专题08 一次函数与反比例函数（6大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦一次函数与反比例函数6大核心考点，精选全国多地区2026年一模真题，涵盖图象性质、实际应用及函数几何综合，梯度设计兼顾基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|一次函数图象平移（第5题）、反比例函数性质比较（31题）|情境时代性：24题全运会文创生产、30题体重管理骑行| |填空|约15题|一次函数性质开放探究（13题）、反比例函数增减性（33题）|问题层次性：基础题（4题开放填空）、提升题（26题行程问题）| |解答|约27题|一次函数实际应用（24题工程问题）、函数几何综合（62题矩形翻折）|创新应用：19题规律探究、65题动态矩形与反比例函数综合|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08一次函数与反比例函数 ☆6大考点概脱 考点01一次函数的图象 考点02一次函数的性质 考点03一次函数的实际应用 考点04反比例函数的性质 考点05反比例函数与一次函数的综合 考点06反比例函数与几何综合 考点01 次函数的图象 1.(2026广东湛江一模)如图，直线y=x-5与x轴、y轴分别交于A、B两点，则sin∠0AB的值为 () A.-} B. C.号 D.是 2.(2026广东珠海一模)若直线y=x+m与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则m的值为() A.2 B.2 C.±2 D.±V2 3.(2026江苏连云港一模)关于直线y=一x+b(b为常数)与直线y=x+5的交点情况，下列判断 一定正确的是() A.有1个交点，且在第一象限 B.有1个交点，且在第二象限 C.有1个交点，且在第三象限 D,有1个交点，但不在第四象限 4.(2026江苏无锡一模)请写出一个b的值，使一次函数y=x+b的图象经过第一、三、四象限，b= 5.(2026江苏无锡一模)把函数y=2x的图像沿y轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点() A.(1,2) B.(-1,-2)C.(1,5) D.（-1,-5) 6.(2026陕西咸阳一模)己知一次函数y=5x+a-3(a为常数)的图象过第一、三、四象限，则a的 值可以是() A.8 B.5 C.3 D.0 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026山东日照一模)将函数y=3x一2的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式为 8.(2026天津东丽一模)把直线y=一x一3向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第 四象限，则m的值可以是 (写出一个即可) 9.(2026陕西渭南一模)一次函数y=kx+3(k为常数，且k≠0)的图象不经过第三象限.若点N在 该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为() A.(-4,6) B.(1,0) C.(3,-8) D.(-2,0) 10.(2026天津红桥一模)若直线y=kx+2(k为常数，k≠0)经过第一、第二、第三象限，则k的值 可以是 (写出一个即可). 11.(2026天津西青.一模)函数y=一x+5的图象不经过第 象限， 考点02 一次函数的性质 12.(2026山西忻州一模)若点A(xy1),B(x2y2),C(x3y3)在一次函数y=2x-3的图象上， 且x1<0<x2<83<1.5,则y1,y2,y3和0用“<”连接的结果是() A.y1<y2<0<y3 B.y1<y2<y3<0 c.y1<0<y2<y3 D.0<y1<y2<y3 13.(2026江苏无锡一模)写出一个函数表达式，使它的图像经过(3,0)，且x>0时，y随x的增大而减 小，这个函数表达式可能是： 14.(2026江苏扬州一模)若(-3，m),(2,n)为直线y=(k-1)x+1上的两点，且m>n,则k的 取值范围是 15.(2026陕西宝鸡.一模)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,-一3)，且y的值随x的增大而增 大，若点B在该函数的图象上，则点B的坐标可能是() A.(1,4) B.(-3,2) C.(-1,0) D.(4,1) 16.(2026江苏无锡一模)请你写出一个函数表达式，满足以下条件：函数值y随x的增大而增大，且图 像经过点(0,4)，那么这个函数的表达式可以是 17.(2026江苏无锡一模)写一个函数表达式，使其图像经过点(0，一2，且函数值随自变量增大而增大： 18.(2026陕西成阳一模)己知点A(x1-1)和点B(x23)在直线y=(k+4)x+2(k为常数， k≠一4)上，若x1>X2,则k的值可能是（) A.0 B.-3 C.-5 D.2 19.(2026黑龙江齐齐哈尔一模)如图，直线y=V3x上有一点M,且OM=2.过点M作MN1x轴于 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点N,以点O为圆心，ON为半径作弧交OM于点M1,过点M1作M:N1⊥MN于点N;以点M1为圆心， 以M1N1为半径作弧交M1M于点M2,过点M2作M2N2⊥MN于点N2按此规律，则点Mn的坐标是 YA MY=V3x M AN M M 9 20.(2026陕西西安一模)一次函数y=kx一4的图象经过点P,且y随x值的增大而增大，则点P的坐 标可以为() A.（-3,4 B.（-2,-3 C.(2,1) D.(3,-5) 21.(2026山东济宁.一模)已知过点(2,1)的直线y=kx+b不经过第四象限，w=k+2b,则w的最 小值为() A.0 B. C.1 D. 22.(2026陕西宝鸡一模)已知点A(-2,a),B(3,b)均在直线y=kx(k≠0)的图像上，若a>b, 则该直线经过的点的坐标可以是() A. (-3,-5)B.(2,0) C.（14) D.(2,-7) 考点03 次函数的实际应用 23.(2026广东·一模)“漏壶”是我国古代的一种计时仪器.在综合实践活动中，某小组同学根据漏壶的原理 制作了如图所示的装置，它由一个圆锥容器和一个圆柱容器组成，中间连通，液体可以从圆锥容器匀速漏 到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有部分液体，则根据表格中的数据可知，h与t之间的函数表达式 为() 时间t/h 1 2 3 4 圆柱容器中液面的高 5 11 14 度h/cm 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.h=6-tB.h=7-2t C.h=2t+3 D.h=3t+2 24.(2026广东深圳一模)2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋 洋乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱.某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件.公司有甲、 乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍.先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余 产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单. (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (②)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数 不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生 产总量是多少？ 25.(2026福建三明一模)蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家 常，好不惬意.某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷，若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐 篷1顶，则需2200元；若购买A种型号帐篷1顶和B种型号帐篷3顶，则需3600元. (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格： (②)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买)，购买A种型号帐篷的数量 不超过购买B种型号帐篷的数量的三，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各 多少顶？ 26.(2026江苏连云港一模)某景区的同一线路上依次有A,B,C三个景点（如图1），小兴从A景点出 发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500 米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点.两 人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t(分)，两人各自距A景点的路程s(米)与t(分)之间的 函数图象如图2所示. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个s(米) 3500 P景点C 1500 o rnr 景点A 景点B 501(分钟) 图1 图2 (1)m= (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s(米)与t(分)之间的函数表达式（不必写出t的取值范围）： (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当t是多少时，两人相距140米 27.(2026·江苏泰州一模)如图，在长方形电子屏ABCD中，AD=16m,AB=9m,一条公益广告画面 的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线CD一DA一AB,以2m/s的速度匀速运动，O为BC 中点，连接OP,随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开。 A D B (I)直接写出展开的画面面积S(单位：m2)关于点P的运动时间t(单位：s)的函数表达式，并写出自变 量t的范围； (②)当展开的画面面积达到电子屏面积的专时开始播放广告语，播放时间持续8s,求播放结束时展开的画面 面积. 28.(2026浙江宁波·一模)2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米.小聪和小明两名选手同时从起点出 发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟 后继续以原速跑到终点.小聪和小明离出发点的路程y(km)与出发时间x(mn)之间的函数关系如图1 所示，两人相距的路程S(km)与出发时间x(min)之间的函数关系如图2所示. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 km)个 D 21 s(km)个 15 5 6070 a x(min) 0 60 ax(min) 图1 图2 (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）. (2)求图中a的值. (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值， 29.（2026浙江台州·一模)为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两 端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工.开工几天后，甲队有若干名工人因故 离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长.设铺设光缆时间为x(单位：天)，此时，工程队铺设 光缆的地点到甲队开工起点的距离为y(单位：米)，甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示. (米) 6000 乙队 3200 1200 甲队 14x(天) (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天？ (②)求乙队y关于x的函数关系式 (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天？ 30.(2026浙江杭州一模)2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动.为了响应国家号召，小明 和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.6小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行， 他们离出发点的路程s(km)关于时间t(h)的变化情况如图所示. 本s(km) 一-小丽一小明 30 CD 12-- B 00.6 2.63 (h) 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()分别求出小丽和小明骑行的速度， (2)求线段BC所在直线的函数表达式. (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程. 考点04 反比例函数的性质 31.(2026广东江门一模)若点A(-2,y1),B(3,y2),C(4y3)都在反比例函数y=-的图象上， 则y,Y2,V3的大小关系是(). A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y1<y3<y2D.y2<y3<y1 32.(2026广东广州一模)己知点A(xy1)和B(x2y2)均在反比例函数y=奈(k<0)的图象上，若 -2≤1≤-1,2≤x2≤3，则下列结论一定不成立的是() A.y1+y2=0B.y1+y2>0 C.y+y2<0 D.y1+y2=-号k 33.(2026广东东莞一模)已知反比例函数y=(x≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大，写出一个满 足条件的反比例函数解析式 34.(2026广东一模)已知方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2.而点A(xy1), B(82y2)为反比例函数y=安的图象上两点，若0<x1<x2,则y1'2(填“>"或“<“或 “=”). 35.(2026广东广州一模)已知点A(xy:),B(X2Y2)都在反比例函数y=景的图象上，且 x1<X2<0,则V1与Y,的大小关系是() A.y1<y2 B.y>y2 C.yi=y2 D.无法确定 36.(2026江苏南通一模)如图，将反比例函数y=景的图象向右平移1个单位，可以得到函数y=一的 图象.下列关于函数y=寻的说法中，正确的是(. A.该函数图象交y轴于点(0,3 B.该函数图象关于点(0,1)对称 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.该函数图象关于直线y=x一1对称 D.该函数图象上任取两点(xy1),(x2y2),若0<x1<x2,则y1>y2 37.(2026江苏宿迁一模)反比例函数y=-是，若y>一3，则x的取值范围是 38.(2026浙江宁波一模)己知点A(m,y1),B(m-2,y2)是反比例函数y=图象上两点，若 y1>y2,则m的取值范围为() A.m>2 B.m<0 C.0<m<2 D.m<0或m>2 39.(2026浙江·一模)己知反比例函数y=(k≠0)的图象过点(2一4)，则下列说法正确的是(). A.k=8 B.函数图象位于第一、三象限 C.图象必过(-2,4) D.y随x的增大而增大 40.(2026浙江舟山一模)已知点A(xy1),B(x2y2)在反比例函数y=景的图象上.若x1<x2<0 ,则() A.y1<y2<0B.y2<y<0 C.0<y1<y2 D.0<y2<y1 41.(2026浙江台州一模)已知点A(xy1),B(x2y2)在反比例函数y=是的图象上，且x1·2>0, 则下列结论一定正确的是() A.y1+y2<0B.y1+y2>0 C.y1y2<0 D.y1y2>0 42.(2026浙江杭州一模)已知反比例函数y=的两点A(2m+1,y1),B(4-m,y2),若y1>y2, 则m的取值范围为 43.(2026浙江湖州一模)已知反比例函数y=是上有A(t-1,y1)B(1-七，Y2)两点，当t满足下列什 么条件时，一定有y1>y2() A.t>0 B.t<0 C.t>1 D.t<1 44.(2026浙江杭州一模)已知反比例函数y=(a≠3)，点M(xy1)和N(x2y2)是反比例函数图 象上的两点，若对于81=2a,2≤x2≤4，都有y1<y2,则a的取值范围是() A.a<0或2<a<3 B.0<a<1 C.2<a<3D.a>3或a<0 考点05 反比例函数与一次函数的综合 45.(2026广东中山一模)已知：点P(m,n)在直线y=-x+5上，也在双曲线y=忌上，则m2+n2的 值为 46.(2026广东中山一模)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx十b和反比例函数y=的 图象相交于点A(1,m),B(n,-2). 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式是<kx+b<0的解集. 47.(2026广东湛江一模)如图1，在平面直角坐标系中，A0,),C(m0),双曲线y=号(x>0)与矩 形OABC的两边AB、BC分别交于D、E两点，连接OD、OE、DE,将△DBE沿DE翻折后得到 △DBE D B B'C 图1 图2 图3 图4 (I)探究一：如图2，若点D为AB中点时，点B又恰好落在线段OD上，点E的纵坐标为 (用含n 的式子表示)； (2)探究二：如图3，若OE平分∠D0C,当四边形DBEB是正方形时，求矩形OABC的面积： (3)探究三：如图4，若点D在直线y=x上，是否存在m的值使B点落在x轴上，若存在，求出点E的坐 标；若不存在，请说明理由， 48.(2026广东广州一模)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，一次函数y=kx一2的图象与x轴 交于点A(-1,0),与反比例函数y=受的图象交于点B(一2，a),射线B0与反比例函数的图象交于点C ,连接AC 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)根据图象，直接写出不等式要>kx一2>0的解集： (3)求△ABC的面积. 49.(2026广东梅州一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，☐0ABC的边0C在x轴上，点B的坐标为 (9,3),点C的坐标为(5,0)，反比例函数y=奈(k≠0，x>0)的图象经过点A,与0B交于点E. E O C (I)求该反比例函数的表达式： (2)点G是y轴上的动点，连接GA,GE,求GA+GE最小值时点G坐标： (3)连接AE,在反比例函数图象上是否存在点P(点P与点E不重合)，使得S△0AP=S△OAE?若存在，求 出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 50.(2026广东广州.一模)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=要的图象相交于点 A(2,3)和点B(-3,n). 8 6 41 A 6-4202468 4 6 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)根据图象，直接写出不等式kx+b>罗的解集： (3)设直线AB与x轴交于点C,求△A0C的面积 51.(2026江苏泰州一模)如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax十3的图象与反比例函数 y=奈(x>0)的图象交于点A(2,4),过点B(0,2)作x轴的平行线分别交y=x+3与y=奈(x>0) 的图象于C,D两点，连接AD,则△ACD的面积为 C B 0 52.(2026江苏连云港一模)如图，已知一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=奈(k≠0， x>0)的图象相交于点A,点B(点A在点B的左侧).连接OA,过点B作BD⊥y轴，垂足为D,与OA交 于点C B D 0 (1)若已知点B的坐标为(6，n). ①求k的值； ②点A的坐标为，S△4BC=; ②)当器=青时，请直接写出线段0D的长。 53.(2026江苏扬州一模)如图所示，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数 y=瓷(k≠0)的图象交于第二、四象限的点A(一2，a)和点B(b,一2)，过A点作x轴的垂线，垂足为 点C,△A0C的面积为4. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)分别求出a和b的值： (2)结合图象直接写出mx-会+n≥0的取值范围： (3)在y轴上取点P,使PB-PA取得最大值时，求出点P的坐标， 54.(2026浙江丽水一模)如图，过原点的直线与反比例函数y=会的图象交于A(a,b), B(a-2b-4)两点，则k的值为 5.(2026浙江温州一模)如图，一次函数y=k1x+b(k1>0)的图像与反比例函数y2-受(k2>0) 的图像交于A、B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为一2，当y1<y2时，则x的取值范围是 56.(2026山东济南一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y=奈 的图象交于点A(4,),与y轴交于点B,经过点A、点0的直线与反比例函数y=会的图象在第三象限交 于点C,△AHC是以AC为斜边的直角三角形. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 (1)求反比例函数的解析式： (2)如图1，当点H在y轴的正半轴时，求△BAH的面积； (3)如图2，若AH平分∠BAC,求点H的坐标. 57.(2026山西临汾一模)如图，已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图像和反比例 函数y=畏的图像的两个交点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式kx十b<要的解集， 58.(2026北京顺义一模)在平面直角坐标系x0y中，函数y=k(x-2)+3(k≠0)的图像经过点 (2,m),反比例函数y=发的图像经过点(1,2). (1)求m,n的值； (2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=k(x-2)+3(k≠0)的值都大于函数y=景的值，直接写 出k的取值范围。 59.(2026河南南阳一模)如图，已知反比例函数y=奈(x>0)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的 图象交于点A(2,a),点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ()求反比例函数的表达式： (2)若BD=3,求点B的坐标； (3)反比例函数y=袁(x>0)的图象关于x轴对称的图象为y,直接写出射线OA绕点0顺时针旋转90°后 与y的交点坐标. 60.(2026黑龙江大庆一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+b与反比例函数y2=奈的图 象交于A,B两点，其中点A、点B的横坐标分别是一4和3. (I)当y1>Y,时，直接写出x的取值范围； (②)求出一次函数和反比例函数的表达式： (3)将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C,求△PBC的面积. 考点06 反比例函数与几何综合 61.(2026广东东莞一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，反比例函数y=(x>0)的图象和△ABC都 在第一象限内，AB=AC=5,BCI‖x轴，且BC=8,点A的坐标为(8,12).将△ABC向下平移 m(m>0)个单位长度，A,C两点的对应点恰好同时落在反比例函数y=(x>0)图象上，则k=, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 62.(2026广东佛山一模)如1图，矩形0ABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，反比例函数 y=奈(x>0)的图象与矩形0ABC的边AB,BC分别交于点D与点E. 1图 2图 3图 (1)若点E坐标为(3,9)，求该反比例函数的表达式： (2)如2图，在(1)的条件下，连接0B交反比例函数y=奈(x>0)的图象于点F,若0B=30F,求点 D的坐标； (3)如3图，连接0B和OE,过点D作x轴的平行线交OB于点G,连接EG,若∠A0E=3∠AOB,猜想 BG与OE的数量关系，并证明. 63.(2026广东东莞一模)如图，在平面直角坐标系中，Rt△A0B的顶点坐标分别是0(0,0)，A(0,4) ,B(3,0),其两个锐角的外角平分线相交于点P,若点P恰好在反比例函数y=要的图象上，则△APB的 面积是 O 0 64.(2026广东东莞一模)如图1，矩形A0BC的顶点A、B分别在y轴和x轴上，点C的坐标为(8,6)· 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 图3 备用图 (I)反比例函数y=袁(x>0)的图象与边AC,BC分别交于点D,E,当AD=专DC时，求k的值和点E 的坐标： (2)如图2，点D,E分别在边AC,BC上，且反比例函数y=(x>0)的图象经过点D、E,连接DE AB,求证：AB‖DE (3)如图3，反比例函数y=奈(x>0)的图象与边AC,BC分别交于点D,B,若以DE为直径的圆与矩形 AOBC的边有5个公共点，求k的取值范围. 65.(2026广东惠州一模)如图1，点P为反比例函数y=袁(x>0)图象上的一个动点，过点P作射线0A ,点B在x轴的正半轴上，以点P为圆心、2OP为半径作弧交反比例函数图象于点E,连接PE,分别过点P 和点E作y轴和x轴的平行线形成矩形PDEF,该矩形对角线交于点C,连接OF. O 图1 图2 ()设P(a,吉)，E(b,吉)，求直线0F的函数解析式（用含a,b的代数式表示），并判断点D是否在直线 OF上： (2)猜想∠F0B与∠AOB的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当点P的坐标为(1,1)时，求△OPD与矩形PDEF的面积比 66.(2026广东珠海.一模)如图1，矩形0ABC的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为(4,2)，点A,C 分别在坐标轴上，反比例函数y=会的图象与AB,BC分别交于点D,E 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D A 0 N主 图1 图2 (①当器=专时，则噩的值为； (2)如图2，连接DE,将△BDE沿DE翻折，若点B刚好落在x轴上的F点处时，连接OD,求证： △ODF是等腰三角形， 67.(2026江苏泰州一模)平面直角坐标系xOy中，点A,B是反比例函数y=是(x>0)图象上两点， 点A和点A关于点O对称.设点A,B的横坐标分别为m,n(m≠n). B A A E 图1 图2 图3 ()如图1，若m=3,n=1,求△AAB的面积； (2)如图2，当∠ABA=90时，求mn的值： (B)如图3，过点A作直线AB的垂线，垂足为D,并交x轴于点E,直线AB交y轴于点C,连接CE,若以 AC,AE及CE为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由。 68.(2026江苏连云港一模)如图，在反比例函数的图象上有动点A,连接0A,y=令(x>0)的图象经 过OA的中点B,过点B作BCK轴交函数y=专的图象于点C,过点C作CEy轴交函数y=会的图象于点D ,交x轴于点E,连接ACOC,BD,OC与BD交于点F 下列结论：①k=1;②S△BoC=号，③S△cDF=言S△A0c:④若BD=A0,则∠A0C=2∠C0E:其中 正确的是（) 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 69.(2026江苏无锡一模)如图，直线AB与x轴交于点C,与反比例函数y=的图象交于AB两点， 过点A作AD⊥y轴，垂足为点D,若S△4cD=5,则a的值为() A.-4 B.-9 C.6 D.11 70.(2026浙江嘉兴.一模)如图，在直角坐标系中，0是原点，点A在反比例函数y=会(k为常数， k>0,x>0)的图象上，点C在x轴上，且A0=AC,延长AC交反比例函数y=专(x>0)的图象于 点B,记点A,B的横坐标分别为a,b.当a,b的值变化时，下列代数式的值不变的是() A.吉+ B.b-a C.b2-a2 D.abi ab 71.(2026浙江杭州一模)如图，△A0B的两点AB在反比例函数y=贵(x>0)的图象上，过B作 BD⊥y轴于点D,交OA于点E.若E为AO的中点，则△AEB的面积是() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.号 B. C.6 D.5 72.(2026湖北荆州一模)如图，已知点A在反比例函数y=袁(x>0)的图象上，点B在反比例函数 y=罗(x<0)的图象上，AB经过原点0，且0B=20A. (1)过点A,B分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N,则S△4oM:S△BOw= (2)若反比例函数y=会(x>0)的图象过点A(1,4).则m的值为 (3)在(2)的条件下，在x轴的正半轴上是否存在一点P,使△ABP为以点A为直角顶点的直角三角形，若 不存在，请说明理由；若存在，求出P点的坐标. 73.(2026四川南充一模)如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=要(x<0)的图象交 于点B(-2,3),与y轴正半轴交于点A,0A=2. A (1)求一次函数与反比例函数的解析式： (②)点C是AB延长线上一点，过点C作CE⊥x轴于点E,交反比例函数y=畏的图象于点D,当CB=AB Sc型值. 时，求Sscee 1/6 专题08 一次函数与反比例函数 6大考点概览 考点01一次函数的图象 考点02一次函数的性质 考点03一次函数的实际应用 考点04反比例函数的性质 考点05反比例函数与一次函数的综合 考点06反比例函数与几何综合 一次函数的图象 考点01 1．（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 2．（2026·广东珠海·一模）若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则m的值为（   ） A． B． C．± D． 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积为2列方程求解，即可得到的值． 【详解】解：当时，，则直线与y轴交点为， 当时，，则直线与x轴交点为 ∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为 ∴， 解得． 3．（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【分析】根据直线解析式判断其所在象限，即可求解． 【详解】解：直线中，，经过一、二、三，不经过第四象限， 因为直线与直线的不相等，所以两直线必有一个交点， 又因为交点必在直线上，所以交点不可能在第四象限， 故选项D符合题意． 4．（2026·江苏无锡·一模）请写出一个b的值，使一次函数的图象经过第一、三、四象限，__________． 【答案】（答案不唯一，小于0即可） 【分析】根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，判断出的取值范围，写出符合范围的任意一个的值即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，， ， 可以取（答案不唯一）． 5．（2026·江苏无锡·一模）把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像的平移规律，利用“上加下减”的平移规则求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证即可得到结果． 【详解】解：∵原函数为，将其图像沿轴向上平移3个单位长度，根据一次函数平移规则， ∴平移后得到的函数解析式为． 将代入解析式，得， ∴在平移后的图像上，因此选C． 6．（2026·陕西咸阳·一模）已知一次函数（a为常数）的图象过第一、三、四象限，则a的值可以是（   ） A．8 B．5 C．3 D．0 【答案】D 【分析】根据一次函数中，当，时，图象经过一、三、四象限，据此解答即可． 【详解】解：∵ 一次函数的图象过第一、三、四象限， ∴，即， 观察选项，只有选项D中的0满足． 7．（2026·山东日照·一模）将函数的图像向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数平移的“上加下减”法则即可求解. 【详解】解：将的图像向上平移个单位后，所得直线的解析式为： ． 8．（2026·天津东丽·一模）把直线向上平移m个单位长度，平移后的直线经过第二、第一、第四象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限求参数的范围，先根据平移规则求出平移后的直线解析式，再根据一次函数图象经过的象限与系数的关系列不等式求解即可. 【详解】解：由题意，根据一次函数图象平移规则，平移后的解析式为： ， 平移后的直线经过第二、第一、第四象限，一次函数中，只需满足， ， 解得， 的值可以是. 9．（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象不经过第三象限，结合一次函数性质确定的取值范围，再将各选项点坐标代入函数求出，判断是否符合的范围即可． 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 10．（2026·天津红桥·一模）若直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限，则k的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据一次函数图像与系数的关系，判断的取值范围，选取一个符合范围的值即可． 【详解】解：直线（k为常数，）经过第一、第二、第三象限， ， k的值可以是1（答案不唯一，满足即可）． 11．（2026·天津西青·一模）函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【详解】解：在一次函数中，，， 此函数的图象经过一，二，四象限，不经过第三象限． 一次函数的性质 考点02 12．（2026·山西忻州·一模）若点，，在一次函数的图象上，且，则，，和0用“”连接的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的符号判断函数增减性，再结合x的取值范围比较y的大小即可． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴随的增大而增大． 当时，代入得 ， 又∵ ， 根据增减性可得 ． 13．（2026·江苏无锡·一模）写出一个函数表达式，使它的图像经过，且时，y随x的增大而减小，这个函数表达式可能是：___． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设所求函数为一次函数，根据函数的增减性确定一次项系数的取值范围，再利用函数图象经过已知点求解未知参数，即可得到符合要求的函数表达式． 【详解】解：设所求函数为一次函数，表达式为， 时，随的增大而减小， ， 令，可得函数为， 将点代入得，解得， 因此符合条件的函数表达式可以为． 14．（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】结合已知两点横纵坐标的大小关系，得到关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：，是直线 上的两点，且， 随的增大而减小 根据一次函数的性质可得 解得 15．（2026·陕西宝鸡·一模）已知一次函数的图象经过点，且的值随的增大而增大，若点在该函数的图象上，则点的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定，再结合点得到，然后将各选项坐标代入解析式，验证是否成立，从而筛选出符合条件的选项． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴． ∵函数图象经过点， ∴， ∴． 选项A：， 将代入，得：， 又，矛盾，故A错误． 选项B： 将代入，得：， 将代入，得：， ， ， ，不符合，故B错误． 选项C： 将代入，得：， 将代入，得：， ， ， ，不符合，故C错误． 选项D： 将代入，得：， 将代入，得：， ， ， ，符合，故D正确． 16．（2026·江苏无锡·一模）请你写出一个函数表达式，满足以下条件：函数值y随x的增大而增大，且图像经过点，那么这个函数的表达式可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的增减性确定比例系数的取值范围，再利用函数经过的已知点求出常数项，即可得到符合要求的函数表达式． 【详解】解：设符合条件的一次函数表达式为， 函数值随的增大而增大， ， 函数图像经过点，将代入得， 取，可得函数表达式为． 17．（2026·江苏无锡·一模）写一个函数表达式，使其图像经过点，且函数值随自变量增大而增大：________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】设一次函数解析式为，根据函数增减性确定的取值范围，再将已知点坐标代入求出，即可得到符合要求的函数表达式． 【详解】解：设一次函数解析式为，其中 ， 将点代入解析式得：， 解得， 由函数值随自变量增大而增大，可得，取，可得函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2026·陕西咸阳·一模）已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知x与y的大小关系判断函数增减性，进而得到k的取值范围，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 19．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，直线上有一点M，且．过点M作轴于点N，以点O为圆心，为半径作弧交于点，过点作于点；以点为圆心，以为半径作弧交于点，过点作于点……按此规律，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】过点作交轴于点，过点作交于点，过点作交于点，根据题意可得，根据点在直线上，设，根据，得出，求出，则，根据，得出，则，得出，由题意得，以为圆心，，同理得出以为圆心，，以为圆心，，以为圆心，，按此规律即可得以为圆心，，即可求解． 【详解】解：过点作交轴于点，过点作交于点，过点作交于点， ∵以为圆心，为半径作弧交于点，过作于，以为圆心，以为半径作弧交于点；过作于， ， 点在直线上， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得，以为圆心时，， 以为圆心时，， 以为圆心时，， 以为圆心时，， ∴以为圆心时，， ∴， ∴的坐标为． 20．（2026·陕西西安·一模）一次函数的图象经过点P，且y随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，y随x值增大而增大时，，将各选项点坐标代入函数解析式求出，判断是否满足即可得到结果. 【详解】解：∵一次函数中，随值的增大而增大， ∴， A、将代入，得，解得，不符合题意； B、将代入，得，解得，不符合题意； C、将代入，得，解得，符合题意； D、将代入，得，解得，不符合题意. 21．（2026·山东济宁·一模）已知过点的直线不经过第四象限，，则w的最小值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先利用直线过已知点得到k与b的关系式，再根据直线不经过第四象限的性质得到k和b的取值范围，将w转化为关于单个变量的一次函数，根据一次函数的增减性求w的最小值． 【详解】解：∵ 直线过点， ∴ 将点代入直线方程得 ，整理得 ， ∵ 直线不经过第四象限，可得 ，， 将代入，得 ，解得 ， 因此的取值范围为 ， ∵ ，将代入得： ， ∵ ， ∴ 随的增大而减小， ∴ 当取最大值时，取得最小值，代入得： ， 即的最小值为． 22．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，均在直线的图像上，若，则该直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的增减性判断出的符号，再根据判断选项中的符号关系即可解答． 【详解】解：∵点，均在直线的图像上，且，， ∴随的增大而减小，可得． ∴对于，变形得，说明与符号相反，即选项D符合题意． 一次函数的实际应用 考点03 23．（2026·广东·一模）“漏壶”是我国古代的一种计时仪器．在综合实践活动中，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的装置，它由一个圆锥容器和一个圆柱容器组成，中间连通，液体可以从圆锥容器匀速漏到圆柱容器中．实验开始时圆柱容器中已有部分液体，则根据表格中的数据可知，与之间的函数表达式为（   ） 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器中液面的高度 5 8 11 14 17 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，观察表格数据可知， 随 的变化是均匀的，每增加 1 小时，增加 3cm，故设 与 满足一次函数关系 ，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由表格数据可知，时间 每增加 1 小时，圆柱容器中液面的高度 增加 ， 设 与 之间的函数表达式为， 将、和、代入得： ， 解得， 因此，与之间的函数表达式为． 24．（2026·广东深圳·一模）2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 【答案】(1)甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品 (2)应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件 【分析】（1）设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件，根据题意列出函数关系式，先求得，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （件）． 答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件， 根据题意得：， 安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 又为正整数， 最大取20， 当时，取得最大值，为（件）， 此时（天）． 答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件． 25．（2026·福建三明·一模）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买、两种型号的帐篷，若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买、两种型号的帐篷共顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷的数量不超过购买种型号帐篷的数量的．为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？ 【答案】(1)每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元 (2)购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶时，总费用最低 【分析】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元，根据题意构造方程组并求解即可； （2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用为元，根据题意可得，计算出，结合一次函数的增减性可得，当时，取得最小值． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． （2）解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用为元， 根据题意可得，，且， 解得， ， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最小值（元）．此时购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶． 答：购买种型号帐篷顶，购买种型号帐篷顶时，总费用最低． 26．（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】(1)25 (2) (3)43.25或44.25或48 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； （2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 27．（2026·江苏泰州·一模）如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开． (1)直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意：，分点P在上，点P在上，点P在上，求解即可； （2）利用分类思想解答，确定最终要计算的表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意：． 因为，，， O为BC中点， ． 当点P在上时，； 当点P在上时，，此时最长时间为， 故； 当点P在上时，，此时最长时间为，故； 综上所述，． （2）解：当展开的画面面积达到电子屏面积的时，此时面积为， 若，解得，不在范围内，舍去； 若，解得，在范围内，符合题意，此时开始播放广告语，因为播放时间持续，结束时间为，此时满足， 故求面积时，应该选择第三阶段的表达式，此时． 28．（2026·浙江宁波·一模）2026宁波半程马拉松的赛程全长为21千米．小聪和小明两名选手同时从起点出发，小聪在整个比赛过程中保持匀速跑步，小明跑了60分钟后到达食品补给站，在补给站中休息10分钟后继续以原速跑到终点．小聪和小明离出发点的路程与出发时间之间的函数关系如图1所示，两人相距的路程与出发时间之间的函数关系如图2所示． (1)求小明跑步的速度（单位：千米/分）． (2)求图中的值． (3)两人出发多少分钟后，他们相距的路程最大，并求出该最大值． 【答案】(1)千米/分 (2)126 (3)出发时，两人相距最远为 【分析】（1）根据速度的定义求解即可； （2）设对应的函数表达式，待定系数法求解即可； （3）根据题意，分，， ， ，求解即可； 【详解】（1）解：小明跑步的速度为千米/分． （2）解：小明跑了60分钟，路程为15千米，根据图2，得此时二人相距5千米， 故此时小聪跑的路程为（千米）， 故图象经过点， 设对应的函数表达式， 由题意得图象过点， ， 解得． 对应的函数表达式． 令， 解得． 的值为126． （3）解：当时，根据题意，得， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明此时休息，路程保持15千米，小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到60，故最大值小于5千米即； 小明跑完最后所需的时间为． 当时，根据题意，得小明跑的路程表达式为， 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而增大， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 当时，根据题意，得小明跑到了终点，路程为21千米，不变； 小聪跑的路程表达式为， 故， 且s随x的增大而减小， 故时，s取得最大值，且最大值为（千米）； 此时取不到94，故最大值小于千米即； ， 当时，他们之间相距最远，且为千米． 29．（2026·浙江台州·一模）为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，导致整个工程工期延长．设铺设光缆时间为x（单位：天），此时，工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y（单位：米），甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图所示． (1)完成这个光缆铺设工程用了多少天? (2)求乙队y关于x的函数关系式． (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划延长了多少天? 【答案】(1)14天 (2) (3)2天 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图象得完成这个光缆铺设工程用了天； （2）解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； （3）解：， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 30．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示． (1)分别求出小丽和小明骑行的速度． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程． 【答案】(1)小丽，小明 (2) (3)8 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键． （1）结合函数图象，根据速度=路程÷时间，求解即可； （2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可； （3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：小丽的速度： 小丽到达点A的时间为， 小明到达点A的时间为：， 小明的速度：； （2）解：点B到点C所用时间为， 则点B的时间为， 点 设线段的函数表达式为 把和代入， 得 解得，， 则线段的函数表达式为； （3）解：设小丽的函数解析式为， 把点代入，得， ， ， 解得，代入， ∴， 离山庄的路程为． 反比例函数的性质 考点04 31．（2026·广东江门·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点横坐标代入反比例函数解析式，求出对应的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴ 将各点横坐标分别代入解析式，得： ， ， ， ∵， ∴． 32．（2026·广东广州·一模）已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合，分别求出和的取值范围，相加得到的范围，即可判断结论． 【详解】∵反比例函数 中 ∴在每个象限内， 随 的增大而增大，且时，时 对于，，可得当时，，当时， ∴ 对于，，可得当时，，当时， ∴ 将两范围相加，得： 即 ∵ ，∴ A选项符合范围，成立； B选项符合范围，成立； C选项不符合范围，一定不成立； D选项是范围最大值，符合范围，成立． 33．（2026·广东东莞·一模）已知反比例函数，当时，随的增大而增大，写出一个满足条件的反比例函数解析式__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据题意，当时，随的增大而增大，可得， 取，可得反比例函数解析式为（答案不唯一）． 34．（2026·广东·一模）已知方程有两个不相等的实数根，．而点，为反比例函数的图象上两点，若，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】< 【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出，从而可得，再由反比例函数的性质得出反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大，最后结合即可得出结果． 【详解】解：∵方程的有两个不相等的实数根，． ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大， ∵而点，为反比例函数的图象上两点，且， ∴． 35．（2026·广东广州·一模）已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合的大小关系比较的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点、都在第三象限的函数图象上， ． 36．（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 37．（2026·江苏宿迁·一模）反比例函数，若，则x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】由题意可得反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大，由此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大， ∴当时，， 当时，令，则， ∴若，则x的取值范围是或． 38．（2026·浙江宁波·一模）已知点，是反比例函数图象上两点，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数性质与一元二次不等式的求解，先根据点在反比例函数图象上表示出，再根据列不等式求解即可． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，且，， ∵， ∴， 移项通分得 ，即 ∴， 解得． 39．（2026·浙江·一模）已知反比例函数的图象过点，则下列说法正确的是（    ）． A． B．函数图象位于第一、三象限 C．图象必过 D．随的增大而增大 【答案】C 【分析】先计算出的值，再根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：将点代入，得，故A错误， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴函数图象在第二、四象限，故B错误， 当时，， ∴图象过点，故C正确， 对于选项D：举例点和， 在的同时，有，与随的增大而增大矛盾，故D错误． 40．（2026·浙江舟山·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限及增减性，再结合已知的范围比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴  . 41．（2026·浙江台州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解： ，在反比例函数的图象上，且， ，符号相同， ，符号相同， ． 42．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________． 【答案】 或 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数增减性，再结合的条件，分两点在不同象限、同一象限两种情况，列不等式组求解，最后合并得到的取值范围. 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小. 分两种情况讨论: 情况1：点在不同象限 若，则在第一象限，在第三象限，可得不等式组 解得，即该情况解集为； 情况2：点在同一象限 若，结合反比例函数增减性，得，且两点横坐标同号，即， 解得， 解得， 所以. 综上，的取值范围是 或 . 43．（2026·浙江湖州·一模）已知反比例函数上有两点，当满足下列什么条件时，一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据反比例函数解析式表示出两点的纵坐标，再根据列出不等式，化简后求解的范围即可，用到分式不等式的化简规则． 【详解】∵在反比例函数上 ∴， 要求，代入得： ∵， ∴不等式变形为： 移项得 ∵分子， ∴分母 解得． 44．（2026·浙江杭州·一模）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若对于，，都有，则a的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的增减性，根据系数的正负分情况讨论，结合对任意都有的条件，列不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：设，反比例函数为，分两种情况讨论： 情况1：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而减小． ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，的最小值为， 又∵，可得， ∵， ∴． 当时，左边，不等式恒成立，符合条件， 当时，两边同乘，得， 又∵， ∴； 情况2：，即，得，此时反比例函数的图象在每个象限内随增大而增大， ∵对任意，都有， ∴小于的最小值，代入，得， ∵， ∴， ∵，两边同乘，得，与矛盾， ∴此情况无解． 综上，的取值范围是或． 反比例函数与一次函数的综合 考点05 45．（2026·广东中山·一模）已知：点在直线上，也在双曲线上，则的值为______． 【答案】 【分析】把点P的坐标分别代入两个函数的表达式中可推出，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，也在双曲线上， ∴，， ∴， ∴． 46．（2026·广东中山·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）令，解得，再结合，观察图象即可求得不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， 又∵在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴； （2）解：∵当时，即解得， 又∵， 由图象可知的解集为． 47．（2026·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到． (1)探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）； (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质得到的坐标，进而求出D的坐标，可知，将的横坐标代入反比例函数解析式计算即可； （2）证明四边形是正方形，证，即可求得，设，则，则可表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得，则面积即可求解； （3）首先解方程组求得的坐标，利用表示出的长度，作于点，则，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标． 【详解】（1）解：，，矩形， 的坐标是， ∵点D为中点， 的坐标是：， 在双曲线上， ， 又的横坐标是，把代入， 则， 点E的纵坐标为； （2）解：设正方形的边长是，则，， 则的坐标是：，的坐标是， 则， ． 四边形是正方形． ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 又 平分， ， ， 设，则， ∴的坐标是， 代入得：， ∴， ∴正方形的面积是； （3）解：根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则的坐标是． ∵的横坐标是， ∴的横坐标是， ∴， ∵将沿翻折后得到， ∴， 在中，当时，， ，， 如图所示，作于点． 折叠， ， ， 又 ， 则， ， ， 解得：， ∴在中，， 则， ， ， 把代入中得：， ． 48．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)； (3)的面积为． 【分析】（）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式； （）由与关于原点对称得到，然后根据图象即可求解； （3）由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵射线与反比例函数的图象交于点， ∴与关于原点对称， ∴， ∴根据图象可得，不等式的解集为； （3）解：由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 49．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，求出直线解析式为，与反比例函数解析式联立求出．作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 50．（2026·广东广州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，求的面积 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方对应的x的取值范围； （3）求出C点的坐标，从而求出的面积． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ， 将点，代入直线中得， ， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，不等式的解集是或； （3）解：设与x轴交于点C， 令，得， 解得， ， ， ． 51．（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， ． 52．（2026·江苏连云港·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点，点（点在点的左侧）．连接，过点作轴，垂足为，与交于点． (1)若已知点的坐标为． ①求的值； ②点的坐标为_____，_____； (2)当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）把点代入，求得，再利用待定系数法求解即可； ②联立一次函数与反比例函数解析式求得的坐标，进而求得的解析式，再求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点A作，垂足为点H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①把点代入， 得． ． 把点代入， 得； ∴ ②联立 解得：或 ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴， 解得： ∴ ∵，轴 ∴的纵坐标为 将代入 ∴ 解得； ∴， ∴ （2）解：如图，过点A作，垂足为点H， 设，则点B坐标为． 轴，， ， ， ， ， ， ， ． 点，点在反比例函数上， ． 解方程，得（不符合题意，舍去），． 线段的长为． 53．（2026·江苏扬州·一模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 54．（2026·浙江丽水·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据反比例函数的图象关于原点中心对称和直线过原点，可得点A、B的横纵坐标互为相反数，从而求出a、b的值，最后代入即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，， ，两点关于原点对称， ，， ，， ，， 则，解得． 55．（2026·浙江温州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】根据图像找出一次函数图像在反比例函数图像下方时的取值范围即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， 即当或时，， ∴的取值范围为：或． 56．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）将代入一次函数求出，再代入反比例函数求出，得到解析式； （2）利用中心对称、直角三角形斜边中线定理求出再求出，然后用底高法求面积； （3）先构造全等三角形，再根据等腰三角形的性质，用坐标法列方程求，再由中点坐标公式求出点． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 57．（2026·山西临汾·一模）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把代入求出的值可得反比例函数解析式，把代入所求反比例函数解析式得出的值，可得，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据，，结合图像找出一次函数图像在反比例函数图像下方时，横坐标对应的的取值范围即可得答案． 【详解】（1）解：∵，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点， ∴，， 解得：，， ∴反比例函数解析式为，， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵，， ∴由图像可知，的解集为或． 58．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． (1)求m，n的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点代入可求得m的值，将点代入可求n的值；利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点时的解析式，求得此直线必过，以及反比例函数为过，再利用数形结合思想即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图像经过点， ∴ ； ∵反比例函数的图像经过点 ∴，即； （2）解：当时， ， 即 必过 由（1）可知：，即反比例函数为：， 当时，， 即， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值， ∴，即． 当，函数与函数在上，有交点，不符合题意， ∴． 59．（2026·河南南阳·一模）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)反比例函数的图象关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点顺时针旋转后与的交点坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为 (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可； （3）根据轴对称的性质可得，设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为，过A作轴于K，过作轴于L，通过证明，得到点的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ∴ 将代入得， 解得， ∴反比例函数表达式为； （2）设点，则点， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得，舍）， ∴． （3）解：反比例函数的图象关于轴对称的图象为， ∴ 设射线绕点O顺时针旋转后与的交点为， 过作轴于K，过作轴于L，如图： 则，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为． 60．（2026·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）时的取值范围即为直线在双曲线上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3， ∴当时，或； （2）解：∵点、点的横坐标分别是和3，且点、点在上， ∴ ∴， 将点代入， 则 解得， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ∴ 解得， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∴， 过点作轴交于点， ∴ ∵， ∴． 反比例函数与几何综合 考点06 61．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则____． 【答案】72 【分析】作，根据等腰三角形的性质可求出，，结合轴，点的坐标为，求出，，根据平移的规律可得：坐标变为，点坐标变为，利用反比例函数图像上点的坐标特征列方程求出，进而求出平移后点的坐标，即可求解． 【详解】解：作， ，且， ， 由勾股定理可得：， 轴，点的坐标为， ，， 点、向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为， 平移后点、在反比例函数图象上， ， 解得：， 平移后点的坐标为， ． 62．（2026·广东佛山·一模）如1图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E． (1)若点E坐标为，求该反比例函数的表达式； (2)如2图，在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点F，若，求点D的坐标； (3)如3图，连接和，过点D作x轴的平行线交于点G，连接，若，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）直接把代入，求解即可； （2）过点F作交于G，得，得出进而得到，再根据矩形的性质与点E的坐标，求出点F的坐标，进而求出点D的坐标即可； （3）先证明四边形为矩形，再连接，再利用 矩形的性质与等腰三角形的判定，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得：， ∴． （2）解：过点F作交于G，如图， 则， ∴ ∵ ∴ ∵矩形，， ∴点B的纵坐标为9，即， ∴，即点F的纵坐标为3， 当时，则， ∴ ∴ ∴ ∴， 当时，则， ∴． （3）解：，证明如下： ∵反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E， ∴设，，， 则，， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点G的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点G的纵坐标为，， 把代入得， ∴ ∵， ∴轴， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∵矩形 ∴ ∴四边形为矩形， 连接，如图， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 63．（2026·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 【答案】 【分析】过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为，由角平分线的性质可得，，结合反比例函数的解析式可得点．容易证明四边形是正方形，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积． 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 64．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 65．（2026·广东惠州·一模）如图，点为反比例函数图象上的一个动点，过点作射线，点在轴的正半轴上，以点为圆心、为半径作弧交反比例函数图象于点，连接，分别过点和点作轴和轴的平行线形成矩形，该矩形对角线交于点，连接． (1)设，，求直线的函数解析式（用含，的代数式表示），并判断点是否在直线上； (2)猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图，当点的坐标为时，求与矩形的面积比． 【答案】(1)，点在直线上； (2)，见解析； (3)与矩形的面积比为． 【分析】（1）根据矩形的性质求出，，设直线的函数解析式为，代入，即可求出直线的函数解析式，将代入直线的函数解析式即可判断点是否在直线上； （2）先根据矩形性质得到，，通过三角形外角和性质得到，再通过等边对等角得到，最后根据平行性质推出，最后等量代换即可求解； （3）先延长交轴于点，过点作于点，根据的坐标为，求出，，再根据（2）中，得出，从而求出，然后设，根据勾股定理求出，接着证明，求出、，最后根据矩形的性质和反比例的性质求出点、点的坐标及的长度，最后分别求出与矩形的面积，在进行面积比即可． 【详解】（1）解：∵矩形，，， ∴， ∵设直线的函数解析式为，并将代入， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∵将代入函数解析式，得， ∴点在直线上； （2）猜想，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，延长交轴于点，过点作于点， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， 由（2）中可知，， ∴， ∵由（2）可知 ∴，则 ∵在中，， ∴， ∵设， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵由，， ∴， ∴，即， 解得，（舍）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点， ∵矩形， ∴，将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∴与矩形的面积比为． 法二：如图，延长交轴于点，取中点，连接， ∵矩形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵的坐标为，则，，， ∴， ∵在中，设，则， ∴根据勾股定理， ∴， ∵，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍），（舍）， ∴ ∴， ∴与矩形的面积比为 66．（2026·广东珠海·一模）如图1，矩形的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点D，． (1)当时，则的值为______； (2)如图2，连接，将沿翻折，若点B刚好落在轴上的点处时，连接，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质可得轴，轴，根据点的坐标可得，再结合，得到，得到，点的横坐标为，即可求出反比例函数的解析式，即可求出点的纵坐标，即可解答； （2）分别过D，E作于G点，于H点，根据反比例函数k的几何意义，得到，结合矩形的性质可得，设，则，，求出，证明，得到，求出，结合，即可证明． 【详解】（1）解：矩形的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上， ∴， ∵， ∴， ∴，点的横坐标为， 将点代入反比例函数， ∴，解得， ∴反比例解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分别过D，E作于G点，于H点， 则， ∵， 则， ∴， 设，则，， ∴， ∵翻折 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即为等腰三角形． 67．（2026·江苏泰州·一模）平面直角坐标系中，点，是反比例函数（）图象上两点，点和点关于点对称．设点，的横坐标分别为，（）． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，当时，求的值； (3)如图3，过点作直线的垂线，垂足为，并交轴于点，直线交轴于点，连接，若以，及为边组成三角形，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据题意得出，，以及的坐标，进而求得直线的解析式，过点作轴，交于点，过点作，过点作，求得，根据，即可求解； （2）方法1：连接，过点作轴，过点作轴，根据勾股定理分别表示出，根据，得出，化简即可求解．方法2：过点作轴，分别过点，，作，，证明，根据相似三角形的性质列出关系式，化简即可求解； （3）方法1：作点关于轴的对称点，连接，，，证明，即可求解；方法2：过点作轴，过点作轴，先证明得出则，分别表示出，根据勾股定理的逆定理进行判断，即可求解． 【详解】（1）解：当，时，，， ． 设直线，代入 ∴，解得：， ∴， 过点作轴，交于点，过点作，过点作， 当时，， 点， ， ． （2）连接，过点作轴，过点作轴， ，， 中，， 中，， ，化简得， ， ， ． 方法2： 过点作轴，分别过点，，作，， ∴，则 ∴， ，即， 化简得， ， ， ． （3）直角三角形． 理由如下：方法1：作点关于轴的对称点，连接，，， ， ， 的坐标为， 点和点关于轴对称， ，与也关于轴对称， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 点和点关于轴对称， 轴， ， ，即， 以，及为边组成三角形是直角三角形． ∴以，及为边组成三角形是直角三角形． 方法2：过点作轴，过点作轴 ， 设直线，将和代入， 求得， 点坐标为． ∵， 所以， ，即， 化简得， ． ， ， ， ， 以，及为边组成三角形是直角三角形． 68．（2026·江苏连云港·一模）如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴于点，连接与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】设，则的中点为，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边中线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 【详解】解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为， 的图象经过点， ，故①正确； ∵轴， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②正确； 如图，过点作轴于， ，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴于点， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ， ， ，故③错误； ，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 【点睛】本题以反比例函数为载体，融合中点坐标、三角形面积、角度推导等考点，通过设参表示各点，逐一验证结论，考查数形结合与代数运算能力，体现函数与几何的综合应用． 69．（2026·江苏无锡·一模）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（   ） A． B． C．6 D．11 【答案】B 【分析】设点的坐标为，根据轴可知，的高为点的纵坐标，利用三角形面积公式结合反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∵点在第二象限， ∴，即， ∴， 即，解得 ． 70．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，是原点，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，且，延长交反比例函数（）的图象于点，记点，的横坐标分别为，．当，的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，作轴于点，作轴于点，推出 ，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意，，， 过点A作轴于点，过点B作轴于点， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，为定值． 71．（2026·浙江杭州·一模）如图，的两点在反比例函数的图象上，过作轴于点，交于点．若为的中点，则的面积是（   ） A． B． C．6 D．5 【答案】A 【分析】设，则可求得点和点的坐标，推出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：设， 为的中点， ， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数上， ， ，点到的距离为， ． 72．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数 的图象上，经过原点，且． (1)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． (2)若反比例函数的图象过点．则的值为___________； (3)在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）证明，得出； （2）根据，得出，求出，，从而得出，即可得出答案； （3）设点P的坐标为，根据为以点为直角顶点的直角三角形，得出，即可得出， 【详解】（1）解：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ； ∵为以点为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 73．（2026·四川南充·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴正半轴交于点A，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点C是AB延长线上一点，过点C作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，当时，求值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）过点B、C分别作轴于N，轴于M，易得，从而可求点、和的坐标，进而，，再根据三角形面积之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； ∵，∴， 将点，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）过点B、C分别作轴于N，轴于M， 则， ∴，∴， ∴，∴， ∵轴，∴，， ∴，， ∴． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $