精品解析：广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期4月段考数学试题

广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期4月段考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 18 4. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程，则下列结论中错误的是（ ）. 广告费用 3 4 5 8 销售利润 4 5 7 8 A. B. C. 直线必过点 D. 直线必过点 5. 某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有（ ） A. 9种 B. 11种 C. 44种 D. 45种 6. 对于事件A，B，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随机变量服从两点分布 B. 随着的增大，减少，增加 C. 当时，随机变量服从二项分布 D. 随着的增大，增加，减小 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的二项式系数之和为64 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中第4项的二项式系数最大 10. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ） A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差 C. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望 11. 现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（ ） A. 传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B. 时，球在乙手中的概率为 C. 传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D. 设球在乙手中的概率为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 13. 某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5．已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7．若首次选了“上门配送”，第二次选择换为“驿站取件”的概率为0.2．则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为．过点的直线与交于P，Q两点（均异于左、右顶点），若，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下2×2列联表． 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 不超过45岁 46 超过45岁 28 合计 78 （1）补全上述2×2列联表. （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； （3）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）若， 为的中点， 为棱上靠近点 的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. （1）求此双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 18. 第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1). （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为. （i）求出f(p)的最大值点; （ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列. 参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9544. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期4月段考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得：， 整理得，由于且，解得：． 2. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知两个球的颜色依次为红红或白白，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】若摸出的2个球颜色相同则中奖，则两个球的颜色依次为红红或白白， 所以中奖的概率为. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】等差数列中，由得， 所以. 4. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程，则下列结论中错误的是（ ）. 广告费用 3 4 5 8 销售利润 4 5 7 8 A. B. C. 直线必过点 D. 直线必过点 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，，即样本中心为，所以直线必过点，D正确，C错误; 而，， 因此，，所以AB正确. 5. 某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有（ ） A. 9种 B. 11种 C. 44种 D. 45种 【答案】D 【解析】 【分析】用树状图罗列4人抽到的贺年卡均不为自己的情况有几种即可得到5人中恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式. 【详解】除抽到自己的人，其它4人各写一张贺年卡集中起来，再每人从中抽取一张， 标记这4人为B、C、D、E，其对应的贺卡为b、c、d、e， 则4人均未抽到自己的贺年卡情况如下列树状图所以： 由树状图可知，这4人均未抽到自己贺卡情况下抽到的贺年卡情况共有9种， 所以5人各写一张贺年卡，集中起来再每人从中抽取一张，恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有种. 故选：D. 6. 对于事件A，B，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据概率加法公式和、的值求出，最后根据对立事件概率公式求出． 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 7. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率. 【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种， 任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论： 当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种； 2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种； 所以个位是偶数共有20种； 同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻做计数时，注意讨论特殊位置上放置偶数或奇数，进而分1、2是否在该位置的情况计数. 8. 端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随机变量服从两点分布 B. 随着的增大，减少，增加 C. 当时，随机变量服从二项分布 D. 随着的增大，增加，减小 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲礼盒里随机取一粽子，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 【点睛】知识点点睛：本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的二项式系数之和为64 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中第4项的二项式系数最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式定理以及性质逐一求出. 【详解】展开式共项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 令，则，则展开式各项的系数之和为1，故C正确； 共项，则展开式中第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BCD 10. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ） A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差 C. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的方差公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得 【详解】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 则，故A正确； 对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为， 则方差，故B正确; 对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3， 则，，则， 则，故C错误； 对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 则，故D正确； 故选：ABD 11. 现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（ ） A. 传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B. 时，球在乙手中的概率为 C. 传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D. 设球在乙手中的概率为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对B，列出各种可能传球路线，概率求和；对C，设球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为，分别列出与之间的关系式，整理得到；对D，列出的关系式，构造等比数列求出；对A，由时概率值可判断. 【详解】对于B：由已知，甲传给乙、丙、丁的概率分别为；乙传给甲、丙、丁的概率分别为； 丙传给甲、乙、丁的概率分别为；丁传给甲、乙、丙的概率分别为； 传球的路线可能是①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙；⑥甲-丁-甲-乙；⑦甲-丁-丙-乙. 其概率为，B正确； 对于C：设传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 则，所以，所以，所以是常数列，C正确； 对于D：当传球3次时，球在甲手中，传球的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲；④甲-丙-乙-甲；⑤甲-丁-丙-甲；⑥甲-丁-乙-甲. 其概率为， 所以球在A队成员手中的概率为. 由C可知，传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 所以，整理得， 所以是公比为的等比数列. 当时，，整理得，D正确； 对于A：由时，球在乙手中的概率为，结合C可知球在甲手中的概率为，故两个概率不相等，A错误. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】0.8## 【解析】 【详解】由可得，因， 由正态曲线对称性，得， 则. 13. 某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5．已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7．若首次选了“上门配送”，第二次选择换为“驿站取件”的概率为0.2．则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_________. 【答案】0.45## 【解析】 【详解】设表示首次选“驿站取件”，则表示首次选“上门配送”，则，表示第二次选“驿站取件”则， 根据全概率公式可得. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为．过点的直线与交于P，Q两点（均异于左、右顶点），若，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设点坐标，利用上下顶点连线斜率关系及椭圆方程，解得离心率，设焦半径长度，由椭圆定义及焦点三角形内角互补条件建立方程，求出各边长度后，在三角形中用余弦定理得结果. 【详解】设，上下顶点坐标分别为和，所以，得， 因为在椭圆上，所以，整理得， 所以，化简得，离心率； 设，则，，因为，所以，则，整理为，得，所以，中，根据余弦定理. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下2×2列联表． 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 不超过45岁 46 超过45岁 28 合计 78 （1）补全上述2×2列联表. （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； （3）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1） 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （2）能认为有关 （3）【解析】 【分析】（1）先根据总人数、“是”的合计数求出“否”的合计数，再结合已知的行列数据，依次算出其余空缺数值； （2）先确定列联表中的、、、对应数值，代入给定的公式计算统计量，再将结果与对应的临界值比较，根据比较结果作出判断； （3）先确定喜欢使用AI技术的总人数以及其中年龄超过45岁的人数，再利用条件概率公式计算. 【小问1详解】 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 超过45岁喜欢使用AI的人数：， 不超过45岁不喜欢使用AI的人数：，（总人数120，超过45岁合计，故不超过45岁合计）， 不喜欢使用AI的总人数：，符合总人数； 【小问2详解】 零假设：该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄无关。 根据卡方公式计算： 设， ， 已知小概率值对应的临界值，由于，因此拒绝， 依据的独立性检验，能认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； 【小问3详解】 设事件：抽中喜欢使用AI技术的教师， 事件：抽中教师年龄超过45岁，要求， 根据条件概率公式：， 其中（喜欢且年龄超过45岁的人数），（喜欢的总人数）， 因此：. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）若， 为的中点， 为棱上靠近点 的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以 是等腰直角三角形，所以，， 所以， 在 中，由余弦定理得，， 即，所以，所以， 所以 是等腰直角三角形，所以， 又因为，且，平面，所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）空间几何证明，利用平面几何关系找到，结合条件，利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用向量夹角余弦与平面夹角的关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又且，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则有，，，， 则，因为 为的中点，所以，， 因为 为棱上靠近点 的三等分点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令 ，则，，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 记平面与平面夹角的余弦值为， 所以. 17. 已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. （1）求此双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线方程为，依题意求出、、，即可得解； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到方程，解得即可. 【小问1详解】 依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 由，消去整理得， 则且，则且， 所以，， 所以 ， 因为，，， 所以，即，解得，符合题意， 所以. 18. 第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1). （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为. （i）求出f(p)的最大值点; （ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列. 参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9544. 【答案】（1）136； （2）（i）； （ii）分布列： 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）由正态分布原则即可求出排球个数； （2）（i）根据二项分布先求出，再利用导数求出取得最大值时 的值； （ii）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270， )，所以， 所以质量指标在(260，265]内的排球个数为个； （2）（i）， 令，得， 当时，， 在上单调递增； 当时，， 在上单调递减； 所以的最大值点； （ii）的可能取值为0，1，2，3. ； ； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 3 P 【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取得全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 【解析】 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $