吉林省长春市备考卷（2-1）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年吉林省长春市中考数学备考卷（2-1） 一．选择题（共8小题） 1．中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果收入30元，记作+30元，那么支出10元，记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．+30元 D．﹣30元 2．下面几何体中，是棱柱的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．a2•a3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a6 4．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A．3a＜3b B．ac2＞bc2 C．a﹣c＞b﹣c D．﹣ac＜﹣bc 5．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时BC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则C、A之间的距离为（　　） A．米 B．1200tanα米 C．1200sinα米 D．1200cosα米 6．已知一次函数y＝3x+m的图象经过点A（m，y1），B（m+3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 7．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝6，点E在AB上，将△DAE沿直线DE折叠，使点A恰好落在DC上的点F处，连接EF，分别与矩形ABCD的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（　　） A．∠DEA＝45° B．S△BEM：S△BAD＝1：9 C．FG＝GM＝EM D． 8．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，R1的阻值随空气中甲醛质量浓度c的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度c＞0.1mg/m3时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，R1的阻值逐渐增大 B．当R1＝300Ω时，甲醛检测仪会报警 C．当c＝0.8mg/m3时，R1的阻值为25Ω D．当房间内甲醛质量浓度低于0.1mg/m3时，R1的阻值高于200Ω 二．填空题（共6小题） 9．﹣64的立方根是 　 　 ． 10．若与﹣x3y2是同类项，则m﹣2n＝ 　 　 ． 11．已知x+y＝1，则2x+2y﹣（x+y）2＝　 　 ． 12．若一个扇形的半径为4，圆心角为30°，则此扇形的面积为 　 　 ． 13．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝　 　 ． 14．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，动点D在线段AB上且不与A、B重合，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．给出下面四个结论： ①的长度为；②∠F＝30°；③CE＝CF；④线段EF的最小值为4．上述结论中，正确的结论的序号有 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 15．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷y，其中x＝1，y＝﹣2． 16．化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：2KMnO4K2MnO4+MnO2+O2↑ B．碳酸钙制取二氧化碳：CaCO3CaO+CO2↑ C．电解水：2H2O2H2↑+O2↑ D．一氧化碳还原氧化铜：CuO+COCu+CO2 （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为 　 　 ； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 17．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝10，AC＝16，BD＝12．求证：▱ABCD是菱形． 18．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 19．图①，图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出△ABC的BC边上的中线AD； （2）在图②中△ABC的AC边上确定一点E，使； （3）在图③中△ABC的AB边上确定一点F，使2AF＝3BF． 20．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是 　 　 ：　 　 ．（填写时间） 21．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休息2小时后提速行驶至乙地．设行驶时间为x（h），货车的路程为y1（km），小轿车的路程为y2（km），图中的线段OA与折线OBCD分别表示y1、y2与x之间的函数关系． （1）甲、乙两地相距　 　 km，m＝　 　 ； （2）求线段CD所在直线的函数表达式； （3）小轿车停车休息后提速再行驶多长时间，与货车之间相距10km？ 22．【问题探究】 （1）如图1，在四边形ABCD中，CD∥AB，连接AC，BD，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，小力认为：S四边形ABCD＝S△AEC，请你补全以下证明过程： ∵CD∥AB ∴AB、CD之间的距离相等， ∴S△CDA＝S△CDB， 证明过程缺失 ∴△BCD≌△CBE， ∴S△BCD＝S△CBE， ∴S△CDA＝S△CBE， ∴S四边形ABCD＝S△CDA+S△ABC＝S△CBE+S△ABC＝S△AEC； （2）如图2，半圆O的直径AB＝8，点C是半圆O上的一个动点，则△ABC面积的最大值为　 　 ； 【问题解决】 （3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，在∠CAB内部取一点P，∠APB始终等于45°．过点C作CQ∥PB交AP于点Q，连接BQ，则四边形CQBP面积的最大值为　 　 ． 23．如图，在△ABC中，BA＝BC＝5cm，AD是BC边上的高，AD＝4cm，动点P从点B出发沿折线BA﹣AC向点C运动（点P不与△ABC的顶点重合），点P在BA上的速度是每秒5cm，点P在AC上的速度是每秒，过点P作BC的垂线交BC于点Q，以PQ为腰作等腰直角三角形PQR，∠QPR＝90°，且点R、线段AD在PQ的同侧，设点P运动的时间为t（秒）． （1）AC＝　 　 cm； （2）求PQ的长（用含t的代数式表示）； （3）在运动过程中，当△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； （4）连结AR，当AR与△ABC的边AB或BC垂直时，直接写出t的值． 24．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上的一个动点，且横坐标为n，点F的横坐标为﹣2n+1，且线段EF∥x轴，当线段EF与抛物线有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【三轮复习】2026年吉林省长春市中考数学备考卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果收入30元，记作+30元，那么支出10元，记作（　　） A．+10元 B．﹣10元 C．+30元 D．﹣30元 【解答】解：根据题意可知，支出10元记作﹣10元． 故选：B． 2．下面几何体中，是棱柱的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．选项A中的几何体是球体，因此选项A不符合题意； B．选项B中的几何体是三棱锥，因此选项B不符合题意； C．选项C中的几何体是三棱柱，因此选项C符合题意； D．选项D中的几何体是圆柱，因此选项D不符合题意． 故选：C． 3．下列计算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．a2•a3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a2）3＝a6 【解答】解：A、2a+3a＝5a，故A错误； B、a2•a3＝a5，故B错误； C、a6÷a2＝a4，故C错误； D、（a2）3＝a6，故D正确． 故选：D． 4．若a＞b，则下列不等式变形正确的是（　　） A．3a＜3b B．ac2＞bc2 C．a﹣c＞b﹣c D．﹣ac＜﹣bc 【解答】解：A．因为a＞b， 所以3a＞3b，故本选项不合题意； B．不妨设c＝0， 则ac2＝bc2，故本选项不合题意； C．因为a＞b， 所以a﹣c＞b﹣c，故本选项符合题意； D．不妨设c＝0， 则﹣ac＝﹣bc，故本选项不合题意； 故选：C． 5．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时BC为1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角为α，则C、A之间的距离为（　　） A．米 B．1200tanα米 C．1200sinα米 D．1200cosα米 【解答】解：根据题意可得：BC＝1200米，∠ABC＝α， ∵tanα， ∴AC＝tanαBC＝1200tanα（米）． 故选：B． 6．已知一次函数y＝3x+m的图象经过点A（m，y1），B（m+3，y2），则y1与y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【解答】解：∵3＞0， ∴y随x的增大而增大． ∵m＜m+3， ∴y1＜y2， 故选：A． 7．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝6，点E在AB上，将△DAE沿直线DE折叠，使点A恰好落在DC上的点F处，连接EF，分别与矩形ABCD的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（　　） A．∠DEA＝45° B．S△BEM：S△BAD＝1：9 C．FG＝GM＝EM D． 【解答】解：∵将△DAE沿直线DE折叠， ∴∠ADE＝∠CDE＝45°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠ADE＝∠DEA＝45°， 故选项A正确，不符合题意； ∴AD＝AE＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝2， ∵将△DAE沿直线DE折叠， ∴∠DEA＝∠DEF＝45°，AE＝EF＝4，AD＝DF＝4， ∴∠AEF＝90°， ∴AD∥EF， ∴△BME∽△BDA， ∴， 故选项B正确，不符合题意； ∵AB∥CD， ∴，， ∴，， ∴， ∴FG＝GM＝EM， 故选项C正确，不符合题意； 如图，过点E作EH⊥DB于点H， ∵AD＝AE＝4，∠DAE＝90°， ∴， ∵AD＝4，AB＝6，∠DAE＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选项D错误，符合题意， 故选：D． 8．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，R1的阻值随空气中甲醛质量浓度c的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度c＞0.1mg/m3时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　） A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，R1的阻值逐渐增大 B．当R1＝300Ω时，甲醛检测仪会报警 C．当c＝0.8mg/m3时，R1的阻值为25Ω D．当房间内甲醛质量浓度低于0.1mg/m3时，R1的阻值高于200Ω 【解答】解：由图②可知，R1的阻值与甲醛质量浓度c成反比例关系， 设反比例关系式为， ∴k＝100×0.2＝20， ∴反比例关系式为． A、由图②可知，空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，R1的阻值逐渐增大，故A正确，不符合题意； B、当R1＝300Ω时，，甲醛检测仪不会报警，故B错误，符合题意； C、由图②可知，当c＝0.8mg/m3时，R1的阻值为，故C正确，不符合题意； D、当该房间甲醛质量浓度等于0.1mg/m3时，R1的阻值等于， 由图②可知，当该房间甲醛质量浓度低于0.1mg/m3时，R1的阻值高于200Ω，故D正确，不符合题意． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．﹣64的立方根是 　﹣4　 ． 【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64， ∴﹣64的立方根是﹣4． 故答案为：﹣4． 10．若与﹣x3y2是同类项，则m﹣2n＝ 　1　 ． 【解答】解：由同类项定义可知m＝3，2n＝2， 解得m＝3，n＝1， ∴m﹣2n＝3﹣2×1＝1． 故答案为：1． 11．已知x+y＝1，则2x+2y﹣（x+y）2＝　1　 ． 【解答】解：当x+y＝1时，原式＝﹣（x+y）2+2（x+y）＝﹣12+2×1＝1． 故答案为：1． 12．若一个扇形的半径为4，圆心角为30°，则此扇形的面积为 　　 ． 【解答】解：扇形面积为：． 故答案为：． 13．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝　132°　 ． 【解答】解：正五边形的内角为108°， 正六边形的内角为120°， ∠BAC＝360°﹣108°﹣120°＝132°， 故答案为：132°． 14．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，动点D在线段AB上且不与A、B重合，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．给出下面四个结论： ①的长度为； ②∠F＝30°； ③CE＝CF； ④线段EF的最小值为4． 上述结论中，正确的结论的序号有 　①③　 ． 【解答】解：∵∠CBA＝30°， ∴∠COA＝60°， ∵OA＝2， ∴的长度， 故①正确． 连接CD，如图1所示， ∵点E与点D关于AC对称， ∴CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵DF⊥DE， ∴∠EDF＝90°， ∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°， ∴∠F＝∠CDF， 只有当CD⊥AB时，∠F＝∠CDF＝∠CBA＝30°， 故②错误； ∵∠F＝∠CDF， ∴CD＝CF， ∴CE＝CD＝CF． 故③正确； 当CD⊥AB时，如图2所示， ∵AB是半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝4，∠CBA＝30°， ∴∠CAB＝60°，AC＝2，BC＝2， ∵CD⊥AB，∠CBA＝30°， ∴CDBC， 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 点D在线段AB上运动时，CD的最小值为． ∵CE＝CD＝CF， ∴EF＝2CD， ∴线段EF的最小值为2， 故④错误； 正确的结论的序号有①③． 故答案为：①③． 三．解答题（共10小题） 15．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷y，其中x＝1，y＝﹣2． 【解答】解：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷y ＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2）÷y ＝（5y2﹣4xy）÷y ＝5y﹣4x， 当x＝1，y＝﹣2时， 原式＝5×（﹣2）﹣4×1 ＝﹣10﹣4 ＝﹣14． 16．化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：2KMnO4K2MnO4+MnO2+O2↑ B．碳酸钙制取二氧化碳：CaCO3CaO+CO2↑ C．电解水：2H2O2H2↑+O2↑ D．一氧化碳还原氧化铜：CuO+COCu+CO2 （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为 　　 ； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【解答】解：（1）小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：； （2）树状图如下： 由上可得，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验均能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为． 17．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝10，AC＝16，BD＝12．求证：▱ABCD是菱形． 【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝16，BD＝12， ∴OA＝OCAC＝8，OB＝ODBD＝6， ∵AD＝10， ∴OA2+OB2＝82+62＝100，AD2＝102＝100， ∴OA2+OB2＝AD2， ∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形． 18．在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【解答】解：设顶层的红灯有x盏，由题意得： x+2x+4x+8x+16x+32x+64x＝381， 127x＝381， x＝3； 答：塔的顶层是3盏灯． 19．图①，图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出△ABC的BC边上的中线AD； （2）在图②中△ABC的AC边上确定一点E，使； （3）在图③中△ABC的AB边上确定一点F，使2AF＝3BF． 【解答】解：（1）如图①，AD即为所求． （2）如图②，取格点H，使CH＝3，且∠BCH＝90°，连接BH交AC于点E， 则点E即为所求． （3）如图③，取格点M，N，使AM：BN＝3：2，且AM∥BN，连接MN交AB于点F， 则△AFM∽△BFN， 则AF：BF＝AM：BN＝3：2， 即2AF＝3BF， 则点F即为所求． 20．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． （1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是 　12　 ：　30　 ．（填写时间） 【解答】解：（1）描点并连线如图所示： （2）根据表格，时间增加1小时，圆柱体容器液面高度增加4厘米， 则y＝6+4（x﹣1）＝4x+2， ∴y与x之间的函数表达式为y＝4x+2． （3）当y＝16时，4x+2＝16， 解得x＝3.5， ∴当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是12：30． 故答案为：12，30． 21．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休息2小时后提速行驶至乙地．设行驶时间为x（h），货车的路程为y1（km），小轿车的路程为y2（km），图中的线段OA与折线OBCD分别表示y1、y2与x之间的函数关系． （1）甲、乙两地相距　420　 km，m＝　5　 ； （2）求线段CD所在直线的函数表达式； （3）小轿车停车休息后提速再行驶多长时间，与货车之间相距10km？ 【解答】解：（1）观察图象可知：甲乙两地相距420km，m＝3+2＝5， 故答案为：420，5； （2）设直线CD的解析式为y＝kx+b，把C（5，270），D（6.5，420）代入得到 ， 解得， ∴直线CD的解析式为y＝100x﹣230； （3）设线段OA所在的直线的解析式为y＝k1x， 把点A（7，420）代入得420＝7k1， 解得k1＝60， ∴y＝60x， 由题意：60x﹣（100x﹣230）＝10或（100x﹣230）﹣60x＝10， 解得x＝5.5，x﹣5＝0.5，或x＝6，x﹣5＝1， 答：小轿车停车休息后还要提速行驶0.5或1小时，与货车之间相距10km． 22．【问题探究】 （1）如图1，在四边形ABCD中，CD∥AB，连接AC，BD，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，小力认为：S四边形ABCD＝S△AEC，请你补全以下证明过程： ∵CD∥AB ∴AB、CD之间的距离相等， ∴S△CDA＝S△CDB， 证明过程缺失 ∴△BCD≌△CBE， ∴S△BCD＝S△CBE， ∴S△CDA＝S△CBE， ∴S四边形ABCD＝S△CDA+S△ABC＝S△CBE+S△ABC＝S△AEC； （2）如图2，半圆O的直径AB＝8，点C是半圆O上的一个动点，则△ABC面积的最大值为　16　 ； 【问题解决】 （3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，在∠CAB内部取一点P，∠APB始终等于45°．过点C作CQ∥PB交AP于点Q，连接BQ，则四边形CQBP面积的最大值为　　 ． 【解答】解：（1）缺失过程如下： ∵CD∥AB，CE∥BD， ∴∠BCD＝∠CBE，∠BCE＝∠CBD， ∵BC＝CB； （2）如图，当CO⊥AB时，点C到AB的距离最大，此时△ABC面积最大， ∵AO＝BO，CO⊥AB， ∴AC＝BC， 又∵∠ACB＝90°，AB＝8， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴（负值舍去）， ∴， 即△ABC面积的最大值为16； （3）如图，过点C作CD∥PQ交BP的延长线于点D， ∵CQ∥PB， ∴S△CQB＝S△CQP，四边形CDPQ为平行四边形， ∴S△CQP＝S△CDP， ∴S△CQB＝S△CDP， ∴S四边形CQBP＝S△CQB+S△CBP＝S△CDP+S△CBP＝S△CBD， ∵CD∥PQ， ∴∠CDB＝∠APB＝45°， 以BC为底作等腰直角三角形OBC， ∴∠BOC＝90°， 以O为圆心，OB为半径画圆， ∴点D在⊙O上运动， 连接OD，过点O作OG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于点H，可知D′G≥DH，GO的延长线交⊙O于点D′， ∵∠BOC＝90°，OB＝OC，OG⊥BC， ∴，OB2+OC2＝BC2＝64， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴ ∴四边形CQBP面积的最大值为． 故答案为：． 23．如图，在△ABC中，BA＝BC＝5cm，AD是BC边上的高，AD＝4cm，动点P从点B出发沿折线BA﹣AC向点C运动（点P不与△ABC的顶点重合），点P在BA上的速度是每秒5cm，点P在AC上的速度是每秒，过点P作BC的垂线交BC于点Q，以PQ为腰作等腰直角三角形PQR，∠QPR＝90°，且点R、线段AD在PQ的同侧，设点P运动的时间为t（秒）． （1）AC＝　　 cm； （2）求PQ的长（用含t的代数式表示）； （3）在运动过程中，当△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围； （4）连结AR，当AR与△ABC的边AB或BC垂直时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）在直角三角形ABD中，BA＝BC＝5cm，AD是BC边上的高，AD＝4cm， 由勾股定理得：， ∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2（cm）， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC（cm）， 故答案为：； （2）∵点P在BA上的速度是每秒5cm，BA＝5cm， ∴0＜t＜1时，PB＝5tcm， ∵PQ∥AD， ∴，即， PQ＝4tcm， ∵P在AC上的速度是每秒， ∴1＜t＜3时，如图1，， ∴， ∵PQ∥AD， ∴， ∴， ∴PQ＝6﹣2tcm， 综上所述，PQ的长为4tcm或（6﹣2t）cm； （3）当点P在BA上且点R在AC上时，如图2， 由（2）知：PQ＝4tcm，PB＝5tcm， ∴PA＝AB﹣PB＝（5﹣5t）cm， ∵PQ＝PR， ∴PR＝4tcm， ∵PQ⊥BC，PR⊥PQ． ∴PR∥BC， ∴， ∴， 解得：， 当时，△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形； 当点P在AC上且点R在线段AB上时，如图3， 由（2）知：， ∵PQ＝PR， ∴PR＝（6﹣2t）cm， ∵PQ⊥BC，PR⊥PQ， ∴PR∥BC， ∴， ∴， 解得：， 当时，△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形； 综上所述，当△PQR与△ABC重叠部分的图形是四边形时，t的取值范围为或； （4）当AR与△ABC的边AB或BC垂直时，t的值为秒或秒或秒；理由如下： 当点P在BA上且点R在AD上时，AR⊥BC，如图4， 由（2）知：PQ＝4tcm，PB＝5tcm， ∴PA＝AB﹣PB＝（5﹣5t）cm， ∵PQ＝PR， ∴PR＝4tcm， ∵PQ⊥BC，PR⊥PQ． ∴PR∥BC， ∴， ∴， 解得：； 当点P在BA上且AR⊥AB时，如图5， 由（2）知：PQ＝4tcm，PB＝5tcm， ∴PA＝AB﹣PB＝（5﹣5t）cm， ∵PQ＝PR， ∴PR＝4tcm， ∵∠RPQ＝90°， ∴∠APR+∠BPQ＝90°， ∵PQ⊥BC， ∴∠BPQ+∠B＝90°， ∴∠APR＝∠B， ∵∠PAR＝∠PQB＝90°， ∴△PAR∽△BQP， ∴， ∴， 解得：， 当点P在AC上且点R在线段AD上时，如图6， 由（2）知：， ∵PQ＝PR， ∴PR＝（6﹣2t）cm， ∵PQ⊥BC，PR⊥PQ， ∴PR∥BC， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，t的值为秒或秒或秒． 24．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上的一个动点，且横坐标为n，点F的横坐标为﹣2n+1，且线段EF∥x轴，当线段EF与抛物线有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得： ∴二次函数的解析式y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图①，设二次函数图象的顶点为P，连接OP， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴P（﹣1，4）． ∴PQ＝4，OQ＝1． 二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴相交于点A和点C， 当y＝0时，得：﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3． ∴A（﹣3，0）， ∴OA＝3． ∴S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOPOA•PQ•OQ3×43×1； （3）由点M在对称轴上，则设M（﹣1，m）， 由（2）知，A（﹣3，0）． ∵△AMB是以AB为底边的等腰三角形， ∴AM＝BM，则AM2＝BM2， ∴[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2． 解得：m＝1． ∴M（﹣1，1）； （4）n的取值范围为n＜﹣1或n≥3．理由如下： ∵点E为抛物线y＝﹣x2+bx+c上的一个动点，且横坐标为n， ∴E（n，﹣n2﹣2n+3）． ∵点F的横坐标为﹣2n+1，且线段EF∥x轴， ∴E、F纵坐标相等． ∴F（﹣2n+1，﹣n2﹣2n+3）． 当n＝﹣2n+1时，E、F重合， 解得：n． ∵线段EF与抛物线有两个公共点， ∴不符合题意． 当﹣1≤n时，n＜﹣2n+1． ∴E在F左侧．如图③， 此时，线段EF与抛物线有一个交点，不符合题意． 当n＜﹣1时，n＜﹣2n+1． ∴E在F左侧．如图④， 点E关于直线x＝﹣1对称点E′横坐标为﹣2﹣n 此时，线段EF与抛物线有两个公共点． ∴n＜﹣1． 当n时，n＞﹣2n+1． ∴E在F右侧，如图 此时，点E关于直线x＝﹣1对称点E″横坐标为﹣2﹣n， 当E″与F重合时，线段EF与抛物线有两个公共点， ∴﹣2﹣n＝﹣2n+1， 解得n＝3． ∴n≥3． 综上所述，n＜﹣1或n≥3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $