精品解析：山西运城市平陆中学2025-2026学年高一下学期期中教学质量评价数学试题

2025-2026年春学段期中教学质量评价 高一年级数学卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. -i B. C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据条件，利用复数的运算法则即可求出结果. 【详解】设，因为，所以，故，得到， 故选为：C. 2. 已知向量满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求和，结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为. 3. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 4. 若平面向量，两两夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方展开原式，结合向量的模分别求解两两夹角为和时的值即可. 【详解】 当两两夹角为时，，可得： 所以. 当两两夹角为时，，可得： ， 所以， 故或. 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 6. 已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 【答案】D 【解析】 【分析】先算出母线长，结合体积公式、表面积公式计算后可判断AB的正误，求出轴截面的顶角值后可判断CD的正误. 【详解】对于A，圆锥的体积为，故A错误； 对于B，圆锥的母线长为， 故圆锥的表面积为，故B错误； 对于C，设圆锥轴截面顶角为，则， 而为锐角，故，故，故两条母线的夹角的最大值为，故C错误； 对于D，设两条母线的夹角为，则过顶点的截面面积为 而，故当，，故D正确. 7. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系， 由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 8. 如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的线性运算得，，再由平面向量基本定理，可得，即可求解. 【详解】， 则， 又三点共线，， 又为的中点，，又，所以， 又三点共线，， 由平面向量基本定理知，，解得，所以， 即，所以， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，的夹角为钝角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，的坐标，再逐项计算判断各个选项即得. 【详解】由点，，，得，， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得，解得，故B错误； 对于C，由，得，解得，故C正确； 对于D，由，的夹角为钝角，得且与不共线， 即且，故D错误. 故选：AC. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况结合正弦函数的单调性讨论即可；对于B，得到或，即可判断；对于C，可以得到，但是不一定是最大角，由此即可判断；对于D，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A：由，则当时，， 当时，由可知，所以，A正确； 对于B：由，，，得：或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C：由正弦定理可将转化为， 则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误. 对于D：由，根据正弦定理得： ，∴，且， 所以满足条件的三角形有两个，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于B，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可；对于D，分别求出将正方形沿着展在平面，及将沿着展开到与平面重合两种情况分别求解，即可比较大小. 【详解】对于A，由中位线可得，在正方体中，，所以， 所以四点共面，又因为，所以截面为梯形，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径， 所以表面积，故C正确； 对于D，记的中点为Q，如图所示， 若正方形沿着展在平面， 在直角中，可得， 若沿着展开到与平面重合， 在直角中，可得，综上，最短距离为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数为纯虚数，则实数的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算复数，由复数为纯虚数，即实部为零即可求解. 【详解】由，所以， 因为复数为纯虚数，所以，即. 故答案为：. 13. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 【答案】 【解析】 【分析】分别在以及表示出，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为： 14. 已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为______. 【答案】. 【解析】 【详解】分析：先求出底面三角形的外接圆的半径，再求三棱柱外接球的表面积，再利用基本不等式求最小值. 详解：设BC=a,,则ab=. 底面三角形外接圆的半径为r,则 所以 所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为 故答案为 点睛：(1)本题主要考查几何体的外接球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2) 求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，，，，，. （1）用向量，表示向量，； （2）求向量，夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）应用向量的加减法及数乘运算化简，再应用平面向量基本定理计算求解； （2）应用平面向量的数量积公式及运算律结合转化法求解模长，最后应用向量余弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为，所以， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，，所以，，， 则， ， ， 故. 16. 已知中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求； （2）若，是的中点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案； （2）由向量的线性运算，结合向量数量积的运算律，建立方程，利用三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为是的中点，所以，即， 故． 又，，所以． 因为，所以，可得， 则，． 所以的面积为． 17. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 【答案】（1）（） （2） 【解析】 【分析】（1）分别取的中点，连接，过作于，然后根据已知条件求出斜高，再根据表面积公式可求得结果； （2）由题意可知最大的圆台是上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为棱台的高，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可求出削去部分的体积，从而可求出削去部分与圆台的体积之比． 【小问1详解】 在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则 分别取的中点，连接，过作于， 因为在正四棱台中，，， 所以， 在中，， 所以正四棱台的表面积为 （）； 【小问2详解】 若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高， 则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高， 所以圆台的体积为（）， 因为正四棱台的体积为（）， 所以削去部分的体积为（）， 所以削去部分与圆台的体积之比. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． （3）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解. 【小问1详解】 ，， 即， ，， 又，，， 【小问2详解】 ，， ， ，， 的周长为． 【小问3详解】 在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 19. 如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． （1）证明：平面PAC； （2）证明：； （3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1） 连接BD交AC于点O，连接OP， 因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，又P为QD的中点， 所以，因为平面PAC，平面PAC， 所以平面PAC. （2） 因为CD，平面SCD，平面SCD，所以平面SDC， 又因为平面SAB，平面平面， 所以. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由为中位线知，即可证明线面平行. （2）证明平面SDC，再利用线面平行的性质证明. （3）建立空间直角坐标系，设从而写出E点的坐标，求出平面PAC的法向量，若平面PAC则，列方程求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解法一：在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 解法二：以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则， ， 设，则，即， 易得， 设为平面PAC的一个法向量，， ，令，得， 可得， 若平面PAC，则，即，解得， 所以当时，平面PAC. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年春学段期中教学质量评价 高一年级数学卷 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. -i B. C. -1 D. 1 2. 已知向量满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 4. 若平面向量，两两夹角相等，且，则（ ） A. 3 B. 9 C. 3或9 D. 3或 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 6. 已知一个圆锥的底面半径为，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ） A. 体积为 B. 表面积为 C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为2 7. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在中，为的中点，与相交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，的夹角为钝角，则 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 11. 如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B. 三棱锥的体积为4 C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数为纯虚数，则实数的值为_____________． 13. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 14. 已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为______. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，，，，，. （1）用向量，表示向量，； （2）求向量，夹角的余弦值. 16. 已知中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求； （2）若，是的中点，且，求的面积． 17. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm． （1）求四棱台的表面积； （2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比． 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． （3）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 19. 如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面． （1）证明：平面PAC； （2）证明：； （3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $