广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期4月段考数学试题

广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期4月段考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 18 4. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程，则下列结论中错误的是（ ）. 广告费用 3 4 5 8 销售利润 4 5 7 8 A. B. C. 直线必过点 D. 直线必过点 5. 某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有（ ） A. 9种 B. 11种 C. 44种 D. 45种 6. 对于事件A，B，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随机变量服从两点分布 B. 随着的增大，减少，增加 C. 当时，随机变量服从二项分布 D. 随着的增大，增加，减小 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的二项式系数之和为64 C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中第4项的二项式系数最大 10. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ） A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差 C. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望 11. 现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（ ） A. 传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B. 时，球在乙手中的概率为 C. 传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D. 设球在乙手中的概率为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，若，则______. 13. 某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5．已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7．若首次选了“上门配送”，第二次选择换为“驿站取件”的概率为0.2．则居民第二次选择“驿站取件”的概率为_________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为上的点与的上、下顶点连线的斜率之积为．过点的直线与交于P，Q两点（均异于左、右顶点），若，则_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下2×2列联表． 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 不超过45岁 46 超过45岁 28 合计 78 （1）补全上述2×2列联表. （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； （3）将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术的教师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）若， 为的中点， 为棱上靠近点 的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知焦点在轴上的双曲线，离心率等于，实轴长为. （1）求此双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点.如果，求的值. 18. 第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270， ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<1). （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为. （i）求出f(p)的最大值点; （ii）若以作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列. 参考数据:ζ ~N(u，)，则p(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6826，p(μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9544. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期4月段考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】0.8## 【13题答案】 【答案】0.45## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （2）能认为有关 （3） 【16题答案】 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以 是等腰直角三角形，所以，， 所以， 在 中，由余弦定理得，， 即，所以，所以， 所以 是等腰直角三角形，所以， 又因为，且，平面，所以平面 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）136； （2）（i）； （ii）分布列： 0 1 2 3 P 【19题答案】 【答案】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 若，则成立； 若，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $