精品解析：甘肃陇南市2025-2026学年春季学期学情评价(一) 八年级数学试卷

2026年春季学期学情评价(一) 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 图1所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图2所示的平行四边形，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（ ） 1 3 2 6 A. B. C. 6 D. 6. 如图，在中，，，，在数轴上，在上截取，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P，则的中点D对应的实数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D，E分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 8. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 2 9. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 当时，则二次根式_____． 12. 已知，那么的值是_____． 13. 如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为__________． 14. 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①）．风铎的底部可抽象为正六边形（如图②），连接．则_____． 15. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______． 16. 如图，点A在直线上，以A为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点C到直线的最大距离是___________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求出图形中x的值． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在甲地到乙地有一块山地正在开发，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且，求点C到公路段的距离？ 21. 如图，在的网格中，每个小正方形边长为．请按要求作图，使得顶点均在格点上． （1）在图①中画，使得，； （2）在图②中画线段，使得，此时_________． 22. 如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． （1）光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） （2）计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 24. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 25. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）四边形 是平行四边形． 26. 定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． （1）若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； （2）若，且a、n为正整数，则______； （3）试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 27. 综合探究 （1）如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当         时，四边形为正方形； （2）如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当          时，四边形为矩形； 当          时，四边形为菱形． （3）如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期学情评价(一) 八年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开方的因数或因式． 【详解】∵ 选项A中的被开方数是整数，且不含能开方的因数，满足最简二次根式的条件． ∴ A符合要求． ∵ 选项B中的被开方数是小数，可以化为分数，被开方数含分母，不满足条件． ∴ B不符合要求． ∵ 选项C中==，被开方数含能开方的因数，不满足条件． ∴ C不符合要求． ∵ 选项D中的被开方数含分母，不满足条件． ∴ D不符合要求． 2. 的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，三角形中，若两较小的边的长的平方和等于最大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断A、C、D，根据三角形内角和定理可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， 又∵， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 下面计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除的运算法则，分别计算各选项即可． 【详解】解：选项A：， ∴ A错误，该选项不符合题意； 选项B：，计算正确， ∴ B正确，该选项符合题意； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并， ∴ C错误，该选项不符合题意； 选项D：， ∴ D错误，该选项不符合题意． 4. 图1所示是某教学楼的楼梯扶手侧面图，将扶手最上方的形状抽象成图2所示的平行四边形，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据得到，据此求出的度数即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ． 5. 在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（ ） 1 3 2 6 A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 6. 如图，在中，，，，在数轴上，在上截取，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P，则的中点D对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，进而求出，最后求出即可． 【详解】解：∵的直角边，， ∴， 又∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 即点D所表示的数为：． 7. 如图，在中，点D，E分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点定义由求出，由求出，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵E为的中点，， ∴， ∵D为的中点，， ∴， 在中，， ∴．. 8. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得到，，再根据勾股定理得到的长，从而得到的长，最后再根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ． 9. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 10. 图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识．先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得． 【详解】解：如图： 连接， 四边形是正方形， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 当时，则二次根式_____． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入二次根式，计算后即可得到结果． 【详解】解：依题意，把代入，得． 12. 已知，那么的值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】将所给等式变形为，然后两边分别平方，利用完全平方公式即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为4 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便. 13. 如图，在直角三角形中，，，，D为直线上一个动点，连接．将沿折叠，若点A恰好落在直线上的点E处，连接，则的长为__________． 【答案】或6 【解析】 【分析】分两种情况：当点D在上时，当点D在延长线时，分别画出图形，利用勾股定理和折叠的性质，进行求解即可． 【详解】解：当点D在上时，如图所示： 在中，， 由勾股定理得：， 由折叠性质得：，， ∴， 设，则， ∵， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即此时的长为； 当点D在延长线时，如图所示： 根据折叠可得：，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， 即此时的长为6； 综上，的长为或6． 14. 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①）．风铎的底部可抽象为正六边形（如图②），连接．则_____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的性质，内角和的公式，三角形内角和，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质求出，，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：在正六边形中， ，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出，得到，继而推导出，根据勾股定理求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，点A在直线上，以A为顶点，在直线的上方作菱形．若，，则点C到直线的最大距离是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，连接，由菱形的性质推出．，得到，求出，判定是等边三角形，推出．当时，点C到直线的距离最大，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴．， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，点C到直线的距离最大，最大值为6． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并即可； （2）原式先计算括号内的，再进行二次根式的乘除法，然后再进行加法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求出图形中x的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，利用多边形的内角和公式建立方程求解即可． 【详解】解：由图可知， 解得． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的除法计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式. 20. 如图，在甲地到乙地有一块山地正在开发，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且，求点C到公路段的距离？ 【答案】点C到公路段的距离为240米． 【解析】 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴点C到公路段的距离为240米． 21. 如图，在的网格中，每个小正方形边长为．请按要求作图，使得顶点均在格点上． （1）在图①中画，使得，； （2）在图②中画线段，使得，此时_________． 【答案】（1） 如图①，三角形即为所求： （2）如图，线段即为所求；． 【解析】 【分析】（）由勾股定理可得，由勾股定理逆定理可得，故三角形为以为直角顶点的等腰直角三角形； （）根据网格特征即可作出线段，由勾股定理逆定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴． 22. 如图，在中，点E、F分别在、上，交于点．求证． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，易证，得出，即可得证． 【详解】略 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． （1）光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） （2）计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为； ∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为． 【小问2详解】 ， 根据题意可得，阴影部分是一个长为，宽为的矩形， 故阴影部分的面积为（）． 24. 数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】（1）12米 （2）7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 25. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）四边形 是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴ （2） 证明：由（）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由线段的和与差得，然后通过“”即可证明； （）由全等三角形性质可得，所以，然后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． （1）若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； （2）若，且a、n为正整数，则______； （3）试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 【解析】 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【小问1详解】 解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； 【小问3详解】 略 27. 综合探究 （1）如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，当         时，四边形为正方形； （2）如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点． 当          时，四边形为矩形； 当          时，四边形为菱形． （3）如图，在四边形中，，，，分别为，，，的中点．若，，试判断四边形的形状并加以证明． 【答案】（1）， （2）； （3） 解：四边形为正方形． 证明：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点 ∴，，，， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， 四边形为菱形， ∵，，， ， ∴， ， ∴菱形为正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查中位线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定． （1）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是菱形，再由，证明菱形是正方形； （2）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，当时，证明四边形是矩形；当时，证明四边形是菱形； （3）由中位线的性质先推出四边形是平行四边形，再由，证明四边形为菱形，最后由证明菱形为正方形． 【小问1详解】 解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为；，； 【小问2详解】 解：∵在四边形中，，，，分别为，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 当时，可得， ∴四边形是矩形； 当时，可得， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $