广西南宁市第三中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题

2024年南宁三中高二年级下学期段考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知复数（是虚数单位）的实部为3，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知向量满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 0 3. 从3名男生，2名女生中选2人参加某项活动，在男生甲被选中的条件下，女生乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（ ） A. 函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B. 2不是函数的极值点 C. 在处切线的斜率小于零 D. 在区间上单调递增 5. “”是“直线与曲线相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 7. 正四棱台下底面边长为4，上底面边长为2，高为3，则该正棱台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 南宁三中五象校区高二年级在本学期组建了年级学生会，共设了学习部、生活部和文体部三个部门，现有5个同学去竞聘年级学生会委员，若每个部门至少聘用他们中的一个人，每人恰被一个部门聘用，并且甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用，则不同的聘用情况总数是（ ） A. 336 B. 162 C. 114 D. 60 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线和所成的角为 10. 已知是定义在上连续的奇函数，其导函数为，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 4为的一个周期 11. 费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出双曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（、为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.双曲线的左、右焦点分别为、，右顶点到一条渐近线的距离为，右支上一动点处的切线记为，则（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 当轴时，则内切圆圆心横坐标为 C. 当轴时，则与轴交点横坐标为 D. 过点作，垂足为， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为_____． 13. 抛物线的焦点为，直线与交于两点，则___________. 14. 已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程与演算步骤. 15. 已知是各项均为正数的数列的前项和，. （1）证明：数列是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 17. 某无人机制造有限公司是世界级独角兽企业，其产品优质，畅销全球.该公司2024年有3条新型无人机生产线. （1）假设新型无人机销售时按整箱出售，每箱10台.采购商在采购时，会随机选择一箱，并从中一次性随机抽取3台进行检查，若此箱产品中恰好有2台次品，求检测到的次品数的分布列和数学期望. （2）该公司的3条新型无人机生产线的次品率和生产的无人机所占比例如下表： 次品率 占比 1号生产线 0.01 2号生产线 0.02 3号生产线 0.04 现从所生产的无人机中随机抽取1台，用频率估计概率，已知取到的是次品，试求该次品分别由三条生产线所生产的概率，并分析该次品来自哪号生产线的可能性最大. 18. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切于，且与圆外切于，设动圆的圆心轨迹为曲线（如图）· （1）求曲线的方程； （2）若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与曲线相交于点和，求四边形面积的最小值. 19. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. （3）若，证明：. 2024年南宁三中高二年级下学期段考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程与演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）证明：因为，故， 故即， 而为正项数列，故，故为等差数列. （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 （2）1号生产线所生产的概率为，2号生产线所生产的概率为，3号生产线所生产的概率为，该次品来自第2条生产线的可能性最大 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明：当时，， 证明即，即， 令，则， 所以函数在上单调递增，且， 得，所以. 又，则，故， 所以当时，. （2） （3）证明：易知，则，所以， 又，所以， 当时，. 当时，由得，则， 令（），则， 所以在上单调递增，且， 所以， 又， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $