2026年中考数学一轮复习专题练习：二次函数的最值

一轮复习专练题：二次函数的最值 一．选择题 1．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣4的最小值为（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 2．二次函数y＝bx2+2b2x﹣6（b为常数，且b≠0）的图象经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则该二次函数（　　） A．有最大值﹣7 B．有最小值﹣7 C．有最小值﹣5 D．有最大值﹣5 3．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 4．函数y＝x2+2x﹣3（﹣3≤x≤2）的最大值是（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．0 D．5 5．对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC+BD＝12，则四边形ABCD的面积最大值是（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 6．甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+10）2+30、y＝﹣（x﹣20）2+30，判断下列叙述正确的是（　　） A．当x＝10时，甲有最大值 B．当x＝10时，甲有最小值 C．当x＝20时，乙有最大值 D．当x＝20时，乙有最小值 7．已知非负数x，y，z满足x+y＝5，z﹣5x＝10，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为（　　） A．4 B．9 C．16 D．19 8．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（　　） A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D． 9．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则a+b+c的最大值等于（　　） A．﹣5 B． C．2 D．5 10．四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝6s时，CN＝DM； ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2； ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题 11．抛物线y＝2x2﹣4x+4的最小值是　 　 ． 12．若当﹣2≤x≤1时，二次函数的最小值为0．则m＝ 　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，∠BAC＝30°，点D在边AB上，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥CB于点F，则矩形DECF面积的最大值为　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为　 　 ． 15．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+2ax﹣3的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 　 　 ． 16．设x，y为实数，求S＝（y﹣1）2+（x+2y﹣6）2+（x+y﹣3）2的最小值＝　 　 ． 17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当运动时间t＝　 　 s时，△PBQ的面积最大，为　 　 cm2． 三．解答题 18．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为t（s）． （1）若P、Q两点的距离为时，求t的值？ （2）当t为何值时，△BPQ的面积最大？并求出最大面积． 19．综合与实践：制作一个长方体礼盒． 素材：一张矩形卡纸（长为30cm，宽为24cm，如图①）． 【实验操作】 操作一：如图②，将矩形卡纸剪去两个完全相同的小正方形和两个完全相同的矩形； 操作二：如图③，将剩余部分卡纸以矩形ABCD为底面（阴影部分）折成一个长方体礼盒（接缝处忽略不计）． 【问题解决】 设剪去的小正方形边长为xcm． （1）长方体礼盒底面长AB为　 　 cm，宽BC为　 　 cm（用含有x的式子表示）； （2）若礼盒的底面积为140cm2，求x的值； （3）是否存在x，使礼盒的侧面积最大？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 20．已知平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P． （1）若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则t的值为　 　 ； （2）在（1）的条件下，若点（m，y1），（m+3，y2）均在该函数的图象上，且y1＜y2，求m的取值范围； （3）当1≤x≤3时，这个二次函数的最小值为3，求t的值． 21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2． （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）． （1）当a＝2时，求抛物线顶点坐标； （2）在（1）的条件下，把二次函数的图象向左平移1个单位，得到新的二次函数图象，当0≤x≤3时，求新的二次函数的最大值与最小值； （3）已知P（x1，y1）和Q（x2，y2），是抛物线上两点，若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2，求a的取值范围． 23．定义：在平面直角坐标系中，图形G上的点P（x，y）的横坐标x和纵坐标y的和x+y称为点P的“横纵和”，而图形G上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”，并将“极小和”记为S． （1）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的图象上点P（1，﹣3）的“横纵和”是　 　 ；该抛物线的“极小和”是　 　 ． （2）抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2，若﹣2021≤S≤﹣2020，求m2的取值范围． （3）已知二次函数y＝x2+bx+c（c≠0）的图象上的点和点C（0，c）的“横纵和”相等，求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由． 24．如图，已知长方形ABCD中，AB＝CD＝16，BC＝DA＝24，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P以4个单位/秒的速度从A出发，沿着A→B→C运动到C点停止，设点P运动的时间为t秒，△APE的面积为y． （1）点P运动过程中，求出y与t之间的关系式； （2）当t为何值时，y最大？并求出y的最大值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D D B C B C C D 二．填空题 11．当x＝1时，y取得最小值，最小值为2． 12．或． 13．． 14．5． 15．或． 16．． 17．2，4． 三．解答题 18．解：（1）由题知， BP＝6﹣t，BQ＝2t． 在Rt△BPQ中， PQ2＝PB2+PQ2＝（6﹣t）2+（2t）2， 又因为P、Q两点的距离为， 所以（6﹣t）2+（2t）2＝（）2， 解得． 又因为0≤t≤4， 所以上述两解都符合题意， 故t的值为2或． （2）由（1）知， t）， 又因为0≤t≤4， 所以当t＝3时， S△BPQ有最大值为9cm2． 19．解：（1）由题意得：长方体礼盒底面长AB＝（24﹣2x）cm， 宽； 故答案为：（24﹣2x）；（15﹣x）； （2）由条件可得（24﹣2x）•（15﹣x）＝140， 解得：x1＝5，x2＝22（不合题意舍去）， （3）存在x，使礼盒的侧面积最大，理由如下： 设礼盒的侧面积为ycm2，由题意得： y＝2（24﹣2x）x+2（15﹣x）x ＝﹣6x2+78x ＝﹣6（x﹣6.5）2+253.5， ∵， 解得：0＜x＜12， ∴当x＝6.5时，y最大为253.5， 即存在x使礼盒的侧面积最大，此时x＝6.5． 20．解：（1）由题意，∵二次函数y＝（x﹣t）2﹣1的图象交y轴于点P， ∴P（0，t2﹣1）． ∴将点P向右平移4个单位得到P（4，t2﹣1）． 又∵此时P（4，t2﹣1）在二次函数y＝（x﹣t）2﹣1上， ∴（4﹣t）2﹣1＝t2﹣1． ∴t＝2． 故答案为：2． （2）∵点（m，y1），（m+3，y2）在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上， ∴，． ∵y1＜y2， ∴m2﹣4m+3＜m2+2m． ∴m． （3）由题意，①当t＜1时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y的最小值为3． ∴（1﹣t）2﹣1＝3． ∴t＝﹣1或t＝3（舍去）． ②当1≤t≤3时，二次函数的最小值为﹣1，不合题意，舍去． ③当t＞3时，二次函数y＝（x﹣t）2﹣1在1≤x≤3的范围内y随x的增大而减小， ∴当x＝3时，y的最小值为3． ∴（3﹣t）2﹣1＝3． ∴t＝1（舍去）或t＝5． 综上可知，t的值为﹣1或5． 21．解：（1）设经过t秒以后△PBQ面积为6， ∵∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， ∴PB＝7﹣t，BQ＝2t， ∴S△PBQ（7﹣t）•2t＝6． ∴t＝1或t＝6； ∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ∴0≤t≤5． ∴t＝1． 答：1秒后△PBQ的面积等于6cm2； （2）存在时间t，使得△PBQ的面积最大，理由如下： 由题意得：S△PBQ（7﹣t）•2t＝﹣t2+7t＝﹣（t）2． ∵0≤t≤5， ∴当t时，△PBQ面积最大为． 22．（1）解：当a＝2时，抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x， ∵y＝2x2﹣8x＝2（x2﹣4x）＝2（x﹣2）2﹣8， ∴该抛物线的顶点为（2，﹣8）； （2）解：抛物线的解析式y＝2（x﹣2）2﹣8， 当抛物线向左平移1个单位，抛物线的解析式为y＝2（x﹣2+1）2﹣8， 即y＝2（x﹣1）2﹣8， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， 当0≤x≤3时， 当0≤x≤1时，y随x的增大而减小， 当1≤x≤3时，y随x的增大而增大． x＝3时，二次函数有最大值，最大值为：y＝2×（3﹣1）2﹣8＝0， x＝1时二次函数有最小值，最大值为：﹣8； （3）抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）的对称轴为：直线， 当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴右侧，y随x的增大而增大， 若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2， 则4a＜4， ∴a＜1， ∴0＜a＜1； 当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵对称轴为：直线x＝a， ∴（4a，y1）在抛物线上的对称点为（﹣2a，y1）， 若对于x1＝4a，4≤x2≤5，都有y1＜y2， 则﹣2a＞5， ∴ ∴a的取值范围为：0＜a＜1或． 23．解：（1）由题意，∵点P（1，﹣3）， ∴“横纵和”是1+（﹣3）＝﹣2， ∵， ∴抛物线的“极小和”是； 故答案为：﹣2；； （2）由题意得，x+y＝x2﹣（2m+1）x﹣2+x＝x2﹣2mx﹣2＝（x﹣m）2﹣m2﹣2， ∵记抛物线y＝x2﹣（2m+1）x﹣2的“极小和”为S， ∴S＝﹣m2﹣2， ∵﹣2021≤S≤﹣2020， ∴﹣2021≤﹣m2﹣2≤﹣2020， ∴2018≤m2≤2019； （3）这个“极小和”有最大值； ∵点和点C（0，c）的“横纵和”相等， ∴ 即：m＝﹣2c， ∴A（﹣c，2c）， ∴2c＝c2﹣bc+c， ∵c≠0， ∴b＝c﹣1， ∴y＝x2+（c﹣1）x+c， ∴， 令y＝x2+（c﹣1）x+c的“极小和”为S， ∴， ∴当c＝2时，S有最大值，最大值为1． 24．解：（1）①当P在AB上时，即0≤t≤4时（如图1）， AP＝4t， ∴y4t×24＝48t； ②当点P在BC上时，即4＜t≤10（如图2）， 此时BP＝4t﹣16， 则PC＝24﹣（4t﹣16）＝40﹣4t， y＝24×1616×（4t﹣16）（40﹣4t）×824×8＝﹣16t+256， ∴； （2）当0≤t≤4时，△APE的面积为y＝48t， ∵48＞0， ∴y随着x的增大而增大， ∴当t＝4时，y最大值＝192， 当4＜t≤10时，△APE的面积为y＝﹣16t+256， ∵﹣16＜0， ∴y随着x的增大而减小， ∴当4＜t≤10时，y＞﹣16×4+256＝192， 综上可知，当t＝4时，y取得最大值，y的最大值为192． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/11 10:34:57；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $