广东省备考卷（2-1）-【中考三轮复习】全国2026年中考数学备考卷

【三轮复习】2026年广东省中考数学备考卷（2-1） 一．选择题（共10小题） 1．在标准大气压下，液态氧的沸点是﹣183℃，液态氮的沸点是﹣196℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃．其中沸点最低的液体是（　　） A．液态氧 B．液态氮 C．酒精 D．水 2．据国内AI产品榜统计数据，远光某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　） A．0.2215×107 B．2.215×106 C．22.15×106 D．2.215×107 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（　　） A． B． C． D． 5．如图，将一个含30°角的直角三角板，按如图所示的位置摆放在直尺上，若∠1＝27°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．123° C．150° D．153° 6．为弘扬载人航天精神，某校科技节制作了6张关于“天宫课堂”的卡片，其中3张为“神舟飞船”、2张为“中国空间站”、1张为“嫦娥探月”（除画面内容外其他都相同）．现随机抽取一张，抽到“神舟飞船”的概率是（　　） A． B． C． D． 7．一元一次不等式组的解集为（　　） A．1＜x＜4 B．x＞1 C．x＞4 D．﹣1＜x＜﹣4 8．如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，∠C＝100°，则∠BOD＝（　　） A．100° B．120° C．140° D．160° 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是边AB上一点（不与点A，B重合），作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．若O是EF的中点，则OD的最小值是（　　） A．5 B．12 C． D． 二．填空题（共5小题） 11．已知am＝3，an＝2，则am+n＝　 　 ． 12．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B．若∠C＝60°，则∠P＝　 　 °． 13．不解方程，判断一元二次方程2x2+5＝7x的根的情况是　 　 ． 14．计算：　 　 ． 15．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3）…均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则y2026的值为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．下面是小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，…第三步 ，…第四步 由此可得，…第五步 解得第六步 任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 17．如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线． （1）实践与操作：用尺规作图法作对角线AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接CE，AF，求证：四边形AECF是菱形． 18．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 19．为普及校园安全知识、提高学生应急避险能力，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），绘制了如图统计图表： 根据以上数据，整理分析如表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 a 95 八年级 93.1 96 b 请解答下列问题： （1）表格中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，　 　 （填“＜”“＞”或“＝”）； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生安全知识掌握较好？请说明理由； （3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和160人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 20．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 21．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． （1）请你写出另外两组勾股数：6，　 　 ，　 　 ；7，　 　 ，　 　 ； （2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数 （Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数 ①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数； ②请你任选其中一个法则证明它的正确性． 22．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD． （1）求k的值并写出点B的坐标； （2）线段EF＝1在x轴上运动，且F点在右侧，求四边形BEFC周长的最小时点E的坐标； （3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 （1）在图①中，若，，则CD＝　 　 ． （2）如图③，有一个圆形公园⊙O，直径AB是贯穿公园⊙O的一条小路，出口点C、D在公园⊙O上，且，线段BC也是一条小路，若路AB＝1300米，BC＝1200米，现在要在出口C、D之间挖一条小河CD，小河CD最短是多少米？ 【拓展规律】 （3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝a，BC＝b（a＜b），求CD的长（用含a，b的代数式表示）． （4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足4AE＝AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是　 　 ．（直接写出答案） 【三轮复习】2026年广东省中考数学备考卷（2-1） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．在标准大气压下，液态氧的沸点是﹣183℃，液态氮的沸点是﹣196℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃．其中沸点最低的液体是（　　） A．液态氧 B．液态氮 C．酒精 D．水 【解答】解：液态氧的沸点是﹣183℃，液态氮的沸点是﹣196℃，酒精的沸点是78℃，水的沸点是100℃． ∵|﹣183|＝183，|﹣196|＝196，196＞183， ∴﹣196＜﹣183＜78＜100， 因此沸点最低的液体是液态氮． 故选：B． 2．据国内AI产品榜统计数据，远光某款AI搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（DAU）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（　　） A．0.2215×107 B．2.215×106 C．22.15×106 D．2.215×107 【解答】解：22150000＝2.215×107． 故选：D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A． |﹣1|＝1，所以A选项不符合题意； B．2，所以B选项不符合题意； C． 2，所以C选项不符合题意； D． 3，所以D选项符合题意． 故选：D． 4．如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意； B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意， 故选：A． 5．如图，将一个含30°角的直角三角板，按如图所示的位置摆放在直尺上，若∠1＝27°，则∠2的度数为（　　） A．120° B．123° C．150° D．153° 【解答】解：如图： ∵∠1＝27°， ∴∠3＝180°﹣30°﹣27°＝123°， ∵直尺的对边平行， ∴∠2＝∠3＝123°（两直线平行，同位角相等）， 故选：B． 6．为弘扬载人航天精神，某校科技节制作了6张关于“天宫课堂”的卡片，其中3张为“神舟飞船”、2张为“中国空间站”、1张为“嫦娥探月”（除画面内容外其他都相同）．现随机抽取一张，抽到“神舟飞船”的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵某校科技节制作了6张关于“天宫课堂”的卡片，其中3张为“神舟飞船”、2张为“中国空间站”、1张为“嫦娥探月”（除画面内容外其他都相同）， ∴现随机抽取一张，抽到“神舟飞船”的概率是， 故选：C． 7．一元一次不等式组的解集为（　　） A．1＜x＜4 B．x＞1 C．x＞4 D．﹣1＜x＜﹣4 【解答】解： 解不等式2x﹣2＞0得，x＞1； 解不等式3﹣x＜﹣1得，x＞4， ∴原不等式组的解集为x＞4． 故选：C． 8．如图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当水的深度未超过球顶时， 水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽， 所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢； 当水的深度超过球顶时， 水槽中能装水的部分宽度不再变化， 所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化． 综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升． 故选：D． 9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，∠C＝100°，则∠BOD＝（　　） A．100° B．120° C．140° D．160° 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A＝180°， ∵∠C＝100°， ∴∠A＝80°， 由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝160°， 故选：D． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是边AB上一点（不与点A，B重合），作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．若O是EF的中点，则OD的最小值是（　　） A．5 B．12 C． D． 【解答】解：∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F， ∴∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴∠ACB＝∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴∠EDF＝90°， 连接CD， ∵O是EF的中点， ∴点O在CD上， ∴ODCD， ∴当CD取最小值时，OD最小， 当CD⊥AB时CD最小， 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13， ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD， ∴OD的最小值是， 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．已知am＝3，an＝2，则am+n＝　6　 ． 【解答】解：am+n＝am•an＝3×2＝6， 故答案为：6． 12．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B．若∠C＝60°，则∠P＝　60　 °． 【解答】解：连接OA、OB， ∵∠C＝60°， ∴∠AOB＝2∠C＝120°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA、OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， 在四边形OAPB中，∠P+∠AOB+∠OAP+∠OBP＝360°， ∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， 故答案为：60． 13．不解方程，判断一元二次方程2x2+5＝7x的根的情况是　有两个不相等的实数根　 ． 【解答】解：将方程整理成一般式可得：2x2﹣7x+5＝0， ∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×5＝9＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 14．计算：　1　 ． 【解答】解： ＝3﹣2 ＝1， 故答案为：1． 15．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点且一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3）…均在反比例函数y（x＞0）的图象上，则y2026的值为　　 ． 【解答】解：由题知， ∵点C1在反比例函数y的图象上， ∴． ∵点C1为OB1的中点， ∴点B1坐标可表示为（）． ∵△OA1B1是等腰直角三角形， ∴OA1＝A1B1， 则， 解得x1＝2（舍负）， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当n＝2026时， ． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16．下面是小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，…第三步 ，…第四步 由此可得，…第五步 解得第六步 任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【解答】解：任务一：①由所给求解过程可知， 小明解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②第三步出现错误，原因是：等式的右边忘记加上4； 任务二：2x2﹣8x﹣3＝0， x2﹣4x0， x2﹣4x， x2﹣4x+4， （x﹣2）2， 则x﹣2， 所以． 17．如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线． （1）实践与操作：用尺规作图法作对角线AC的垂直平分线，交AB于点E，交CD于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接CE，AF，求证：四边形AECF是菱形． 【解答】解：（1）根据线段垂直平分线的作法，按要求作图，如图，直线EF即为所求； （2）由作法得：EF垂直平分AC， ∴AF＝CF，AE＝CE， ∴∠CAE＝∠ACE，∠ACD＝∠CAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAE， ∴∠ACD＝∠ACE，∠CAE＝∠CAF， 在△ACF和△ACE中， ∵∠CAE＝∠CAF，AC＝AC，∠ACD＝∠ACE， ∴△ACF≌△ACE（ASA）， ∴CF＝AE， ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形． 18．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 【解答】解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，），抛物线的顶点坐标为（4，4）， 设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4， 将点（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4可得： 16a+4， ∴a， 则抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+4； （2）令x＝7，则y9+4＝3， 即点（7，3）在抛物线上， 所以此球能准确投中． 19．为普及校园安全知识、提高学生应急避险能力，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），绘制了如图统计图表： 根据以上数据，整理分析如表： 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 a 95 八年级 93.1 96 b 请解答下列问题： （1）表格中的a＝　95　 ，b＝　95.5　 ，　＜　 （填“＜”“＞”或“＝”）； （2）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生安全知识掌握较好？请说明理由； （3）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为200人和160人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【解答】解：（1）由题意可知，七年级的众数a＝95，八年级的中位数b95.5， 由数据的波动情况可知， 故答案为：95，95.5，＜； （2）七年级参赛学生安全知识掌握较好，理由：因为七年级的平均数大于八年级，且方差比八年级小，所以七年级成绩更好且更稳定； （3）200160272（人）， 答：估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为272人． 20．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm； （2）由题可知ON＝ECAC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm． 21．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． （1）请你写出另外两组勾股数：6，　8　 ，　10　 ；7，　24　 ，　25　 ； （2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数 （Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数 ①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数； ②请你任选其中一个法则证明它的正确性． 【解答】解：（1）勾股数分别为6，8，10；7，24，25． 故答案为：8，10；24，25． （2）①根据法则（I），则或． ∴k＝5或（不是奇数，舍去）． ∴k＝5． ∴13． ∴另外两个数为5、13． ②选择法则Ⅰ，证明过程如下： ． ∴． 选择法则Ⅱ，证明过程如下： ． ∴． 22．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD． （1）求k的值并写出点B的坐标； （2）线段EF＝1在x轴上运动，且F点在右侧，求四边形BEFC周长的最小时点E的坐标； （3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵直线与双曲线交于A，B两点，点A（m，﹣3）， ∴， 解得：， ∴点A（﹣2，﹣3），反比例函数的表达式为：， ∵直线与双曲线都关于原点O对称， ∴点A，B关于原点O对称， ∴点B的坐标为（2，3）； （2）过点B作BH⊥x轴于点H，过点C作CK⊥x轴于点K，如图1所示： ∵点B（2，3）， ∴BH＝3， ∵BC＝2CD， ∴BD＝3CD， ∵BH⊥x轴，CK⊥x轴， ∴BH∥CK， ∴△BCK∽△DBH， ∴， ∴， ∴CK＝1， ∴点C的纵坐标为1， 对于，当y＝1时，x＝6， ∴点C的坐标为（6，1）， ∴BC， 当线段EF＝1在x轴上运动时，四边形BEFC的周长为：BC+EF+BE+CF， ∴当BE+CF为最小时，四边形BEFC的周长为最小， 作点B关于x轴对称点P，过点P作PQ∥x轴，且PQ＝1（点Q在点P的右侧），连接PE，QF，QC，如图2所示： ∴BE＝PE， ∵线段EF在x上移动，且EF＝1， ∴PQ∥EF，PQ＝EF＝1， ∴四边形AEFQ是平行四边形， ∴PE＝QF＝BE， ∴BE+CF＝QF+CF， 根据“两点之间线段最短”得：QF+CF≤QC， ∴点Q，F，C在同一条直线上时，QF+CF为最小，即BE+CF为最小，如图3所示： ∵点B（2，3），点B与点P关于x轴对称， ∴点P（2，﹣3）， ∵AQ＝1， ∴点Q（3，﹣3）， 设直线CQ的表达式为：y＝kx+b， 将点C（6，1），点Q（3，﹣3）代入y＝kx+b， 得：， 解得：， ∴直线QC的表达式为：， 对于，当y＝0时，x， ∴点F的坐标为， ∴OF， ∵EF＝1， ∴OE＝OF﹣EF， 此时点E的坐标为； （3）存在，理由如下： ①当点P在x轴上上时，过点B作BM⊥x轴于点M，如图4所示： 则∠OMB＝90°， ∵点B（2，3）， ∴OM＝2，BM＝3， 在Rt△OBM中，由勾股定理得：OB， ∵四边形ABPQ是矩形， ∴∠OMB＝∠OBP＝90°， 又∵BOM＝∠POB， ∴△OBM∽△OPB， ∴， ∴， ∴OP， ∴点P的坐标为； ②当点P在y轴上时，过点P作PB⊥y轴于点N，如图5所示： ∵点B（2，3）， ∴BN＝2，ON＝3， 同理可证明：△OBN∽△OPB，OB， ∴， ∴， ∴OP， 此时点P的坐标为． 综上所述：点P的坐标为，． 23．综合与探究 【问题背景】 如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 （1）在图①中，若，，则CD＝　5　 ． （2）如图③，有一个圆形公园⊙O，直径AB是贯穿公园⊙O的一条小路，出口点C、D在公园⊙O上，且，线段BC也是一条小路，若路AB＝1300米，BC＝1200米，现在要在出口C、D之间挖一条小河CD，小河CD最短是多少米？ 【拓展规律】 （3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝a，BC＝b（a＜b），求CD的长（用含a，b的代数式表示）． （4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足4AE＝AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是　或　 ．（直接写出答案） 【解答】解：（1）如图②，将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处， ∴∠CBD＝∠EAD，BC＝AE，CD＝DE，∠EDC＝90°， ∵∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴∠CBD+∠CAD＝180°， ∴∠CAD+∠EAD＝180°， ∴点C，A，E在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：CD＝5， 故答案为：5； （2）如图③，AB是⊙O直径，连接AC、AD、BD， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵， ∴AD＝BD， 在直角三角形ABC中，AB＝1300米，BC＝1200米， 由勾股定理得：（米）， 由（1）可知，， ∴（米）． ∴小河CD最短是沿线段CD修建，距离为米； （3）如图④，以AB为直径作⊙O，连接OD并延长，交⊙O于E，连接AE、BE、CE， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴点C、点D都在⊙O上，DE为⊙O的直径， ∴∠DCE＝∠ADB＝∠DBE＝∠AEB＝∠DAE＝90°， ∵AD＝BD， ∴四边形AEBD是正方形，AE＝BE，DE＝AB， 由（1）可知，， ∵AC＝a，BC＝b（a＜b）， ∴， ∵AB2＝AC2+BC2＝a2+b2， ∴DE2＝a2+b2， ∵DE2＝CD2+CE2， ∴， ∴， ∴； （4）线段PQ与AC的数量关系是或．理由如下： 如图⑤，当点E在直线AC的左侧时，连接PC、CQ， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是AB的中点， ∴∠APC＝90°，， ∵CA＝CE，点Q是AE的中点， ∴∠AQC＝90°， 设AC＝m， ∵4AE＝AC， ∴， ∴， 在直角三角形ACQ中，由勾股定理得：， 由勾股定理可求得：， 由（1）可知， ∴， ∴； 如图⑥，当点E在直线AC的右侧时，连接CQ、CP， 同理可知，∠AQC＝∠APC＝90°， 设AC＝m，则， ∴， 在直角三角形ACQ中，由勾股定理得：， 由（1）可知，， ∴． 综上所述，线段PQ与CQ的数量关系是或， 故答案为：或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $