精品解析：广东佛山市顺德区李兆基中学2025-2026学年下学期期中教学质量检测高一数学

李兆基中学2025～2026学年下学期期中教学质量检测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，分别是内角所对的边，若，，，则边（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，在中，，，， 由余弦定理，可得， 所以. 2. 在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A. B. C. 或 D. 无法确定a的范围 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，然后根据三角形一解的条件列不等式即可求解. 【详解】中，，，， 由正弦定理得，即，可得， 根据，且仅一个解时，或， 即或，结合，解得或. 3. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照和对图象变换的影响写出相应的解析式即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得到， 即所得到的图象的函数解析式是. 4. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】由图可知，即，又，所以， 又关于对称，且， 因为且，所以，解得，所以， 所以，解得，所以， 所以. 故选：A 6. 在中，在上，且，，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】在和中分别利用正弦定理，再结合条件即可化简得出. 【详解】因，则， 因，则， 在中利用正弦定理得，①， 在中利用正弦定理得，，则②， 由①②两式得. 故选：C 7. 当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立函数解析式可得题设所求为当时方程的所有根之和，分区间、讨论求解即可. 【详解】时，函数与的图象所有交点横坐标之和为方程的所有根之和， 当时，方程即，即， 因为，所以，所以； 当时，方程即，即， 因为，所以，所以. 综上，当时，方程的所有根之和为. 故选：B 8. 等腰梯形中平行于，，，，为线段上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】以为原点，建立如图平面直角坐标系， 则，，. 设，，则，， 所以. 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角是斜三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由结合诱导公式分析判断，对于C，利用正弦定理和三角形的性质分析判断，对于D，利用诱导公式与两角和的正切公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以由正弦定理可得， 因为在三角形中大边对大角，所以，所以C正确， 对于D，因为在斜三角形中，， 所以， 所以， 所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 为平面内一定点，若，则三点共线且 B. 非零向量满足，则与的夹角为锐角 C. 已知，是与平行的单位向量，则 D. 为所在平面内的点，，则为的外心 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，可根据向量共线的判定定理判断三点是否共线，再通过向量运算判断与的关系；对于选项B，根据向量数量积公式，假设夹角为时，可得，即可判断；对于选项C，先求出与平行的单位向量的表达式，再根据已知条件确定；对于选项D，可通过向量运算判断点的位置. 【详解】对于A选项，因为为平面内一定点，，则，所以，即，因为与有公共点，所以三点共线，故A正确； 对于B选项， 当的夹角为时，与同向，满足，此时夹角不是锐角，故B错误； 对于C选项，已知，则， 所以与平行的单位向量， 即或，故C错误； 对于D选项，因为， 所以， 设中点为，则，所以， 即，所以， 同理，设中点为，则，所以， 即，所以， 因为，，所以在、的垂直平分线上，所以为的外心，故D正确. 综上所述，选项AD正确. 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的最大值为3 C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，根据向量线性运算即可判断A，根据向量数量积的坐标运算即可判断B、C，最后用表示来求的取值范围. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立直角坐标系， 则,； , 所以，A正确. 因为位于以为圆心，1为半径的半圆上，设，； ， 因为的最大值为，所以的最大值为3，B正确. ， ，C错误. 因为，所以， 即，因为，所以，D正确. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是圆弧上的点如何表示，以为原点建立坐标系，能简化点的坐标. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合扇形的弧长及周长公式，列方程求出弧长和半径，进而可求得扇形的面积. 【详解】根据题意，扇形的圆心角为弧度，周长为10， 设扇形的半径为，弧长为，面积为， 则，解得，， 所以，扇形的面积. 13. 已知，则___________． 【答案】##-0.6 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式与三角恒等变换，结合正余弦的齐次式法即可得解. 【详解】因为， 则 . 14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行向量的几何性质，结合向量数量积的运算性质，即可求解. 【详解】如图，，， ，所以，则， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为，则有，即， 所以， 所以此时小货船航行速度大小为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，， 因为，所以，解得，即， ，因为，所以，即， 解得，即，， 因此在上的投影数量为， 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 ，， 设与的夹角为，， 因为，所以解得. 16. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若面积是2，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合余弦定理化简即可求解； （2）设，在中利用正弦定理可得，在中利用正弦定理可得，求出即可求解. 【小问1详解】 ， 所以， 由余弦定理可得， 所以； 【小问2详解】 ，则，， 在中，即，所以， 在中，，即，所以， 所以，解得， 又，，解得，所以. 17. 已知函数是函数的对称轴，且在区间上单调．函数的图象经过点． （1）求的表达式． （2）若函数在上有唯一零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称轴和单调性以及经过的点坐标确定的值，进而求出函数的表达式. （2）求出零点，根据零点个数列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点． 所以，因为，所以. 因为函数是函数的对称轴， 且在区间上单调， 所以，因为，所以，解得. 因为是函数的对称轴，所以. 将代入得，化简得. 结合，可得，所以的表达式为. 【小问2详解】 令，则，解得. 当时，；当时，； 因为函数在上有唯一零点，所以. 18. 在中，内角所对的边分别是，且． （1）求． （2）若，求边上的角平分线长； （3）求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先把已知条件中的用展开，约去后可直接求得再由正弦定理得到外接圆直径为，从而 （2）由结合正弦定理得到，，的值，由边上的角平分线为，利用三角形面积公式得到，得到由余弦定理结合得到从而得到的值. （3）由为边上的中线得到，将此式子两边平方得到，由和余弦定理得到，利用正弦定理求出和且结合两角差的正弦公式通过计算得到，又结合正弦函数的图像和性质得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 由已知 又所以 而 故 代入得 展开后可得 消去相同项，得 因为三角形内角满足所以 从而即 又因为所以 【小问2详解】 由小问（1）知 由正弦定理得 故且 已知，边上的角平分线为， 则， 即，即，因此 由余弦定理即 又因为所以 代入上式得从而 所以 【小问3详解】 由为边上的中线，得到， 则 因为，由余弦定理 即. 所以，即， 因为，所以， 可知且 所以 因为 所以，所以， 所以，因此 因为，于是故 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当时，恒成立，求实数t的取值范围； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明： 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，可得的解析式，令，根据x的范围，可得u的范围，根据二次函数的性质，即可得答案. （2）①令，根据x的范围，可得u的范围，令，则与的图象有2个不同的交点，根据图象，可得t的范围. ②由①得，不妨设，根据图象及t的范围，可得n的范围，根据辅助角公式，将所求进行化简，根据n的范围，结合正弦型三角函数的性质，即可得证. 【小问1详解】 由题意， 令，因为，所以， 则，即求在上恒成立， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，则的最大值为， 所以，解得，故实数t的取值范围为. 【小问2详解】 ①令，因为，所以， 因为函数在上有两个零点， 所以在上有两个根， 则在上有两个根， 令为开口向下，对称轴为的抛物线， 则的最大值为， 作出与的图象，则与的图象有2个不同交点， 由图象可得，则t的取值范围是. ②由①得为与的图象的交点， 则，即， 因为，不妨设，所以，则， 则， 因为，所以， 所以，则， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 李兆基中学2025～2026学年下学期期中教学质量检测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，分别是内角所对的边，若，，，则边（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A. B. C. 或 D. 无法确定a的范围 3. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 在中，在上，且，，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7. 当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为（ ） A. B. C. D. 8. 等腰梯形中平行于，，，，为线段上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角是斜三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 为平面内一定点，若，则三点共线且 B. 非零向量满足，则与的夹角为锐角 C. 已知，是与平行的单位向量，则 D. 为所在平面内的点，，则为的外心 11. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的最大值为3 C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________． 13. 已知，则___________． 14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度大小__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且， （1）求在方向上的投影向量； （2）求与的夹角． 16. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若面积是2，求； （2）若，求． 17. 已知函数是函数的对称轴，且在区间上单调．函数的图象经过点． （1）求的表达式． （2）若函数在上有唯一零点，求的取值范围． 18. 在中，内角所对的边分别是，且． （1）求． （2）若，求边上的角平分线长； （3）求边上的中线的取值范围． 19. 已知函数，其中t为常数. （1）当时，恒成立，求实数t的取值范围； （2）设函数在上有两个零点m，n， ①求t的取值范围； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $