2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（最值问题）

2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（最值问题） 1．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图，已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交于点H，连接，，求面积的最大值及此时点P坐标． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知抛物线表示的二次函数的最大值是5． (1)抛物线的对称轴是______，a的值是______． (2)当时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若，求t的值； (3)如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，与抛物线和抛物线分别交于点M，N，当时，求出点P的坐标． 3．（2023·吉林松原·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（、为常数）的图象与轴交于点、．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值； (4)点在二次函数的图象上，且点的横坐标为，以点为中心，构造正方形，，且轴，二次函数的图象与正方形的边有个交点，当交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 4．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·月考）如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在第一象限，连接，当时，求面积的最大值与最小值； (3)是否存在这样的点P，使以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 6．（2024·广西贺州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．    (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值． 7．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 8．（23-24天津南开·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为线段上的一动点（点D不与B，C点重合）．      (1)直接写出A，B两点坐标； (2)如图1，当时，求周长的最小值； (3)过动点D作，与二次函数在第一象限的图象交于点P，连接，记与的面积和为S，①如图2，若点C的坐标为，当S取最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值；②若S的最大值为，直接写出a的值． 9．（2025·甘肃酒泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于两点（A在B的左侧），抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D，求出使得长度取得最大值时P的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值． 10．（24-25湖南株洲·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线．上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段．上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，． ①求线段长度的最大值 ②当线段长度取最大值时，求的最小值； ③将该抛物线沿射线方向平移，使得新地物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，接写出所有符合条件的点Q的坐标． 11．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）已知二次函数（为常数，且）． (1)如图，若此二次函数的图像经过点和点． ①求二次函数的解析式； ②抛物线对称轴上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出的最小值与点的坐标；若不存在，说明理由； ③当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (2)当时，已知点，若二次函数的图像与线段只有个交点，请直接写出的取值范围． 12．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标． (2)在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标和的最小值． (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的最大值时，求点M的坐标 13．（24-25九年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，点N为线段上一动点，于点F，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为原抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 14．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交于点D，过点P作的平行线交x轴于点E，点M，N是y轴上的动点（点M在点N的上方），且，当取得最大值时，求P点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线与x轴交于点F，G（点F在点G的左侧），与y轴交于点H，连接．在直线上存在点T，使得点P关于直线的对称点恰好落在直线上，请直接写出所有符合条件的点坐标． 15．（25-26四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，交轴于，两点（在的左侧)，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接、，点是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中当的面积取得最大值时，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当，请写出所有符合条件的点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取最大值， ∵， ∴当时，函数取最小值， ∴当时，二次函数的最大值为4，最小值为． （3）解：把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 则， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大，且最大值为，此时点P的坐标为． 2．(1)直线， (2) (3)或或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，即可求解； （2）由（1）可知当时，y随x的增大而增大，则，；，，进而求解； （3）根据两点距离公式求出，，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得：， 故答案为：直线，； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，；当时，， 则， 解得：（正值已舍去）； （3）解：， 则， 设点，则点，则点、， 则，， ∵， ∴ 解得：或， 即点P的坐标为：或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到绝对值的运用、二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中． 3．(1) (2)当时，二次函数的最大值为，最小值为 (3)或 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先把抛物线解析式化为顶点式，进而求出抛物线的对称轴，从而得到二次函数的最大值，再分别求出时，；当时，，即可求出对应的最小值； （3）分别求出当时，当时，当时，当时二次函数对应的最大值和最小值，再根据最大值和最小值的差为进行求解即可； （4）根据题意，因为点在轴左侧，根据正方形的性质以及点的坐标位置，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线（、为常数）经过点，， ， ， 抛物线对应的二次函数解析式为； （2）解：抛物线解析式为， 当时，最大，最大为， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， 当时，； 当时，； 当时，二次函数的最大值为，最小值为； （3）解：当，即时， ， 当时，； 当时，； 二次函数的最大值和最小值的差为， ， 解得：； 当，即时， 当时，； 当时，； 二次函数的最大值和最小值的差为， ， ， 解得，（都不符合题意，舍去）； 当，即时， 当时，； 当时，； 二次函数的最大值和最小值的差为， ， ， 解得（都不符合题意，舍去）； 当时， 当时，； 当时，； 二次函数的最大值和最小值的差为， ， 解得； 综上所述，的值为或； （4）解：如图所示，    ，点在轴左侧时，设正方形与抛物线的交点分别为，， 交点的纵坐标之差为， 时， ， 是正方形的中心，， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的对称性，正方形的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 4．(1) (2)当时，，当时， (3)存在，点坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，二次函数图像的性质，几何图形的性质等知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据题意求出的解析式，设，则，根据点在抛物线上，可用含的式子表示出的长，根据二次函数的特点即可求解； （3）根据平行四边形的性质，结合图形，抛物线的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图所示， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵，则， ∴， ∴ ∵， ∵， ∴当时， 又， ∴当时，； （3）解：存在理由如下： 由（2）知，，， ∴ ∵，且使以点为顶点的四边形为平行四边形， ∴，∴， ①，解得：或， ∴或； ②，此时t无解； 综上所述：点坐标为或． 5．(1) (2)点P的坐标为 (3)或 【分析】本题考查求二次函数的解析式，面积问题，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得，然后根据轴，可以得到，再根据三角形的面积得到，求出长，然后求出点P的纵坐标解答即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：把和点代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴， ∴， 又∵轴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 6．(1) (2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是 (3)或 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式，求出a，b值，即可得答案； （2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题； （3）分4种情况，当时， ，解得：；当时，，解得：；当，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意． 【详解】（1）解：， 点A、B的坐标分别为， 将点A、B的坐标代入函数表达式， ，解得： 抛物线的表达式为； （2）当时，， 点C的坐标为， 设直线的关系式为，将代入， ，解得 直线的关系式为， 设，则， 当时，线段长度有最大值， 存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是； （3）， ， 二次函数的顶点坐标是， 当时，，当时，， 当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：； 当时，此时函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：； 当，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，函数的最小值是，函数的最大值， ， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，函数图像平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 7．(1) (2) (3)点T的坐标为或 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为； （3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∵， 则 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∵点是线段上一动点，轴于点， ∴当线段长度取得最大值时， ∵，，点为线段的中点， ∴ 将线段向左平移个单位得到，则 当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度； ∴的最小值为； （3）解：由（2）得， ∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 联立直线和抛物线解析式可得 解得：， 当时，， ∴ ∴轴， 又∵ ∴ ∴ 作关于直线的对称点，连接交于点 ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点T的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平移的性质，数形结合是解题的关键． 8．(1) (2) (3)①点时，有最大值，且最大值为；② 【分析】（1）令，求解对应的一元二次方程即可； （2）作点A关于直线BC的对称点T，连接交于点D，则此时周长的最小，即可求解； （3）①连接，作轴交于点，，；求出直线直线的解析式，即可由点坐标得到点坐标，进而即可求解；②解法同①． 【详解】（1）解：令，则， 解得： ∴； （2）当时，抛物线的表达式为：； 则点， 则直线和x轴负半轴的夹角为， 如图，作点A关于直线的对称点T， 则，， ∴为等腰直角三角形，， ∴点，    连接交于点D，则此时周长的最小， 理由：周长为最小， 由点T的坐标知，， 则周长最小值； （3）解：连接，作轴交于点，如图所示：      ∵， ∴，， ①若点C的坐标为，则， ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； ②点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴当 有最大值，且最大值为； ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与周长、面积等综合问题．熟练掌握相关知识点，进行严密的逻辑推理是解题关键． 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）先得出，结合抛物线对称轴为直线，且，得，再运用待定系数法进行求出二次函数的解析式，即可作答． （2）先求出直线的解析式为，设（），则，所以，运用二次函数的图象性质，即可作答． （3）由（2）得最大时，证明四边形是矩形，得，故得出四边形是平行四边形，所以，，当共线时，取最小值，即取最小值，结合点为线段的中点，得，运用勾股定理算出，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线，与y轴交于点C， ∴令，则， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，且 ∴ ， 将和代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图 由（1）得， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（）， 则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴． 此时， （3）解：由（2）得最大时， ∵过点P作轴，垂足为E， ∴， ∵ 则， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点，且， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的综合，二次函数的图象性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．(1)； (2)①；②；③或． 【分析】（1）由题意利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）①求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，即可求得最大值； ②证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； ③求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得 ：， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴ ②由①得：，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； ③解：由①得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 11．(1)①；②的最小值为，；③ (2)或或 【分析】（）①利用待定系数法解答即可求解； ②由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，作点关于对称轴的对称点为，连接交对称轴于点，连接，可得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，利用两点间距离公式求出的长可得的最小值，求出直线的解析式可求出点的坐标； ③利用二次函数的性质解答即可求解； （）当时，，即得该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，又可得抛物线与轴的交点坐标为，当时，，再分和两种情况解答即可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，轴对称的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵二次函数的图像经过点和点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； ②抛物线对称轴上存在一点，使得有最小值，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于对称轴的对称点为，连接交对称轴于点，连接， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； ③∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵时，；时，， 又∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，， ∴； （2）解：当时，， ∴该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， 当时，二次函数的图像的开口向上，且，， 若二次函数的图像与线段只有个交点，则， 解得； 当时，二次函数的图像的开口向下，且，， 当，即时，该二次函数的图像与线段只有个交点； 当，即时， 若二次函数的图像与线段只有个交点，则， 解得； 综上，当二次函数的图像与线段只有个交点时，的取值范围为或或． 12．(1) (2)点，的最小值为． (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用、求出函数解析式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的对称性以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）根据抛物线的对称性得到，得到当三点共线时，的值最小，且为的长，求出直线的解析式，其与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）先根据题意补全图形，设，则，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线， ∴点B为． （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴， 如图：连接交对称轴于点P，连接， ∵点A关于对称轴的对称点为点B， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，且为的长， ∵， ∴； 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为． （3）解：如图：过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q． ∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴， 设，则， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 13．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据得即，结合， 确故，构造方程组解答即可； （2）先求得直线的解析式为，不妨设，则，则，继而计算出代数式的最值， 且当时，有最大值，此时．作，延长交于点G，过点P作于点Q，交于点M，交于点N，此时，此时取得最小值，利用三角函数解答即可． （3）先根据向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得到符合题意的新抛物线，过点D作，交第一象限内抛物线于点Q，则，确定直线的解析式为，再确定直线的解析式为，构造方程组，确定；证明，得到，此时当点Q与点A重合时，，此时， 综上所述，符合题意的点或，解答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴即， ∵， ∴， 故， 把点，分别代入， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 不妨设，则， ∴，根据得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值，此时． 作，延长交于点G， 过点P作于点Q，交于点M，交于点N， ∴， 此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴的最小值为． （3）解：当时，有最大值，此时． ∵，， ∴，， ∴， ∴向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得到符合题意的新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 过点D作，交第一象限内抛物线于点Q， 则， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，（舍去）， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q与点A重合时，， 此时， 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的最值，三角函数的应用，特殊角函数值的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，垂线段最短，熟练掌握函数的最值，三角函数的应用是解题的关键． 14．(1) (2)当取得最大值时，点P的坐标为，的最小值为 (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，设，则，可得；求出直线的解析式为，则，可得，进而得到，则当时，有最大值，可求出此时，点P的坐标为，点D的坐标为；可证明四边形是平行四边形，得到；作点D关于y轴的对称点T，连接，则，由轴对称的性质可得，则可证明当N、T、A三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，据此求解即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，进而求出点F，点G，点H的坐标，求出直线的解析式，设出点的坐标，根据轴对称的性质得到，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴； ∵， ∴可设直线的解析式为， 由题意得， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时， ∴， ∴， ∴ ， ∵，且， ∴当时，即时，有最大值， ∴此时，， ∴点P的坐标为，点D的坐标为； 如图所示，连接， ∵线段在y轴上，且，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 如图所示，作点D关于y轴的对称点T，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴当N、T、A三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：∵平移前的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴可设， 由（2）可得， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，当时，， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，两点距离计算公式，轴对称的性质等等，确定点P的坐标是解题的关键． 15．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出的长，进而将点和代入函数解析式，进一步得出结果； （2）作于，交于，先推出当最大时，最大，即的面积最大，求得的函数解析式，进而设点和点坐标，进而表示出的关系式，进一步得出点坐标；连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长，进一步得出结果； （3）先求出平移后的抛物线解析式，可得出，进而推出，当时满足条件，从而得出坐标；作，交于，交轴于点，设，根据列出方程，从而求得坐标，进而求得的解析式，求出其与的交点，从而得出结果． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，过点作于，交于，过点作于， 轴， ∴， ， ， ， ， 当最大时，最大，的面积最大， ， 直线的解析式为：， 设， ， 当时，最大， ， ， 连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长， 由得， 或， ， ， 的最小值为：； （3）解：如图2， 抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位后为：， 即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 由题意得， 当平移到点，点平移到， ， ，即， 作，交于，交轴于点， 设， ， ， ， ， ， ， 的解析式为：， 由得， 或， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，图象的平移，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $