2）在图2中的BC边上找到一点E，使得AE平分∠BAC； （3）在图3中的⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得AE＝AC． 20．【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量y（%） 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 21．为加强校际交流，某市甲、乙两所高校联合开展户外徒步行及参观友校校史馆等活动．甲、乙两校相距10千米，甲校队伍从本校出发匀速步行到乙校需2.5小时；乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时．现甲、乙两所高校队伍同时从各自学校出发相向而行到对方学校，两校队伍的距离y（千米）与步行时间x（小时）之间的关系如图所示． 请回答下列问题： （1）甲、乙两所高校队伍出发后几小时相遇？ （2）说明点C的实际意义，并求出点C的纵坐标； （3）甲、乙两所高校队伍出发后多少小时相距8.5千米？ 22．【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中ADAB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG． 【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 由折叠可知，∠BAF∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA． ∴∠EFA＝∠BFA＝45°． ∴AFAB＝AD 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 （1）∠DAG的度数为 　 　 度，的值为 　 　 ； （2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且APAB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为 　 　 ．（用含a的代数式表示） 23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点O是AC边上的中点，点P在AB边上运动（点P不与点A、点B重合），作点P关于点O的中心对称点Q，以PQ为斜边构造等腰直角三角形PMQ，使点M与点C在PQ的同侧． （1）AC＝　 　 ； （2）连接CQ，求证：CQ+BP＝AB； （3）当MQ与△ABC的一条边垂直时，求AP的值； （4）连接CM，当CM＝1时，直接写出AP的值． 24．如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【三轮复习】2026年吉林省长春市中考数学备考卷（2-2） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．一袋面粉的质量标识为“100±0.25千克”，则下列面粉质量中合格的是（　　） A．100.30千克 B．99.51千克 C．99.80千克 D．100.70千克 【解答】解：“100±0.25千克”的意义为一袋面粉的质量在100﹣0.25＝99.75千克与100+0.25＝100.25千克之间均为合格的， 故选：C． 2．如图，将正五角星沿虚线折叠，使A、B、C、D、E五个顶点重合，得到的立体图形是（　　） A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱 【解答】解：折叠成的几何体底面是正五边形，5个侧面是等腰三角形，因此这个几何体是五棱锥， 故选：A． 3．下列运算正确的是（　　） A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a3＝a6 D．a2+a3＝a5 【解答】解：A、（a2）3＝a6，故原题计算正确； B、a6÷a2＝a4，故原题计算错误； C、a2•a3＝a5，故原题计算错误； D、a2和a3不是同类项，不能合并，故原题计算错误； 故选：A． 4．若x＞y，则下列不等式成立的是（　　） A．x﹣3＞y+3 B．﹣6x＞﹣6y C． D．x+7＞y+7 【解答】解：A．若x＞y，则x﹣3＞y﹣3，故选项A不符合题意； B．若x＞y，则﹣6x＜﹣6y，故选项B不符合题意； C．若x＞y，则，故选项C不符合题意； D．若x＞y，则x+7＞y+7，故选项D符合题意． 故选：D． 5．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC＝20米，则树的高AB（单位：米）为（　　） A． B．20tan37° C． D．20sin37° 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝37°，BC＝20米， ∵tanC， ∴AB＝20tan37°． 故选：B． 6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≤y2 【解答】解：在函数y＝3x中，k＝3＞0，所以该函数y随x的增大而增大． ∵x1＜x2， ∴y1＜y2． 故选：A． 7．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝6，点E在AB上，将△DAE沿直线DE折叠，使点A恰好落在DC上的点F处，连接EF，分别与矩形ABCD的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（　　） A．△ADE是等腰直角三角形 B．S△BEM：S△BAD＝1：9 C．FG＝GM＝EM D． 【解答】解：∵将△DAE沿直线DE折叠， ∴∠ADE＝∠CDE＝45° ∵∠DAB＝90°， ，∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴AD＝AE， ∴△ADE是等腰直角三角形， 故选项A正确，不符合题意； ∵AD＝AE＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝2， ∵将△DAE沿直线DE折叠， ∴∠AED＝∠DEF＝45°，AE＝EF＝4，AD＝DF＝4， ∴∠AEF＝90°， ∴AD∥EF， ∴△BME∽△BDA， ∴S△BEM：S△BAD＝（BE）2：（AB）2＝4：36＝1：9， 故选项B正确，不符合题意； ∵AB∥CD， ∴，， ∴，FG， ∴， ∴FG＝GM＝EM， 故选项C正确，不符合题意； 如图，过点E作EH⊥DB于点H， ∵AD＝AE＝4，∠DAE＝90°， ∴． ∵AD＝4，AB＝6，∠DAE＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴sin∠EDH． 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 8．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距x的取值范围是（　　） A．0米＜x＜0.25米 B．x＞0.25米 C．0米＜x＜0.2米 D．x＞0.2米 【解答】解：根据题意，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例， 设y， ∵点（0.5，200）在此函数的图象上， ∴k＝0.5×200＝100， ∴y（x＞0）， ∵y＜400， ∴400， ∵x＞0， ∴400x＞100， ∴x＞0.25， 即镜片焦距x的取值范围是x＞0.25米， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．一个体积是64的小正方体的棱长是　4　 ． 【解答】解：4， 即体积是64的小正方体的棱长是4， 故答案为：4． 10．若3x2myn与4x6y2是同类项，则mn＝　6　 ． 【解答】解：由同类项的定义可知2m＝6，n＝2， 解得m＝3，n＝2， ∴mn＝6． 故答案为：6． 11．若x2﹣2y+1＝0，则代数式﹣2x2+4y﹣3的值是　﹣1　 ． 【解答】解：∵x2﹣2y+1＝0， ∴x2﹣2y＝﹣1， ∴当x2﹣2y＝﹣1时，原式＝﹣2（x2﹣2y）﹣3＝﹣2×（﹣1）﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的大小是 　240　 °． 【解答】解：∵扇形的面积是它所在圆的面积的， ∴这个扇形的圆心角的大小是：360°240°， 故答案为：240． 13．如图，六个正九边形的中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中∠ABC＝ 　80　 度． 【解答】解：如图所示， 根据正多边形的内角和公式，正多边形的每一个内角都相等，可得正九边形的每一个内角为：， ∵∠ABC+∠DBC+∠DBA＝360°， ∴∠ABC＝360°﹣∠DBC﹣∠DBA ＝360°﹣140°﹣140° ＝220°﹣140° ＝80°． 故答案为：80． 14．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝2，BC＝4，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连结PC，交MN于点Q，连结CM．下列结论：①CQ＝AB；②四边形CMPN是菱形；③当点P，A重合时，MN；④△PNQ的面积的最小值为1．上述结论中正确的序号是　②③④　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠PMN＝∠MNC， ∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P， ∴∠MNC＝∠MNP，NC＝NP，MP＝MC， ∴∠PMN＝∠MNP， ∴PM＝PN， ∴NC＝NP＝MP＝MC， ∴四边形CMPN是菱形， 故②正确； 由NC＝CM得∠CNM＝∠CMN， ∵∠CMD与∠CMN的数量关系不确定，无法证明△CDM与△CQM或△CQN全等， ∴CQ不等于CD，即CQ不等于AB， 故①错误； 如图所示，当点P，A重合时， ∴设NC＝NP＝x，则BN＝BC﹣NC＝4﹣x， 在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB2+BN2＝NP2， ∴22+（4﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故③正确； ∵四边形CMPN是菱形， ∴， 设NC＝NP＝a， ∴， 如图2，当点D，点G重合时，NC＝CD＝DP＝PN＝2， ∴四边形CMPN是正方形， ∴， ∴当a＝2时，S△PNQ＝1， 故④正确， 综上所述，正确的序号是②③④， 故答案为：②③④． 三．解答题（共10小题） 15．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣2y（x+2y）]÷2x，其中x＝﹣2，． 【解答】解：[（x﹣2y）2﹣2y（x+2y）]÷2x ＝[x2﹣4xy+4y2﹣（2xy+4y2）]÷2x ＝[x2﹣4xy+4y2﹣2xy﹣4y2]÷2x ＝[x2﹣6xy]÷2x ＝x2÷2x﹣6xy÷2x ． 当x＝﹣2，时，原式． 16．消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是　　 ； （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种， ∴从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O，连接AE、DC、AD，当E为BC的中点时，求证：四边形AECD为矩形． 【解答】证明：∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，BE＝EC， ∵△ABC平移得到△DEF， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴AD∥EC，AD＝EC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴四边形AECD是矩形． 18． 2025年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共15艘．每艘“天问”需1名航天工程师保障，每艘“神舟”需2名工程师协同．现调配20名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【解答】解：设“天问”有x艘，“神舟”有y艘， 根据题意得：， 解得：． 答：“天问”有10艘，“神舟”有5艘． 19．如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中找到格点D（不与点A重合），使∠BDC＝∠BAC，连接BD、CD； （2）在图2中的BC边上找到一点E，使得AE平分∠BAC； （3）在图3中的⊙O上找到一点E（不与点C重合），使得AE＝AC． 【解答】解：（1）利用同弧所对的圆周角找点D，如图，点D即为所求（不唯一）； （2）利用格线找出的中点G，如图，点E即为所求； （3）利用相似或全等在格点上找到点H，使得CH⊥AB，延长CH交圆于点E，如图，点E即为所求． 20．【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y（%）与时间t（分钟）的关系数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量y（%） 0 20 30 80 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e（%）与行驶里（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 160 200 280 显示电量e（%） 100 60 50 30 【建立模型】 （1）观察表1、表2发现都是一次函数模型请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函数表达式． 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点560千米处的目的地，若电动汽车行驶300千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为10%，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【解答】解：（1）设y关于t的函数表达式为y＝k1t（k1为常数，且k1≠0）， 将t＝10，y＝20代入y＝k1t， 得10k1＝20， 解得k1＝2， ∴y关于t的函数表达式为y＝2t． 设e关于s的函数表达式为e＝k2s+b（k2、b为常数，且k2≠0）， 将s＝160，e＝60和s＝200，e＝50分别代入e＝k2s+b， 得， 解得， ∴e关于s的函数表达式为es+100． （2）当s＝300时，e300+100＝25， ∴行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25， 充电t分钟后，增加的电量为y＝2t， ∴充电t分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为（25+2t）， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为（560﹣300）+100＝35， ∴行驶完剩余的路程消耗的电量为100﹣35＝65， ∴25+2t﹣10＝65， ∴t＝25． 答：电动汽车在服务区充电25分钟． 21．为加强校际交流，某市甲、乙两所高校联合开展户外徒步行及参观友校校史馆等活动．甲、乙两校相距10千米，甲校队伍从本校出发匀速步行到乙校需2.5小时；乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时．现甲、乙两所高校队伍同时从各自学校出发相向而行到对方学校，两校队伍的距离y（千米）与步行时间x（小时）之间的关系如图所示． 请回答下列问题： （1）甲、乙两所高校队伍出发后几小时相遇？ （2）说明点C的实际意义，并求出点C的纵坐标； （3）甲、乙两所高校队伍出发后多少小时相距8.5千米？ 【解答】解：（1）由题意得，甲队速度：10÷2.5＝4（千米/小时 ），乙队速度：10÷2＝5（千米/小时）， 设出发x小时相遇， ∴4m+5m＝10． ∴m． 答：甲、乙两所高校队伍出发后小时相遇； （2）由题意，∵乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时， ∴乙队2小时到达甲校，而此时甲队走了4×2＝8（千米）， ∴两队距离为8千米，即点C纵坐标为8． 答：点C的实际意义是乙队2小时到达甲校，两队距离为8千米；点C纵坐标为8； （3）由题意，分两种情形： 设甲、乙两所高校队伍出发后x小时相距8.5千米， ①相遇前，10﹣（4x+5x）＝8.5， ∴x． ②相遇后，由乙队2小时已到达， ∴4x＝8.5． ∴x＝2.125． 答：甲、乙两所高校队伍出发后小时或2.125小时时，两队相距8.5千米． 22．【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中ADAB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG． 【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． 由折叠可知，∠BAF∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA． ∴∠EFA＝∠BFA＝45°． ∴AFAB＝AD 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 （1）∠DAG的度数为 　22.5　 度，的值为 　1　 ； （2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且APAB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为 　a ．（用含a的代数式表示） 【解答】【问题解决】证明：四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， 由折叠可知，∠BAF∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA． ∴∠EFA＝∠BFA＝45°， ∴AFAB＝AD． 由折叠得，∠CFG＝∠GFH＝45°， ∴∠AFG＝∠AFE+∠GFE＝45°+45°＝90°， ∴∠AFG＝∠D＝90°， 又AD＝AF，AG＝AG， ∴△ADG≌△AFG（HL）． 【结论应用】 （1）由折叠得，∠BAF＝∠EAF， 又∠BAF+∠EAF＝90°， ∴∠EAF∠BAE90°＝45°， 由△ADG≌△AFG得，∠DAG＝∠FAG∠FAD45°＝22.5°， ∠AFG＝∠ADG＝90°， 又∠AFB＝45°， ∴∠GFC＝45°． ∴∠FGC＝45°． ∴GC＝FC． 设AB＝x，则BF＝x，AFx＝AD＝BC， ∴FC＝BC﹣BFx﹣x＝（1）x， ∴GFFC＝（2）x． ∴1． 故答案为：22.5；1． （2）法一、如图，连接FD， ∵DG＝FG， ∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称， 连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长； 过点P作PR⊥AD交AD于点R， ∵∠DAF＝∠BAF＝45°， ∴∠APR＝45°， ∴AR＝PR， 又AR2+PR2＝AP2＝（）2， ∴AR＝PRa， ∴DR＝AD﹣ARaaa． 在Rt△DPR中，AR2+PR2＝DP2， ∴DPa． ∴PQ+FQ的最小值为a． 法二、取P关于AG的对称点R，如图， 则PQ+QF＝RQ+QF≥RF， 由AR＝APAE， ∴RFa． ∴PQ+FQ的最小值为a． 故答案为：a． 23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点O是AC边上的中点，点P在AB边上运动（点P不与点A、点B重合），作点P关于点O的中心对称点Q，以PQ为斜边构造等腰直角三角形PMQ，使点M与点C在PQ的同侧． （1）AC＝　4　 ； （2）连接CQ，求证：CQ+BP＝AB； （3）当MQ与△ABC的一条边垂直时，求AP的值； （4）连接CM，当CM＝1时，直接写出AP的值． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴， 故答案为：4； （2）证明：∵点P与点Q关于点O中心对称，点O是AC边上的中点， ∴PO＝QO，AO＝CO， ∵∠POA＝∠QOC， ∴△POA≌△QOC（SAS）， ∴AP＝CQ， ∴AB＝AP+BP＝CQ+BP， 即CQ+BP＝AB； （3）解：如图，作OD⊥AB于点D，当MQ⊥AB时，此时点M在AB上， ∵∠ODA＝∠BCA＝90°，∠OAD＝∠BAC， ∴△OAD∽△BAC， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵△PMQ是等腰直角三角形， ∴∠MPQ＝45°， ∴△PDO是等腰直角三角形， ∴， ∴AP＝AD﹣PD； 当MQ⊥AC时，作PE⊥AC于点E，如图， ∴PM∥AC，PE∥BC， ∴∠POE＝∠MPQ＝45°，△APE∽△ABC， ∴△POE是等腰直角三角形，， ∴PE＝OE，， 设AE＝4x，则PE＝3x＝OE，AP＝5x， ∵AE+OE＝OA＝2， ∴4x+3x＝2， 解得， ∴； 综上，AP的值为或； （4）解：当点M在AC左侧，连接OB，OM，将线段OB逆时针旋转90°得到线段OG，连接CG，作GH⊥AC交AC延长线于点H，延长GM交AB于点F，作OI⊥AC交GM延长线于点I，连接IB， ∴∠BOG＝∠BCO＝∠H＝90°， ∴∠BOC＝90°﹣∠HOG＝∠OGH， ∵OB＝OG， ∴△BOC≌△OGH（AAS）， ∴GH＝OC＝2，OH＝BC＝3， ∴CH＝3﹣2＝1， 同理△OIB≌△OCG， ∴OI＝OC＝2， ∴OI＝GH＝2， ∵∠IOE＝∠H＝90°， ∴OI∥GH， ∵∠OEI＝∠HEG， ∴△OEI≌△HEG（AAS）， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∵△PMQ是等腰直角三角形， ∴△PMO也是等腰直角三角形， ∴∠POM＝90°，OP＝OM， ∵∠BOG＝90°， ∴∠POB＝∠MOG＝90°﹣∠BOH， ∵OP＝OM，OB＝OG， ∴△POB≌△BOH（SAS）， ∴∠PBO＝∠MGO， ∴∠BFG+∠PBP＝∠BOG+∠MGO， ∴∠BFG＝∠BOG＝90°， ∴GM⊥AB， 由（2）得△POA≌△QOC， ∴∠A＝∠ACQ， ∴AB∥CQ， ∴∠MJC＝90°， ∴△AFE∽△CJE， ∴， 即， ∴， ∵CM＝1， ∴， 在△PMF和△MQJ中，， ∴△PMF≌△MQJ（AAS）， ∴PF＝JM， ∴AP＝AF﹣PF； 当点M在AC右侧，如图， 同理， ∴； 综上，AP的值为． 24．如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）由y＝ax2+6ax+9a﹣8得y＝a（x+3）2﹣8， ∴顶点D的坐标为（﹣3，﹣8）， ∵点B（2，0）在抛物线C上， ∴0＝a（2+3）2﹣8， 解得：a； （2）如图1，连接DE，作DH⊥x轴于H，作EM⊥x轴于M， 根据题意，点D，E关于点B（2，0）成中心对称， ∴DE过点B，且DB＝EB， 在△DBH和△EBM中， ， ∴△DBH≌△EBM（AAS）， ∴EM＝DH＝8，BM＝BH＝5， ∴抛物线C1的顶点E的坐标为（7，8）， ∵抛物线C1由C绕点P旋转180°后得到， ∴抛物线C1的函数表达式为y（x﹣7）2+8； （3）∵抛物线C1由C绕x轴上的点P旋转180°后得到， ∴顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8， 设点E（m，8）， 如图2，作DH⊥x轴于H，EM⊥x轴于M，EN⊥DN于N， ∵旋转中心P在x轴上， ∴FG＝AB＝2BH＝10， ∴点H的坐标为（﹣3，0），点N的坐标为（m，﹣8）， 根据勾股定理得，EF2＝82+52＝89， 显然，△AEG和△BEG不可能是直角三角形， ①当△AEF是直角三角形时，显然只能有∠AEF＝90°， ∵A（﹣8，0），EM⊥x轴， ∴∠AME＝∠EMF＝90°，AM＝m+8，EM＝8，FM＝5， ∵∠AFE+∠EAM＝∠AFE+∠FEM＝90°， ∴∠EAM＝∠FEM， ∴△AEM∽△EFM， ∴，即FM•AM＝EM2， ∴5（m+8）＝82， 解得：m， ∴OP（m+3）﹣3（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）； ②当△BEF是直角三角形时，显然只能有∠BEF＝90°， 同理可得：△BEM∽△EFM， ∴，即FM•BM＝EM2， ∴5（m﹣2）＝64， 解得：m， ∴OP（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）， ③当△DEF是直角三角形时， DE2＝EN2+DN2＝162+（m+3）2＝m2+6m+265， DF2＝DH2+HF2＝82+（m+8）2＝m2+16m+128， i）当∠DEF＝90°时，DE2+EF2＝DF2， 即m2+6m+265+89＝m2+16m+128， 解得：m， ∴OP（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）； ii）当∠DFE＝90°时，DF2+EF2＝DE2， 即m2+16m+128+89＝m2+6m+265， 解得：m， ∴OP（m﹣3）（3）， ∴点P的坐标为（，0）； iii）∵DE＞EN＝16＞EF， ∴∠EDF≠90°， 综上所述，当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $