专题09 二次函数（6大考点）（全国通用）2026年中考数学一模分类汇编

专题09 二次函数 6大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02二次函数的最值 考点03待定系数法求二次函数解析式 考点04二次函数与一元二次方程 考点05实际问题与二次函数 考点06二次函数综合 二次函数的图象与性质 考点01 1．（2026·广东佛山·一模）若点，，都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向和对称轴，再利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大， ∵点，，到对称轴的距离分别为，，，且 ∴． 2．（2026·广东惠州·一模）“数形结合”是研究函数的重要思想方法．若二次函数的图象在平面直角坐标系中只经过两个象限，则的值可以是_________．（写出满足条件的一个值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】首先判断出顶点为，开口向上，然后根据题意得到顶点落在轴及以上，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点为，开口向上， ∵抛物线只经过两个象限， ∴顶点落在轴及以上， ∴，即， ∴的值可以是1（答案不唯一）． 3．（2026·广东汕头·一模）抛物线的对称轴是_____． 【答案】直线 【分析】将抛物线的表达式化为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线． 4．（2026·广东珠海·一模）已知二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，B、C选项说法正确， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误． 综上，只有D选项符合题意． 5．（2026·江苏苏州·一模）已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征写出和的表达式，结合题目条件列出不等式组，分别解不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：点和在二次函数的图象上， ， ． 由题意得，， ， 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得， 因式分解得 ， 解得； 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 因式分解得 ， 解得； 解不等式： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 整理得 ，因式分解得 ， 解得或． 取三个不等式解集的交集，得． 6．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 7．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)当，时，比较与的大小； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，然后分当时和当时两种情况讨论，根据抛物线的增减性比较大小即可； （3）先表示出，根据已知可得，分两种情况讨论：若和若，根据的取值范围列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，，是一元二次方程的两个根， ． （2）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大， ， ； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小， ， ； （3）解： ， ，， ，， ， ， ，即， ， 若，则，即恒有， ，解得； ； 若，则，即恒有， ，解得； ； 综上，的取值范围是或． 8．（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当时． 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当时，可知且，可得 解不等式组，得 ． 9．（2026·江苏扬州·一模）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先求出对称轴，再根据抛物线的对称性得出点的对称点，然后根据抛物线的开口方向和性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是， ∴点的对称点的坐标是． ∵抛物线开口向上，当时，随着的增大而增大，且， ∴． 10．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在的范围内，若二次函数的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据“级和值点”的定义将问题转化为二次函数与直线在范围内有两个不同交点，结合一元二次方程根的判别式和端点值分析即可求解． 【详解】解：设“级和值点”坐标为，由定义得，整理得， 在的范围内，二次函数的图象上存在两个“级和值点”， 二次函数的图象与直线在的范围内有两个不同交点， 联立方程， 消去整理得， 当直线与抛物线相切时，只有一个交点，此时一元二次方程的判别式， 解得， 此时交点横坐标为， 当直线经过二次函数的端点时，将代入得， 解得， 此时方程的根为，，均满足，此时存在两个交点； 当时，方程的较大根大于，只有一个根满足，不符合题意， 当时，只有一个交点或无交点，不符合题意； 因此的取值范围为． 11．（2026·江苏徐州·一模）如图为函数 的图象，下列说法中①；②， ③， ④．正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】观察图象，根据图象与x轴有两个交点，即可判定①；二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间，即可判定②；根据当时，，即可判定③；根据当时，，即可判定④． 【详解】解：观察图象可知，二次函数图象与x轴有两个交点， ∴， ∴①正确； ∵二次函数图象开口向下，对称轴在0和1之间， ∴，， ∴， ∴， ∴②不正确； 当时，， 即可得， ∴③正确； 当时，， ∴， ∴④不正确． 故选：B． 二次函数的最值 考点02 12．（2026·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 【答案】 54 【分析】利用平面直角坐标系内两点间距离公式表示出和，代入所求式子整理为关于的二次函数，再用配方法求出二次函数的最小值即可． 【详解】解：根据两点间距离公式，得 则 ； ∴， ∴的最小值为54． 13．（2026·江苏泰州·一模）已知抛物线：． (1)当时，判断点是否在该抛物线上； (2)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； (3)若一次函数，对于任意实数x，都有，求m的值． 【答案】(1)点不在该抛物线上 (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式求出y的值，进而判断即可； （2）求出顶点的纵坐标，根据二次函数的性质得到m的值，进而将二次函数化为顶点式作答即可； （3）由可知，进而根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴点不在该抛物线上； （2）解：顶点的纵坐标为， ∵， ∴当时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，此时， ∴顶点坐标为； （3）解：， ∵对于任意实数，都有， 恒成立， ， ， ． 14．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，对于一次函数（），若（t为常数，），则称g为y的“t型相关量”．例如：一次函数的“2.5型相关量”为． 【理解】 (1)一次函数的“2型相关量”，则 ； 【探究】 (2)已知g是（）的“t型相关量”． ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值； ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数（），若，亦称g为y的“t型相关量”．当时，二次函数的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①当时，为定值；② (3)或 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）①由题意得：，即可求解；②，根据函数的增减性即可求解； （3）先求出，再分时、时、三种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的“2型相关量”， 则； （2）解：①由题意得：， 当时，为定值； ②， 若随的增大而减小，则，即； （3）解：由题意得：， 函数的对称轴为直线，顶点为， 当时，，同理可得：当时，， 当时，时，，则（不合题意的值已舍去）； 当时，当时，，则（舍去）； 当时，顶点处取得最大值，即，则（不合题意的值已舍去）； 综上，或． 15．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，，其中，，若点M是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角，连接．则面积的最大值是__________． 【答案】4 【分析】通过证明，可得，可求的长，由三角形的面积公式和二次函数的相知可求解最大值． 【详解】解：过点作直线于， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的最大值为， 16．（2026·江苏连云港·一模）在二次函数中． (1)若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线与x轴只有一个交点可得，再求出解可得二次函数关系式，然后配方得出答案； （2）先表示出抛物线的对称轴和顶点坐标，再分两种情况：当时，，y有最小值，其最小值为，可得方程，求出解；当时，时，y有最小值，其最小值为，并得到方程，求出解； （3）先根据抛物线的对称轴得，再根据可得，再求出当时，，然后分两种情况讨论：当4在对称轴左边时，要使，需要满足，求出解集；当4在对称轴右边时，要使，需要满足即，求出解集并得出答案． 【详解】（1）解：∵，它的图象与x轴只有一个交点， ∴， 解得或． ∵， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴对称轴是，顶点坐标为． 当时， y有最小值为． 当时，，y有最小值，其最小值为， ∴， 解得． ∵， ∴； 当时，时，y有最小值，其最小值为， ∴y有最小值，其最小值为， 解得，不符合题意． 综上所述，； （3）解：∵点都在这个二次函数的图象上， ∴对称轴是． ∵抛物线的对称轴是， ∴． ∵， ∴， 解得； 当时，，对称轴是， ∴时，． 当4在对称轴左边时，要使，需要满足，即 解得； 当4在对称轴右边时，要使，需要满足即， 解得， 综上所述：或． 17．（2026·江苏盐城·一模）如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点可得，由对称轴可知，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 故，所以①不符合题意； 由图象知时，函数最大值是，故②符合题意； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∴当时，，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意； 由图象过点可得， ∵， ∴ ， ∴， ∴，故⑤不符合题意， 故正确的有②③④共3个． 18．（2026·浙江宁波·一模）已知二次函数（为常数）的图象过点． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标． (2)已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 【答案】(1)， (2)①点坐标为，② 【分析】（1）用待定系数法，配方法求解即可； （2）①，当时，，分类求解． ②分和时，求解． 【详解】（1）解： 二次函数的图象过点， ， 解得， 该二次函数的表达式为． ， 图象的顶点坐标为． （2）解：（2）①， 当时，， 当时，取得最大值0， 当时，， 当时，取得最大值3， ， 又， 与同时取得最大值． 点坐标为． ②情况一：当时， ， 当时，取得最小值为． ， 当时，取得最大值为． ， 又的最大值为9， 该情况不成立． 情况二：当时， ， 当时，取得最小值为． ， 时，取得最大值为， 的最大值为9． ， 解得（舍）或． 综上所述：． 19．（2026·浙江宁波·一模）已知二次函数，m为实数． (1)若，求该函数图象的对称轴． (2)当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值． (3)若点，，且，，试比较与大小． 【答案】(1)直线 (2)m的值为 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，二次函数的解析式为，再由对称轴公式计算即可得出结果； （2）先求出二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，由题意可得，从而得出在上，随着的增大而增大，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，先求出、两点的中点坐标的横坐标为，再分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，二次函数的解析式为， 故此时二次函数的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故在上，随着的增大而增大， 故当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， ∵函数y的最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 故m的值为； （3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵点，，且，， ∴、两点的中点坐标的横坐标为：， 当，即时，、两点关于对称轴对称，此时， 当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时， 当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时， 综上所述，当时，；当时，；当时，． 20．（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 【答案】(1) (2)①，②的值为或． 【分析】（1）直接利用对称轴公式进行计算即可； （2）①求出时的的值，即可得出结果；②根据题意，易得点在二次函数的图象上，待定系数法求出函数解析式，再分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线． （2）解：①如图1，当时， 则二次函数的图象经过点， ∴， ∴当时，． ②如图2，∵，且二次函数图象的对称轴为直线， ∴点在二次函数的图象上， ∴，解得． ∴． （Ⅰ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得（舍去）或． （Ⅱ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得或（舍去）． 综上：的值为或． 21．（2026·浙江舟山·一模）设二次函数． (1)若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； (2)判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)该函数存在最大值11，此时的值为或； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线对称轴求出的值，再代入解析式化为顶点式，即可得解； （2）将解析式化为顶点式可得当时，该函数有最大值，再根据一元二次方程根的判别式求解即可； （3）将点代入函数解析式求出，从而判断函数图象开口向下，对称轴为直线，则，且，即可得解． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ， 解得：， ， 该函数的顶点坐标为； （2）解：， 若该函数存在最大值11， 则，整理得， ， 解得：，， 即该函数存在最大值11，此时的值为或； （3）解：点在函数图象上， ， 解得：， ， 函数图象开口向下，对称轴为直线， ，且， 和在函数图象上，且当时，都有， 或． 待定系数法求二次函数解析式 考点03 22．（2026·广东惠州·一模）罗浮山景区夜间梦幻水秀深受游客喜爱，喷泉喷出的水柱可近似看作一条抛物线．如图，以喷口为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，已知水柱的最大高度为16米，落地点与喷口的水平距离为32米，求这条抛物线的函数解析式． 【答案】 【分析】依题意得抛物线顶点坐标为，可设解析式为，求出a的值即可． 【详解】解：依题意得抛物线顶点坐标为，可设解析式为 将点代入解析式，得 解得 抛物线的解析式为： 23．（2026·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过和两点． (1)补充一个条件，求抛物线的表达式； (2)将抛物线向左平移个单位得到新的抛物线．当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)当时，判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)补充条件：抛物线经过点；抛物线的表达式为（答案不唯一） (2)的取值范围为 (3)；理由见解析 【分析】（）已知抛物线经过和两点，可先根据这两点的坐标求出的值以及与的关系，再补充一个条件，利用待定系数法求出抛物线的表达式； （）先根据抛物线平移的规律求出新抛物线的表达式，再根据二次函数的性质求出的取值范围； （）先求出与的差，再根据的取值范围判断差的正负，从而比较与的大小． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过和两点， ∴将代入抛物线方程可得：， 即. 将和代入抛物线方程可得：，化简得，即， 所以抛物线的表达式为， 补充条件：抛物线经过点， 将代入， 可得：，即， 解得， 把代入，可得， ∴抛物线的表达式为（答案不唯一）； （2）解：由（）得：抛物线的表达式为， ∴对称轴为：， ∵向左平移个单位， ∴新抛物线的对称轴为， ∵因为，抛物线开口向上， ∴当时，随增大而增大 ∵题目要求当时，随增大而增大， ∴， 解得； （3）解：． 理由：由（）得：抛物线的表达式为， ∴ 对于一元二次方程， 其判别式 ， ∵且， ∴， ∴， 又∵， ∴二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即对于任意，， ∴，即． 24．（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 25．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 26．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 27．（2026·天津·一模）抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若点，且，求的值； (3)若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先根据，求出，再将抛物线解析式写成顶点式，即可得顶点的坐标； （2）先由得，则抛物线对称轴为直线，再将代入抛物线解析式得出，则，再用表示出、的坐标，再根据列方程求解； （3）由（2）知，且对称轴为直线，则点，如图，过点作，过点作，垂足为，连接，则，再根据抛物线的对称性得，则，得点，，共线，即时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又∵， ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：如图①，， ，且， ，且对称轴为直线， ∵， ∴， ， 即， ，， 又∵， ， 即， 又∵， ； （3）解：如图②，，由（2）知，且对称轴为直线， ， 又∵点在对称轴上， 点， 如图，过点作，过点作，垂足为，连接， ， 又∵， ， 点，，共线，即时，有最小值， 又的最小值等于， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又∵， ， ， ， 又∵， ，， ，， ， ，即， 又过， ， ． 28．（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②存在，或，③位于对称轴左侧，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法可求出a，从而得出二次函数的解析式； （2）①构造一线三垂直模型，得到三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，可以得到关于点横坐的方程，从而可求出的坐标； ②延长交直线于点，可以证得恰好是，的中点，继而可以得出关于，横坐标的方程组，求出的横坐标即可获解； ③由对称性可知，，只要求出的长度，然后与比较，即可判断与对称轴的位置关系． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为， ∴设所求抛物线的解析式为， 把代入，得 ， ， ∴所求抛物线的解析式为； （2）①如图，过D作垂直于y轴，垂足为Q，过E作的垂线，垂足为P， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，，， ， 解得(舍去)， ， ②如图，延长交直线l于点N， 把代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 为 的中点， ， 设 ，则， 设，则 ， ，， ， 化简得：， 解得， 当时，， 当时，， 的坐标为或， ③ 与关于直线对称， ， 当时， ， ，   ， ， ， 在对称轴左侧． 【点睛】本题是二次函数和几何的综合题，考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的顶点式，对称轴，三角形的相似，等腰三角形的判定等知识，关键是要将所求结论转化具体的线段关系，寻找合适等量关系列出方程． 二次函数与一元二次方程 考点04 29．（2026·青海西宁·一模）综合与实践 根据我们学习函数的经验，在探究一个函数的性质时，我们会用描点法画出函数图象，再通过观察图象的形状与变化趋势获得对函数的直观认识．进而归纳总结出函数的相关性质． 【画出函数图象】 绘制函数的图象： 列表： 4 6    0 5 (1)根据列表，在图中将函数的图象补充完整； (2)当时，函数图象是抛物线的一部分，这个抛物线的函数解析式为 ； (3)【探究函数性质】结合函数图象解决下列问题：直接写出方程的解； (4)根据函数的图象，下列结论中：①函数图象关于轴对称；②时，随的增大而减小；③当时，有最小值为；④不等式的解集是或，所有正确结论的序号是_____； (5)【解决问题】若一次函数的图象与的图象只有个交点，则的值是______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)或 (4)①③④ (5)或 【分析】（1）根据表格的数据，使用描点法画函数图象即可； （2）根据的取值范围，判断的符号，再化简绝对值即可； （3）利用图象，判断时，的值即可； （4）结合图象可直接判断①②③，对于④，设函数图象与直线交于、、三点，且点和点在或的部分，将代入，解得，再结合图象判断解集即可； （5）取点，结合图象可知，当直线过点或者与部分的抛物线只有一个公共点时，满足3个交点．当直线过点时，直接代入即可求出；当直线与部分的抛物线只有一个公共点时，联立方程，根据，求解出． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由图象与表格可知，当时，或， ∴的解为或； （4）解：对于①：由图象可知，函数的对称轴为轴，故①正确； 对于②：由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故②错误； 对于③：由图象可知，当时，有最小值为0，故③正确； 对于④：如图， 函数图象与直线交于、、三点，且点和点在或的部分， 当或时，， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 由图象可知，只有在点的左侧和点的右侧才满足， ∴不等式的解集是或，故④正确； 综上，正确的结论为①③④； （5）解：取点，由图可知，当直线过点或与部分的抛物线只有一个公共点时，满足一次函数的图象与的图象只有3个交点， ①当直线过点时，如图， 将点代入，得， ，即； ②当直线与部分的抛物线只有一个公共点时，如图， 由（2）可知，此时， 联立直线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， 根据题意，， 解得； 综上所述，或． 30．（2026·山东济宁·一模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值． 【答案】(1)对称轴为 (2)解析式为 (3)或 【分析】（1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）利用抛物线对称轴结合一元二次方程根与系数的关系可得到a的值，从而求得b的值，进而推导出二次函数解析式； （3）理解二次函数在特定区间上取得最大值的几何意义，即区间端点或顶点处的函数值情况． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 整理得：， ∴对称轴为． （2）解：由（1）可得，， ，， ， ， ， ∴解析式为． （3）解：由（2）可得：二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值为6， ∵当时，y有最大值为3， ∴不成立， ∴或者： ①当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或2， ， ， ②当，即时，y随x的增大而增大， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或， ， ， 综上所述，或． 31．（2026·辽宁·一模）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 (1)当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． (2)若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将代入，再令，求出点与点得坐标，从而求出得值； ②容易判断抛物线经过原点，故设，将点代入，得，则．联立两个抛物线可得，根据题意，只有一个交点，则，解得，从而得出抛物线的解析式； （2）根据抛物线顶点坐标，过点求出解析式为，联立两条抛物线可得，由，解得，从而得出“包络线”的解析式． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； ②由图可知，抛物线经过原点，故设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 解得， ∴“包络线”的解析式为． 32．（2026·湖北武汉·一模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点． (1)求，，三点的坐标； (2)线段的端点坐标分别是，，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出的取值范围； (3)点与点关于点中心对称，过点的直线交抛物线于，两点，直线交抛物线于另一点．试说明轴上总存在点，使四边形是平行四边形． 【答案】(1)，， (2)的取值范围为或或 (3)见解析 【分析】（1）令，求出，可得出点坐标，令，求出，，可得出点、坐标； （2）先求出直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得出，分方程有两个相等实数根、及三种情况，根据一元二次方程根的判别式，结合图像求解即可； （3）根据中心对称的性质得出，得出直线的解析式为，设，，联立直线与抛物线的解析式求出，，联立直线与抛物线解析式得出，根据平行四边形的性质得出对角线的中点坐标为，即可得出点在轴上，可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点， ∴当时，，当时，， 解得：，， ∴，，． （2）解：∵时，， ∴与重合，不符合题意， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， 整理得，， 如图所示： ①当方程有两个相等的实数根时，直线与抛物线有一个交点， ∴， 解得：； ②方程有两个解，但只有一个解在的的范围内， 当时， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴，且， 解得：； 当时， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴，且， 解得：； 综上所述：的取值范围为或或． （3）解：∵点与点关于点中心对称，， ∴， 设直线的解析式为， ∴当时，， ∴直线的解析式为， 联立直线和抛物线解析式得，， ∴， 整理得，， 设，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得，， ∴， 整理得，， ∵直线交抛物线于另一点，是此方程的解， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分， ∴对角线中点的横坐标为， ∴对角线的中点在轴上， ∴点也在轴上， ∴轴上总存在点，使四边形是平行四边形． 33．（2026·河南濮阳·一模）如图，抛物线的顶点在正方形网格的格点上． (1)求和的值； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出直线，设该直线与抛物线相交于点和点（点在点左侧），请描出点和点，并直接写出当时的取值范围； (3)将抛物线沿直线翻折后得到新的图象，若新图象与（2）中的线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据顶点坐标，求得抛物线的解析式，化为一般形式，即可求解； （2）根据题意画出函数图象，进而结合函数图象，即可求解； （3）根据题意可得新的抛物线图象的顶点坐标为，则新的抛物线的解析式为，根据题意画出图形，结合图形分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点 ， ∴抛物线解析式为， ∴； （2）解：如图所示， ∵ 解得：， ∴当时的取值范围为：或； （3）解：由（2）可得， ∵顶点 ，直线， ∴新的抛物线图象的顶点坐标为， ∴新的抛物线的解析式为， 新图象与（2）中的线段只有一个交点， ①新抛物线与直线相切时， 联立， 消去得，， 即， ∴， 解得：； ②当新抛物线经过点时，， 解得：； ③当新抛物线经过点时，，， 解得：， 综上所述，或． 34．（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为． (1)当，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标； (2)①若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； ②设点在抛物线上，点在抛物线上，当时的最大值为，求a的值． 【答案】(1)对称轴为直线，与坐标轴的交点坐标为； (2)①；②或 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，分别令，，求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）①求出对称轴，根据增减性，判断对称轴的位置，列出不等式组进行求解即可；②易得，根据二次函数的性质，分3种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，，当时，解得， ∴抛物线与坐标轴的交点坐标为； （2）解：①∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ∴，解得； ②∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∴ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵当时，的最大值为， ∴当，即时，则当时，的值最大为， 解得或（舍去）； 当，即时，则当时，的值最大为， 解得（舍去）或（舍去）； 当，即时，则当时，的值最大为， 解得或（舍去）； 综上：或． 35．（2026·广东珠海·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：此方程有一个根为； (2)在（1）的条件下，二次函数的图象经过点，求代数式的值； (3)当时，求证：此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）先将变形为，再将代入一元二次方程的根的判别式中，求出，然后代入求根公式即可； （2）将点代入，得到，结合（1）中的，求出、的值，再代入化简后的式子中，计算即可； （3）由，得出，代入一元二次方程的根的判别式中，求出，即可证明此方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）证明：方程是关于的一元二次方程， ， ， ． ， ， ，． 故若，此方程有一个根为； （2）解二次函数的图象经过点， ，即， 由（1）知，， ，， ； （3）证明：，即， ， ， ， 此方程总有两个不相等的实数根． 实际问题与二次函数 考点05 36．（2026·青海西宁·一模）如图是抛物线形拱桥，处有一照明灯，点到水面的距离为，从、两处观测处，仰角分别为，，且，，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的函数表达式及抛物线上的最高点到水面的距离． 【答案】(1) (2)，抛物线上的最高点到水面的距离为 【分析】（1）作于点，根据题意，，利用三角函数计算出，从而得到点的坐标； （2）利用三角函数求出，从而得到点，使用待定系数法求出抛物线的表达式，再化为顶点式求出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴点的坐标为； （2）解：在中，， ∴， ∴点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ，解得， ∴， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的最高点到水面的距离为． 37．（2026·山西临汾·一模）综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … (1)【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (2)【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 【答案】(1)任务1：， 任务2：当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米 (2) 【分析】（1）任务1：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点，设抛物线的解析式是，用待定系数法求出函数表达式； 任务2：解方程求出的值，再根据求出水火箭飞行的水平距离； （2）任务3：由可知，设发射台的高度为米，则抛物线的解析式为，求出点、的坐标，分别求出当抛物线经过点、时的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）任务1：解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点， 设抛物线的解析式是， 可得：， 解得：， ； 任务2：当时， 可得：， 解得：，， ， ， 当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米； （2）解：，， ， ， 整理可得：， 设发射台的高度为米， 则抛物线的解析式为， 当抛物线经过点时，则米， 点的坐标为， 可得：， 解得：； 当抛物线经过点时，则， 点的坐标为， 可得：， 解得：， ． 38．（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)①315（元）；②400（元） (3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润单升利润自制产量”，即可求解；②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润单升利润市场需求量未卖出的成本”，即可求解； （3）设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解． 【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为， 由题意得，，解得， ∴； （2）解：①当时，，， ∵，∴基底原液可全部卖完， 奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）； ②当时，，， ∵，∴基底原液无法卖完． 奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）． （3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则， ∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当每天的产量大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则 ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，（元）， ∵ ∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元． 39．（2026·山东青岛·一模）某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到．      建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (1)求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线的表达式； (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 【答案】(1)，点的离地高度为 (2) (3)米 (4)米 【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度； （2）由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式； （3）设，则，，，设钢材长度为米，根据即可求解； （4）先求出的表达式为，联立抛物线即可求得的长，再根据对称性即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ， 由题意知：， ∴点的横坐标为12， 当时，， ∴抛物线的表达式为，点的离地高度为． （2）解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （3）解：抛物线的表达式， 设，则，，， 设钢材长度为米，则： ，抛物线开口向下， 当时，． ∴最多需要米钢材． （4）解：由（3）可知，，，设直线的表达式为， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 由， 解得，， ， ， ∴由对称性知需用钢梁的总长度为米． 40．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能追上小车，见解析 【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为经过，， 则， 解得, 则y与x的函数关系式． （2）由（1）可知， 所以当时，y 取最大值，最大值为98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是cm． （3）根据题意，小车运动的路程为：， 则，     解这个方程，得，．     由（2）可知，当时小球停止运动，， 所以当时小球能追上小车． 41．（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形和面积相等，求出与之间的等量关系，再根据用长的渔网围成一个“”型区域，即可求出的长； （2）先列出关于的函数解析式，根据二次函数的最值，求面积的最大值； （3）分别求出方案一，方案二的每年净收入，再根据方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入列不等式求解． 【详解】（1）解：为的中点， ． ∵矩形和面积相等， ， ， ． ， ， ． ． （2）解：∵矩形和面积相等， ． 当时，． （3）解：∵每作为1个面积单位， ∴为30个面积单位． 方案一每年净收入：（元）， 方案二每年净收入：（元）， 则，解得． 42．（2026·安徽合肥·一模）【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学建模的综合实训场地、大棚横截面采用“抛物线拱形矩形基座”的组合结构，既符合力学承重原理，又能最大化利用空间、提升采光效率．为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在直线为轴，大棚横截面中的“抛物线拱形”的对称轴为轴，建立平面直角坐标系开展数学建模．经实地测量：矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米；“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． (1)结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形”对应的函数解析式，并注明自变量的取值范围． 【问题解决】 (2)为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架．如图1，矩形脚手架结构为：，均垂直于地面，平行于地面，且、两点落在抛物线上，，两点落在上．其中三根支架，，的长度之和称为脚手架总长度．求出脚手架总长度的最大值； (3)在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形的样式，且米，米，米．从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建．求此时抛物线应下降的高度是多少米？ 【答案】(1) (2)脚手架总长度的最大值为米； (3)米 【分析】（1）理解题意，得出顶点坐标为，，再设解析式为，把代入，解得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，再设， 故，运用二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）理解题意得新抛物线解析式为，结合米，米，米，得，，将，，代入新抛物线，整理得：，解得，最后代入①计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵“抛物线拱形”的最高点到地面的距离为6米． ∴如图1，即顶点坐标为， ∵矩形基座高度为2米，底部地面跨度为10米 ∴ 即， 依题意，设“抛物线拱形”对应的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， （2）解：∵，均垂直于地面，平行于地面， ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， 设， 依题意，， 设三根支架，，的长度之和为， 即， ∵ ∴当时，有最大值， 把代入，得 即脚手架总长度的最大值为米； （3）解：设抛物线下降高度为米， ∴新抛物线解析式为， 设， ∵米， 得， ∵米，米 ∴，， 将，，代入新抛物线， 得：， 消去展开整理得：， 解得， 将代入①得：， 答：抛物线应下降的高度为米 【点睛】本题考查了抛物线的应用，求二次函数的解析式，矩形的判定与性质，二次函数的最值问题，，二次函数的平移问题，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 43．（2026·山西·一模）项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识． 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上． 建立模型：如图1．软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）． (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式． 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分． (2)综合与实践小组的同学在点的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2．四边形是一个无盖长方体盒子的截面图，点，点的坐标分别为，，轴．轴，，要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围（含边界）． 【答案】(1) (2)儿童软弹玩具枪在竖直方向应向下移动 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，结合顶点与落地点求出抛物线的表达式； （2）设平移后的函数表达式，将点代入，求出的值，根据结果描述平移过程； （3）设，则抛物线的表达式为，由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，分别求出对应的的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题意可知，点是抛物线的顶点， ∴，，即， 将，代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设平移后的函数表达式， 将点代入，得， 解得， ∴儿童软弹玩具枪在竖直方向应该向下平移； （3）解：设，则抛物线的表达式为， 由题意可知，点的坐标为，点的坐标为， 将点代入，得， 解得， 将点代入，得， 解得， ∴要使软弹能够落在长方体盒子里，儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度的取值范围为． 二次函数综合 考点06 44．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 【答案】(1)不是“减半函数”，理由见解析 (2)和 (3)①；． 【分析】（1）假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，然后将代入函数得到方程，再根据方程根的情况判断即可； （2）设函数图像上的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程并求解得到b的值，进而确定“减半点”的坐标； （3）①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程，然后分和两种情况，求得m的值并判断是否满足题意，再代入函数解析式即可解答；②先求出抛物线 H的解析式，进而确定A坐标为 ，点B坐标为，则其中点坐标为，再根据“减半点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在 “减半点”， ∴函数不是“减半函数”． （2）解：设函数图像上的“减半点”的坐标为， 将代入得：，解得：或， 当时，，即“减半点”坐标为； 当时，，即“减半点”坐标为． 综上，函数图像上的“减半点”的坐标为和． （3）解：①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为， 将代入得：， 整理得：， ∵图像上存在唯一的 “减半点”，所以该方程有唯一解． ∴当时，即，不是抛物线，不符合题意； 当时，，解得：，符合题意； ∴抛物线的解析式 代入抛物线方程：，即． ②抛物线 G 向上平移 个单位得到抛物线 H： ​， ∴直线与 H 的交点A坐标为 直线与 H 的交点B坐标为 ，即， ∴线段 AB 的中点坐标为，即， ∵直线的“减半点”恰好为线段的中点， ∴，解得：． 45．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，是该抛物线的“点” (2)①6；②或 【分析】（1）因为抛物线的顶点式为，所以直接得出顶点坐标．判断是否为“点”，则需先验证该点是否在抛物线上，再验证是否成立即可． （2）将代入抛物线表达式，可先求出与的关系． ①当时，代入求出的值，得到抛物线表达式，然后结合和点在抛物线上的条件，求出，进而计算“系数”． ②已知“系数”为，即，可先求出，再结合和抛物线表达式，求出和的值，得到抛物线的顶点式，然后根据确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的图像和性质求的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下， 抛物线的顶点式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点在抛物线上，且异于顶点， ，， ，， 满足， 点是抛物线的“点”； （2）解：抛物线过原点， 将代入，得：， 抛物线表达式为：， ， 顶点坐标为， ①当时， 顶点坐标为，，解得：， 抛物线表达式为：， 点为该抛物线的“点”， ，解得：，或， 点异于顶点， 该抛物线的“点”为， “系数”为：； ②当“系数”为时，即， ，即或，即或， 情况一：当时，， ， ，化简得：， ，即， 代入上式得：，解得：， ，，此种情况无解； 情况二：当时，， ， ，化简得：， 将代入上式得：，解得：， ，解得或， 的范围为， 分情况讨论， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，​， 的取值范围为， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为​， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 46．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线与轴有2个交点，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）令得到一元二次方程，计算判别式来判断与轴的交点个数即可； （2）根据抛物线对称轴的性质求出抛物线的表达式为，分情况讨论：当或时，利用抛物线的图象性质分析最大值与最小值的情况，据此解答即可； （3）根据题意得到平移后抛物线的表达式为，进而求出点、坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设，则、、，进而求出、、长，分情况讨论：当点在点的上方或点在点的上方时，设直线交直线于点，与交于点时，根据题意列方程求出值，结合点在直线的右侧的第一象限内，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴有2个交点，理由如下： 将代入抛物线表达式得： ， 判别式， 则抛物线与轴有2个交点； （2）解：根据题意得，抛物线的对称轴为， 点，在抛物线上， 抛物线的对称轴为， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 分情况讨论： ①当时，最大值为， ， ， 令得：， 解得或， 由图象可知，抛物线在时，随增大而增大， ，即时，符合题意； ②当时，抛物线在上，随增大而减小， 在处，取得最大值，即、在处，取得最小值，即， ， 解得， ， 此种情况不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：由（2）知，抛物线的表达式为， 则平移后抛物线的表达式为：， 抛物线的对称轴为， 令得：， 解得或， 、， 令得：， ， 设直线的表达式为， 将和代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 设，则、、， 分两种情况讨论： ①当点在点的上方时，令直线交直线于点， 将代入得：， ， 点在直线的右侧的第一象限内， ， 、、、， 、， 直线将四边形的面积分成的两个部分， ， 整理得：， 解得：或， ， ， 将代入得： ， ； ②当点在点的上方时，设与交于点， 将代入得：， 解得， ， 、， 由题意得：， ， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 将代入得： ， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的几何综合、二次函数的平移，熟练掌握二次函数及一次函数的图象性质、数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键． 47．（2026·广东汕头·一模）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 【答案】(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 48．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴和点D的坐标，根据待定系数法求出a、b的值； （2）过E作于F，根据角平分线的性质，然后根据可得出关于的方程，解方程即可求解； （3）①先求出平移后抛物线的解析式，分两种情况讨论：；，根据二次函数的性质求解即可； ②待定系数法求出的解析式，根据题意求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，点， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵，交抛物线于点D， ∴C、D关于直线对称， ∴， ∵抛物线交x轴于点，点， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 过E作于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：①由（1）知， ∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， 综上，； ②设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t， ∴M的纵坐标为，， 由①知：， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴当时，随t的增大而减小， 又， ∴， 即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小． 49．（2026·江苏南通·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，B（点在点左侧），与轴交于点． (1)当时，求点A，B的坐标； (2)若，求直线的函数解析式； (3)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图象记为，点在上，当时，恒成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1)A，B (2)或 (3)的取值范围为或． 【分析】（1）令，解方程即可求解； （2）令，求得，，，根据题意求得点A的坐标为或，得到或，据此求解即可； （3）求得，分两种情况讨论，画出图象，列得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 令，可得， 解得，， ∴点A，B的坐标分别为，； （2）解：令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴点A的坐标为或， ∴或， ∴或， ①当时， ∴，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； ②当时， ∴，， 点B的坐标为，点C的坐标为， 同理可得直线的解析式为； 综上，直线的解析式为或； （3）解：由（2）得点A的坐标为，点B的坐标为，对称轴为直线， ∴， ∵当时，恒成立， 当点在左侧， ∴，解得； 当点在右侧，左侧， ∴， 解得； 综上，的取值范围为或． 50．（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①或；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再根据对称轴公式求解对称轴即可； （2）①先求出直线，设（），表示出，，再由正弦得到，据此解方程即可； ②可得四边形是矩形，连接，分两种情况讨论求解：当落在上时，符合题意；当矩形的对角线的中点落在直线上，符合题意． 【详解】（1）解：由题意得，将点，代入， 则 解得 ∴抛物线表达式为， ∴对称轴为直线； （2）解：①∵抛物线对称轴为直线，且抛物线交x轴于点和点B， ∴， 设直线， 则代入点得，， 解得， ∴直线 设（）， ∵轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N ∴，， ∴， ∵， 则， ∴ ∴ 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去） 综上：点P的横坐标为或； ②由题意得，， ∴四边形是矩形， 连接，当落在上时，如图： 此时四边形在直线与l之间的部分是，符合题意， 将点代入， 则 解得或（舍去）； 当矩形的对角线的中点落在直线上，中点记为点， ∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的中点， ∴此时四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半， ∵， ∴设直线， 代入点得，， 解得， ∴直线， ∵，， ∴，即， 将点代入， 则， 解得或（舍去）， 综上：点P的横坐标为或． 51．（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 52．（2026·浙江丽水·一模）已知二次函数的图象经过点和，点，是该二次函数图象上的两个动点，满足，且． (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值； (3)已知一条平行于轴的直线过点交于点，一条平行于轴的直线过点交函数图象于，两点，且，求的最大值及此时对应的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，，再根据得到，据此可得答案； （3）设，则，可求出，，则直线的表达式，进而得到，进一步可推出，故当时，有最大值，最大值为6，根据题意可得点B和点C关于对称轴对称，则点B和点C到对称轴的距离都为3，求出点B的横坐标，进而求出点B的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵点，是该二次函数图象上的两个动点， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴，， ∴，； 设直线的表达式， 则，解得， ∴直线的表达式， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为6， ∵轴， ∴点B和点C关于对称轴对称， ∴点B和点C到对称轴的距离都为3， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点B的横坐标为（不妨设点B在点C的左侧）， 在中，当时，， ∴． 53．（2026·浙江·一模）已知抛物线． (1)若，求图象与轴的交点坐标； (2)若，是抛物线上不同的两点，且点也在抛物线上，求的值； (3)在（1）的条件下，作一条垂直于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点，当线段随的增大而增大时，求字母的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入，再令，解方程求出交点坐标即可； （2）根据题意可得，点和点关于抛物线的对称轴对称，结合抛物线的对称轴公式可得，，代入解析式求出的值； （3）将分别代入二次函数与一次函数的解析式求出点和点的坐标，从而得到．分三类讨论，当时，，此时线段随的增大而减小，不符合题意；当时，，在对称轴左侧，随的增大而增大，因此；当时，符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴图象与轴的交点的坐标为和； （2）解：在二次函数中，对称轴为直线， ∵和在抛物线上， 又∵， ∴点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴，即， 将点代入，得， ， ∴； （3）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ①当时，， ∴， ∵， ∴图象开口向上， 又∵， ∴当时，线段随的增大而减小，不符合题意； ②当时，， ∴， ∵， ∴图象开口向下， ∴当时，线段随的增大而增大；当时，线段随的增大而减小， 又∵， ∴； ③当时，， ∴，图象开口向上， ∴当时，线段随的增大而增大，符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 54．（2026·浙江绍兴·一模）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求b的值． (2)若点是抛物线上的动点． ①当时，求y的取值范围． ②当时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围． 【答案】(1)2 (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线对称轴公式直接代入求； （2）①将解析式化为顶点式，求出顶点坐标，再比较顶点值与两端点值的大小，得的取值范围；②由抛物线开口向上且对称轴为，当时取到最大值与最小值，利用对称性得，再由解出，，从而求出，再求对应的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，得． （2）解：①由题意知，抛物线的开口向上， 又因为， 所以当时，y取到最小值为， 当时，； 当时，， 所以y的取值范围是． ②如图，由抛物线开口向上可知，当时，x分别取到最大值与最小值， 由对称性可知，此时对应的两个点关于对称轴对称． 设x的最大值为，最小值为，则有． 又有，可得，． 此时，即，得， 由方程，解得，． 由下图得x的取值范围为或． 55．（2026·浙江杭州·一模）已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09二次函数 ☆6大考点概览 考点01二次函数的图象与性质 考点02二次函数的最值 考点03待定系数法求二次函数解析式 考点04二次函数与一元二次方程 考点05实际问题与二次函数 考点06二次函数综合 考点01 二次函数的图象与性质 1.(2026广东佛山一模)若点(0，y1),(2,Y2),(3y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上， 则() A.y1>y2>ys B.y2>y1>y3 C.y2>ys>y1 D.y3>y1>y2 2.(2026广东惠州一模)“数形结合”是研究函数的重要思想方法.若二次函数y=x2+2x+m的图象在平 面直角坐标系中只经过两个象限，则m的值可以是 ·(写出满足条件的一个值即可)》 3.(2026广东汕头.一模)抛物线y=2x2-4x的对称轴是 4.(2026·广东珠海一模)已知二次函数y=x2-2x-3,下列说法错误的是() A.开口向上 B.对称轴为直线x=1 C.顶点坐标为(1，-4) D.当x>1时，y随x的增大而减小 5.(2026江苏苏州一模)已知二次函数y=ax2+4ax(a是常数，a<0)的图象上有A(m,y1)和 B(2my2)两点.若点A,B都在直线y=-3a的上方，且y1>y2,则m的取值范围是 6.(2026江苏扬州一模)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx十c=m总 有一正一负两个实数根，则m的取值范围是 7.(2026江苏宿迁一模)在平面直角坐标系xOy中，点A(Xy),B(x2y2)是抛物线 y=ax2-4ax+c(a≠0)上两个不同的点. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()当y1=y2=0时，求81+x2的值： (2)当x1=3,X2=4时，比较y1与Y2的大小： (3)若对于a<X1<a+2,a+2<x2<a+3,都有y1<y2,求a的取值范围. 8.(2026江苏南通一模)二次函数y=ax2-4ax+2(a<0)的图象过点A(-1,y1),B(2,y2), C(6,y3).若yy3<0,则a的取值范围是() A.-寻<a<- B.-是<a<-言C.-<a<-号D. -青<a<-君 9.(2026江苏扬州一模)若点A(-1y1)、B(2y2)、C(4,y3)在二次函数y=ax2-2ax+1(a>0) 的图象上，则y1、Y2、y3的大小关系是·（用“<”连接） 10.(2026江苏宿迁一模)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k,则称该点为k 级和值点”.在0≤x≤2的范围内，若二次函数y=一x2+2x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取 值范围为 11.(2026江苏徐州一模)如图为函数y=ax2+bx+c的图象，下列说法中①b2-4ac>0;② 2a+b>0,③a-b+c<0,④4a+2b+c>0.正确的个数有() VA 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点02 二次函数的最值 12.(2026江苏无锡一模)在平面直角坐标系中，若点A(0,4),，B(m,0),C(m+3,0),，则 AB2+2AC2的最小值为 13.(2026江苏泰州一模)己知抛物线：y=x2-(m+2)x+2m-3. (1)当m=3时，判断点(1，-2)是否在该抛物线上； (②)抛物线的顶点随着m的变化而移动，当该抛物线顶点的纵坐标取得最大值时，求此时抛物线的顶点坐标； 3)若一次函数y1=2x-7,对于任意实数，都有y≥y1,求m的值， 14.(2026江苏宿迁一模)在平面直角坐标系中，对于一次函数y=kx+b(k≠0)，若g=y-tx(t 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为常数，t≠0)，则称g为y的t型相关量”.例如：一次函数y=2x+1的2.5型相关量”为 g=(2x+1)-2.5x=-0.5x+1. 【理解】 (1)一次函数y=3x一1的2型相关量”，则g=: 【探究】 (2)己知g是y=kx-4(k≠0)的“t型相关量”. ①若g是定值，请说明t与k的大小关系，并求出g的值： ②若g随x的增大而减小，试比较t与k的大小关系； 【迁移】 (3)类似的，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，若g=y-t,亦称g为y的“t型相关量”.当 一2≤x≤1时，二次函数y=一x2+3tx+t2-3的“t型相关量”g的最大值为3，请直接写出t的值， 15.(2026江苏宿迁一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，其中∠A=45°，AC=8,若点M 是AC边上的动点，连接BM,以BM为斜边作等腰直角△BMN,连接CN.则△CMN面积的最大值 是 16.(2026江苏连云港.一模)在二次函数y=x2-2mx-2m+3(m>0)中. (1)若它的图象与x轴只有一个交点，求m的值和顶点坐标； (②)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出m的值； (3)如果A(t-2,a),B(4,b),C(t,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<-2m+3.求t的取 值范围。 17.(2026江苏盐城一模)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象过点（一1,0），顶点为 (1,2),下列结论：①abc>0;②x=1时，函数最大值是2；③4a+2b+c>0;④2a+b=0;⑤ 2c<3b,其中正确的结论有() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 18.(2026浙江宁波一模)已知二次函数y=ax2-4ax+3(a为常数)的图象过点(1,0). (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标， 2)已知P(xy1),Q(x2y2)为二次函数图象上两点，其中1≤X1≤m,2≤x2≤2m. ①当m=2且y1十y2=3时，求点P的坐标.。 ②若y2与y1的差的最大值为9，求m的值 19.(2026浙江宁波一模)已知二次函数y=(x-m)2-2(x-m),m为实数. (1)若m=1,求该函数图象的对称轴， (2)当m十2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值. 3)若点A(xy1),B(x2y2),且x1<x2,1+x2=4m-6,试比较y1与y2大小， 20.(2026浙江嘉兴.一模)已知二次函数y=-x2+2x+C(c为常数). (1)求该二次函数图象的对称轴. (2)过点(0,4)且与x轴平行的直线交二次函数y=-x2+2x+C的图象于点A,B,AB>2 ①求c的取值范围； ②若AB=4,且当t≤x≤t+2时，二次函数y=一x2+2x+c的最小值为2，求t的值. 21.（2026浙江舟山一模)设二次函数y=-x2+2ax-3a+1. (①)若该函数的对称轴为直线x=2,求该函数的顶点坐标； (②)判断该函数是否存在最大值11，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (3)已知点P(8,1-3a),M(my1)和N(n,y2)在函数图象上，当2≤n≤5时，都有y2>y1,求m的 取值范围 考点03 待定系数法求二次函数解析式 22.(2026广东惠州一模)罗浮山景区夜间梦幻水秀深受游客喜爱，喷泉喷出的水柱可近似看作一条抛物 线.如图，以喷口为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，己知水柱的最大高度为 16米，落地点与喷口的水平距离为32米，求这条抛物线的函数解析式. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y/m 16 32x/m 23.(2026广东佛山一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过(0,2)和 (2,2)两点 ()补充一个条件，求抛物线的表达式： (2)将抛物线y=ax2+bx+c向左平移mm>0)个单位得到新的抛物线y1·当x>-1时，Y1随x的增大 而增大，求m的取值范围； (3)当a<时，判断y与x一的大小，并说明理由 24.(2026湖北襄阳一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=一x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(6,3) 两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作PD⊥x轴于点D,交直线OB于点C,设点P 的横坐标为m. B D 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当点C为PD中点时，求m的值： (3)令d=|PC-CD|. ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围. 25.(2026河南周口一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于 点C. 1/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点P是抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当点P在第一象限时，求线段 PE的最大值： (3)在(2)的条件下，当PE取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QBE为等腰三角 形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 26.(2026江苏苏州一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0),C(0,3)三点. B A 备用图 (1)求抛物线的解析式； 2)作直线BC,点D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接0D与直线BC交于点E,求器的最大值及此 时点D的坐标； (3)将抛物线y=一x2+bx+C先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y,点P是抛物线 y=-x2+bx+c上一个动点，作以点P为中点的线段MN,且MNx轴，MN=2.设点P的横坐标 为m,若线段MN与抛物线y有交点，求m的取值范围， 27.(2026天津.一模)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0)的顶点为P,且2a+b=0, 与x轴交于点A,B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,对称轴交x轴于点N,O为坐标原点. (1)当a=-1,c=8时，求该抛物线顶点P的坐标； (2)若点B(3,0),且PN=BC,求a的值： (3)若点M(m,n)(0<n<-a+C)在对称轴上，∠ABP=75°，当AM+MB+MP的最小值等于 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4V5+4时，求点M的坐标和a的值。 28.(2026辽宁盘锦一模)如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-昌)，顶点D的 坐标为(1，-2). AO B NO B B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)直线a:y=kx+b经过点C(0,-),将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为1， ①已知1与抛物线交于第一象限内的点E,当CD上DE时，求点E的坐标： ②当直线1与x轴交于(2,0)时，在直线1下方抛物线上取一点M,过点M作MH⊥直线1，垂足为H,是 否存在一点M使得BM=BH?若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由： ③设抛物线上一点T(一号，t),点T是点T关于直线1的对称点，当T落在抛物线上时，判断T位于抛物 线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由. 考点04 二次函数与一元二次方程 29.(2026青海西宁.一模)综合与实践 根据我们学习函数的经验，在探究一个函数的性质时，我们会用描点法画出函数图象，再通过观察图象的 形状与变化趋势获得对函数的直观认识.进而归纳总结出函数的相关性质， 【画出函数图象】 绘制函数y=字x2-4的图象： 列表： 中 -6 -4 -2 0 2 6 5 0 3 4 3 0 5 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 珠 9 8 7 6 4 -9-8-7-6-54-32-1, 0123456789 -2 (①)根据列表，在图中将函数y=字x2-4的图象补充完整； (②)当一4≤x≤4时，函数图象是抛物线的一部分，这个抛物线的函数解析式为_： (3)【探究函数性质】结合函数图象解决下列问题：直接写出方程x2一4=5的解； (④根据函数y=|宝x2-4的图象，下列结论中：①函数图象关于y轴对称；②x<0时，y随x的增大而减 小；③当x=±4时，y有最小值为0；④不等式x2-4>4的解集是x<-4V2或x>4y2,所有正 确结论的序号是： (⑤)【解决问题】若一次函数y=x+n的图象与y=左x2-4的图象只有3个交点，则的值是 30.(2026山东济宁.一模)已知抛物线y=ax2+bx+3经过点(2,3). (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(x0)和B(x20)两点(x1<x2,且x2-x1=2V2,求该 抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，当t≤x≤t+3(t为任意实数)时，二次函数y=ax2+bx+3有最大值为3，求t 的值. 31.(2026辽宁.一模)【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾 嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉.喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬， 显示出海的风采、潮的韵律.定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看.图1是音乐喷泉中常 见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1.它们 都经过同一点；2.它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线 叫作以上各水流所在抛物线的包络线” 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足： y=-(ax2-吉)，水平面是直线y=m,与“包络线”交于A,B两点（点A在点B的左侧），其中一条水 流所在抛物线Y1经过点B, 图1 图2 【解决问题】 (当a=1,m=员时， ①AB=- ②求抛物线Y:的解析式。 (2)若抛物线y,的顶点坐标为(1,1)，求“包络线”的解析式. 32.(2026湖北武汉一模)如图，抛物线y=一x2+x十2与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边)， 交y轴于点C. (备用图) (I)求A,B,C三点的坐标； (2)线段MN的端点坐标分别是M(m,0),N(O,三m),若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出m的 取值范围 (3)点D与点O关于点C中心对称，过点D的直线交抛物线于E,F两点，直线OE交抛物线于另一点G.试说 明V轴上总存在点H,使四边形DFHG是平行四边形， 33.(2026河南濮阳一模)如图，抛物线y=一x2+bx+c的顶点A在正方形网格的格点上。 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 5 4-3-2-10 3456 -2 (1)求b和c的值： (②)请在给定的平面直角坐标系中画出直线y=一x+4,设该直线y=一x+4与抛物线 y=-x2+bx十c相交于点B和点C(点B在点C左侧)，请描出点B和点C,并直接写出当 -x+4>-x2+bx+c时x的取值范围； 3)将抛物线y=-x2+bx十c沿直线y=n翻折后得到新的图象，若新图象与(2)中的线段BC只有一 个交点，请直接写出n的取值范围 34.(2026辽宁沈阳一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为y=x2-3ax+2a (1)当a=1,求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标： (2)①若该函数在0≤x≤3时，y随x的增大而减小；在6≤x≤7时，y随x的增大而增大，求a的取值范 围； ②设点M(x1y1)在抛物线y=x2-3ax+2a上，点N(xy2)在抛物线y=2x2-ax+3a2-6上，当 -2≤1≤1时y1一y2的最大值为-1，求a的值 35.(2026广东珠海一模)已知关于x的一元二次方程mx2+(m-1)x+n=0. (1)若6m+n=2,求证：此方程有一个根为2； (2)在(1)的条件下，二次函数y=nx2+(m-1)x+n的图象经过点(1,2)，求代数式 m243 m24m+4n2 )÷器票的值： (3)当号<<0时，求证：此方程总有两个不相等的实数根。 考点05 实际问题与二次函数 36.(2026青海西宁.一模)如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，点P到水面0A的距离为号m,从0、A 两处观测P处，仰角分别为a,B,且tana=,tanB=多，以0为原点，OA所在直线为x轴建立平面直 角坐标系 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a A (1)求P点的坐标： (②)求抛物线的函数表达式及抛物线上的最高点到水面的距离. 37.(2026山西临汾一模)综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律， 即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.如图1 是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭。 B 图1 图2 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(单 位：m)与飞行时间t(单位：s)的数据，并确定了函数表达式为x=3t.同时也收集了飞行高度y(单位： m)与飞行时间t(单位：s)的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间t/s 0 2 4 6 飞行高度y/m 0 10 16 18 (1)【建立模型】 任务1：求y关于t的函数表达式 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (②)【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面 的高度为PQ),当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回 收区域，己知AP=39m,AB=3m 任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A、B),直接写出发射台高度PQ的取值范围. 38.(2026四川南充一模)某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升.每天店内自制产量m 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (升)与售卖定价x(元/升)满足函数关系：m=5x+80.结合市场消费调研，每天市场需求量n(升) 与售卖定价x(元/升)为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x(元/升〉 4 5 10 市场需求量n(升) 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量， 仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/ 升. (I)求n与x的函数关系式； (②)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润： (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 39.(2026山东青岛一模)某航站楼正门为如图(1)所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为18m,最高 点离地面高度为9，随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图(2)所示 的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到24m 9m 18m -24m 图(1) 图(2) M G MH E 图(3) 图(4) 建立如图(3)所示的平面直角坐标系，解答下列问题： (I)求左侧抛物线OM的表达式，并求M点离地面的高度； (2)直接写出右侧抛物线MN的表达式： (3)为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架BADC,使A点，D点在抛物线上，B点，C 点在地面上，其中AB,AD,DC三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ (4)为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用EH和GF两根斜拉钢梁加固，其中G,H为两抛物线的 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 顶点，E,F在抛物线上，且BH和GF交于点M,求需用钢梁的总长度 40.(2026湖北襄阳一模)跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变 化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用， 请完成下列任务. 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用 仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x(单位：s),滚动距离y(单位：cm)的数据. y/cm 120 100 80 60 40 20 0 24681012x/cm 图1 图2 【收集数据】 运动时间xs 0 2 6 P 10 滚动距离 0 26 48 66 80 90 y/cm 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的 表示y与x的函数关系 (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (②)求小球在水平木板上滚动的最大距离： (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方48cm处有一辆电动小车，以3cms的速度匀速向右直线运动， 则小球能否追上小车？请说明理由， 41.(2026湖北襄阳.一模)某渔场用300m长的渔网围成一个L”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩 形ABCD和DEFG组成（其中CD边与DG边的一部分重合，重合部分仅计一次），且C为DG的中点，设 DC=xm. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E (I)用含有x的式子表示AD的长； (②)求围成的“L”型区域的最大面积： (3)在(2)的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每100m2作为1个面积单位，现有两种出 租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部 租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年， 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元(m>0)用于环保升级；若按照方案二，渔场一次 性拿12600元用于环保升级.若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年 净收入，求的取值范围（每年净收入=出租费用-环保升级费用）. 42.(2026安徽合肥一模)【真实情境】 为深化义务教育劳动课程与数学学科融合，某校计划打造实践型蔬菜种植大棚，作为学生劳动实践、数学 建模的综合实训场地、大棚横截面采用抛物线拱形矩形基座APD十ABCD”的组合结构，既符合力学承重 原理，又能最大化利用空间、提升采光效率.为精准开展结构分析与设施优化，该校师生以大棚地面所在 直线为x轴，大棚横截面中的抛物线拱形APD”的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系开展数学建模.经实 地测量：矩形基座(AB和CD)高度为2米，底部地面跨度(BC)为10米；“抛物线拱形”的最高点P到地面 的距离为6米。 (I)结合上述建立的坐标系与实测数据，利用抛物线的建模方法，求出“抛物线拱形APD”对应的函数解析式， 并注明自变量的取值范围. VA ò D B F O G C B FO 图1 图2 【问题解决】 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)为防止大棚拱形受压变形，需在抛物线拱形内侧安装防护脚手架.如图1，矩形脚手架结构为：EF, HG均垂直于地面，EH平行于地面，且E、H两点落在抛物线上，F,G两点落在BC上.其中三根支架EF ，HG,EH的长度之和称为脚手架总长度.求出脚手架总长度的最大值： (3)在实际制作脚手架的过程中，由于工人师傅失误，把所有的脚手架都焊接成图2中所示梯形EFGH的样 式，且FG=5米，EF=5米，HG=4米.从节省成本考虑，学校准备通过降低矩形基座高度，使得抛物 线拱形下降，再左右移动梯形脚手架让点E、H同时落在抛物线上，完成蔬菜种植大棚的搭建.求此时抛物 线应下降的高度是多少米？ 43.(2026山西一模)项目式学习 项目背景：儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、激发儿 童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中的数学知识. 实验数据：当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为0.8m时，软弹最终落在距发射口水平距离4m的 水平地面上 建立模型：如图1.软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口A可随玩具枪竖直上下移动， 发射口即为软弹飞行路线的最高点.过点A作水平地面的垂线与地面交于点0，以OA所在直线为y轴，过 点0且与0A垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1m). ⑨M衣 图1 图2 (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式 问题解决：儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的一部分. (2)综合与实践小组的同学在点B(2,0,35)的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中目标靶，儿童软弹玩具 枪在竖直方向应如何移动？ (3)如图2.四边形PQMN是一个无盖长方体盒子的截面图，点Q,点M的坐标分别为(4.4,0)，(4.6,0)， PQ⊥x轴.MNLx轴，PQ=MN=O.3m,要使软弹能够落在长方体盒子里，直接写出儿童软弹玩具枪 发射口距地面的高度OA的取值范围（含边界）. 考点06 二次函数综合 44.(2026广东江门一模)代数推理 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减 半点”，则称该函数为“减半函数”。 (1)函数y=x十5是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数y=图像上的减半点”； (3)若抛物线G:y=mx2+(m十1)x+m图像上存在唯一的“减半点”. ①求抛物线G的解析式： ②将抛物线G向上平移品个单位长度，得到新抛物线H,作直线x=t交抛物线H于点A,作直线 x=2t+1交抛物线H于点B,连接AB,若直线AB的减半点”恰好为线段AB的中点，求t的值. 45.(2026广东广州一模)在平面直角坐标系中，抛物线G的顶点坐标为（五，k),若点(X,y)在抛物线 G上（异于顶点)，且满足x-h=y-k,则称点(X,y)为该抛物线的“T点”，2x-h为该抛物线的 “T系数” (1)写出抛物线y=x2的顶点坐标，判断(1,1)是否为该抛物线的“T点”，并说明理由； (2)已知抛物线G:y=ax2-2amx+am2-m+6(a≠0)过原点0. ①当m=3时，求该抛物线的“T系数”； ②若抛物线G的“T系数”为16，当am2≤x≤一m+6时，求y的取值范围. 46.(2026广东一模)综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线l1:y=-x2+bx+2与y轴交于点A, 图1 图2 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线1与x轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点(-4，n),(2,n)在抛物线l1上，当t≤x≤0时，记函数y=-x2+bx+2的最大值和最小值分 别为大和V,且y大一y小=1，求t的取值范围； 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【拓展延伸】 (3)在(2)的条件下，如图2，抛物线2由抛物线1先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得， 且l2与x轴分别交于点B,C,与y轴交于点D,直线1为l2的对称轴.点P为l2上一点，且点P在直线的右侧 的第一象限内，过点P作PMLI于点M,作PNI‖I交直线CD于点N,过点N作NQ⊥I于点Q.当直线CD 将四边形PMQN的面积分成1：2的两个部分时，求此时点P的坐标 47.(2026·广东汕头一模)2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢 运动轨迹可以近似看作一条抛物线y=一x2+10x一21，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①， 且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线x=3对称. 图① 图② (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A,B,C三点的坐标. (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC为等腰三角形，若存在，请求出 点Q的坐标，若不存在，请说明理由， (3)如图②，在平面内有一点P,使得∠APB=90°，在x轴上有一点E(-3,0),连接CP和EP,请求出 CP+EP的最小值. 48.(2026江苏泰州一模)如图1，已知抛物线y1=ax2+bx+3交x轴于点A(-1,0),点B(4,0), 交y轴于点C.过点C作CD IIAB,交抛物线于点D. 图1 图2 (1)此抛物线对称轴为；点D坐标为 ;a= ,b= (2)点E是线段OB上一动点，连接CE,若CE平分∠OCB,则点E的坐标为 (3)将抛物线y1图象沿x轴正方向平移m个单位（m>0)得到新抛物线y2的图象，对于新抛物线y2图象上 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 的一点(x,y),当0≤x≤4时，y2的最小值为-器 ①求m的值： ②如图2，在(2)的条件下，连接DB,点M为线段DE上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线y,的 图象于点N,当点M从左向右运动时线段MN的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围 49.(2026江苏南通一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4mx+4m2-9与x轴交于点A, B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C (1)当m=2时，求点A,B的坐标； (2)若S△cAB=3S△C40,求直线BC的函数解析式： (3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数图象记为G,点 M(xy),N(x2y2)在G上，当1<X1<2,x2=2时，Y1<y2恒成立，直接写出m的取值范围. 50.(2026江苏扬州一模)抛物线y=-x2+bx+c(b、c为常数)图象交x轴于点A(1,0)和点B,交 y轴于点C(0,3). 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，PM⊥x轴，交直线BC于点M,PN⊥y轴，交抛物线的 对称轴于点N. ①如图l,连接MN,若sin∠PMN= 号，求点P的横坐标： ②如图2，过点A作直线I‖BC,MQ⊥y轴，交抛物线的对称轴于点Q.若四边形PMQN在直线BC与1 之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为 51.(2026江苏徐州一模)己知，在平面直角坐标系中，一次函数y=一x+3的图象分别与x轴、y轴交 于点A,B. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图，若抛物线y=ax2-2ax+a+4经过点A,且与x轴的另一个交点为点C. ①求出这个二次函数的表达式： ②在抛物线上存在点P,使得BO平分∠CBP,求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D,若抛物线y=ax2-2ax+a+4与线段BD只有一个公共点， 求实数a的取值范围。 52.(2026浙江丽水一模)已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点(4,0)和(1,3)，点 P(xy),Q(X3y2)是该二次函数图象上的两个动点，满足0<x1<2<x2<4,且安+是=4. (1)求该二次函数的表达式： (2)求X1十X2的值： (3)已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M,一条平行于x轴的直线过点A(0,t)交函数图象于B,C 两点，且BC=3PM,求BC的最大值及此时对应的t值. 53.(2026浙江一模)已知抛物线y=x2-(2a+1)x+2. (1)若a=1,求图象与x轴的交点坐标： 2)若A(x专)，B(x2专)是抛物线上不同的两点，且点C(x1+x2m)也在抛物线上，求m的值； (3)在(1)的条件下，作一条垂直于x轴的直线x=n,交抛物线于点P,交直线y=x一1于点Q,当线段 PQ随n的增大而增大时，求字母n的取值范围 54.(2026浙江绍兴.一模)已知抛物线y=x2+bx-3的对称轴是直线x=一1. (1)求b的值. (2)若点M(x,y)是抛物线上的动点. ①当一2≤x≤3时，求y的取值范围. ②当P≤y≤p+3时，x的最大值与最小值的差为4，求x的取值范围. 55.(2026浙江杭州一模)已知二次函数y=ax2-4ax+1（a为常数且a≠0). (I)当点P(2,0)在该二次函数图象上时，求a的值 2)已知A(xy),B(&2y2)在该函数图象上. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①若a<0时，有x1<2<x2且x1+x2>4,求证：y1>y2 ②若-a<X1<a,x2=2a+1,存在y1=y2,求a的取值范围. 2/6