精品解析：广东广州市华南师范大学附属南沙中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

南沙华附2025-2026学年第二学期3月月考 一、单选题 1. 物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C. 在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D. 在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 2. 等差数列中，，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由，则， 在等差数列中，. 3. 已知实数，a，b，c，成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可得. 【详解】由题意得,，， 又奇数项的符号相同，所以，则， 故. 故选：A 4. 如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点爬到相对的顶点，则其中经过条棱的路线共有（ ）条. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理直接计算即可. 【详解】从顶点出发有条路线，分别经过，，. 经过有条路线，经过有条路线，经过有条路线. 根据分类加法计数原理可知，从顶点到顶点，经过条棱的路线共有条， 故选：B. 5. 将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同染色方法总数为 A. 120 B. 125 C. 130 D. 135 【答案】A 【解析】 【分析】将五棱锥的顶点染色有种方法，可设五棱锥底面的顶点分别为，先涂，再涂，然后涂，再根据分步乘法原理求解即可. 【详解】将五棱锥的顶点染色有种方法，可设五棱锥底面的顶点分别为. 先涂，有 种方法，再涂. 两点颜色可相同也可不同，分成两类：一类同色，则有种涂色方法，可知共有种方法， 另一类同色，则共有种涂色方法，可知共有种方法， 综上所述可得不同染色方法总数为种. 故选：A. 6. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复合函数求导法则求出，进而确定函数在上的单调性并比较大小. 【详解】由函数的定义域均为R，且为偶函数，得， 求导得，则，由是R上的减函数， 得当时，，因此函数在上单调递减， 所以. 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（ ） A. 480 B. 384 C. 360 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，先确定第一名的班级，再确定最后一名的班级，再确定没有要求的班级名次即可. 【详解】分步乘法计数原理，分三步完成． 第1名只能是丙、丁、戊、己这4个班，有种可能； 乙班的名次只可能是第2，3，4，5名，有种可能； 剩余4个班的名次有种可能． 所以6个班的名次排列有种不同情况． 故选：B 8. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举数列，得到数列的周期为6求解. 【详解】解：由题意得：数列为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，… 所以该数列的周期为6， 所以 ， 故选：B 二、多选题 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A. 若，则数列一定是递增数列 B. 若，则 C. 一定是关于的二次函数 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义可判断A的真假，根据等差数列的通项公式求的值，可判断B的真假；根据时，数列的前项和的形式可判断C的真假；根据等差中项的求法求的值，可判断D的真假. 【详解】对A：根据等差数列的概念，当时，等差数列一定是递增数列，故A正确； 对B：若，则，故B正确； 对C：当时，不是关于的二次函数，故C错误； 对D：当时，，故D正确. 故选：ABD 10. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 实数a的取值范围是 B. 函数的图象关于点对称 C. 存在实数a，使得是的极大值点 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极值点可知导函数有两个零点，利用判别式求解可判断A，根据函数对称的性质取特殊点判断B即可，利用求出，检验即可判断C，根据A及韦达定理，化简，解不等式判断D. 【详解】因为， 是函数的极值点， 所以是的两个不等的实数根， 所以，解得或，由， 所以，故A正确； 在函数的图象上取点,则关于点的对称点为， 而，显然不恒等于， 故函数的图象关于点不对称，故B错误； 当是的极大值点时，，解得， 当时，， 所以当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，故C正确； 由A选项知，是的两个不等的实数根， 所以， 所以 ， 由， 因为，所以，故D正确. 11. 在下列图形中，能够不抬起笔､不回笔地一次性画出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据节点处连接的线为偶数条则能一笔画，奇数条不能一笔画求解. 【详解】将各图形绘制经过点的顺序描绘如下（顺序不唯一）： A. B. D. 故ABD均正确； 对于C选项，图中存在4个节点处与5条线相连接， 无法用任何方式将其不抬起笔､不回笔地一次性画出，故C错误. 故选：ABD. 三、填空题 12. 曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处的斜率，求出切点，利用点斜式求出切线方程，设的切线的切点为，利用导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，由在处的切线也是曲线的切线，通过斜率相等得到，将代入得到，从而得到曲线的切线的切点坐标，又切点在切线上，代入得到. 【详解】将代入，得到，则切点为， 的导数，则， 则切线方程为，即. 的导数， 设的切线的切点为， 则， 因为在处的切线也是曲线的切线， 所以，所以，解得， 将代入得到， 则切点为，又切点在切线上，则有. 故答案为：． 13. 若，则的个位数字是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用阶乘的公式计算即可得解. 【详解】，，，，， 从开始一直到的个位数字都是0． 要求的个位数字，则只要将前面五个数加起来， 即． 即的个位数字就是． 14. 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合函数最值的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 当时，当时，该函数单调递增， 所以， 所以对任意，都有，一定有成立， 解得，这与相矛盾，不符合题意； 当时，当时，， 所以对任意，都有，一定有成立，而， 所以； 当时，设表示两数中最大的数， 因为当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 所以当时，， 对任意，都有，一定有且， 解得， 综上所述：， 所以的取值范围为. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）利用导数的几何意义求解即可. 【小问1详解】 因为， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为. 综上，的单调递增区间为，；单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，且， 所以切线方程为， 即. 所以曲线在点处的切线方程为. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式及前10项的和． 【答案】（1） 因为，所以， 又，所以，， 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列． （2），2036 【解析】 【分析】（1）利用递推证明等比数列即可； （2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，即， 设数列的前项和为， 所以． 17. 某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． （1）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ （2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ （3）往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 【答案】（1）14400 （2）30960 （3）20160 【解析】 【分析】（1）分2步进行分析，先排列三个发言以外节目，产生6个空，再从6个空位中任选3个，安排三个发言节目即可； （2）分励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个和励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在最后一个求解； （3）根据题意共有8个的先后位次，往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，从8个位置选2个放置，其它位置任意排列求解. 【小问1详解】 解：根据题意，分2步进行分析： ①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有6个空位， ②在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况， 则三个发言不能相邻的排法有＝14400种； 【小问2详解】 励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数为：种情况， 励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法数为：种情况， 共有：＝30960种情况． 【小问3详解】 根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．共有8个的先后位次；往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，8个位置选2个，有种方法，其它位置，任意排列， 共有的方法数：＝20160种情况． 18. 已知函数． （1）在单调递减，求m的取值范围； （2）若有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）题设等价于恒成立，结合分离参数法求最值即可求解； （2）求导，通过讨论，讨论函数单调性、函数值情况即可求解. 【小问1详解】 由题意， 因为在单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又当且仅当即时取等号， 所以，即m的取值范围是； 【小问2详解】 由，得，定义域为， 当时，在恒成立，故在单调递减， 则在最多有一个零点，不合题意，舍去； 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 且当时，，所以， 当时，， 因为此时，所以， 要使得在有两个不同的零点， 只需满足即可，解得，又， 所以， 综上可知：在有两个不同的零点，的取值范围是. 19. 已知数列，其前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，设数列的前项和，求证：； （3）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 由（1）可得， 所以 ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据作差得到，再用累乘法计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证； （3）参变分离可得对恒成立，令，利用作差法说明的单调性，即可求出，即可得解. 【小问1详解】 因为，当时， 所以， 即，所以， 即，所以，，，，， ， 累乘可得，又，所以， 当时也成立，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 所以时，当时，当时， 即， 所以，所以，即实数的取值范围为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南沙华附2025-2026学年第二学期3月月考 一、单选题 1. 物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B. 在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C. 在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D. 在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 2. 等差数列中，，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 已知实数，a，b，c，成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 4. 如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点爬到相对的顶点，则其中经过条棱的路线共有（ ）条. A. B. C. D. 5. 将一个五棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，那么不同染色方法总数为 A. 120 B. 125 C. 130 D. 135 6. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次．甲、乙两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第1名．"对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名，”从这两个回答分析，6个班的名次排列可能的不同情况种数为（ ） A. 480 B. 384 C. 360 D. 288 8. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，，，，，，，，，，，即，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知等差数列的公差为，前项和为，则下列说法正确的有（　　） A. 若，则数列一定是递增数列 B. 若，则 C. 一定是关于的二次函数 D. 若，则 10. 已知是函数的极值点，则（ ） A. 实数a的取值范围是 B. 函数的图象关于点对称 C. 存在实数a，使得是的极大值点 D. 若，则 11. 在下列图形中，能够不抬起笔､不回笔地一次性画出的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ________． 13. 若，则的个位数字是_____． 14. 已知函数，对任意，都有，则的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求曲线在点处的切线方程. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式及前10项的和． 17. 某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． （1）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ （2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ （3）往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 18. 已知函数． （1）在单调递减，求m的取值范围； （2）若有两个不同的零点，求m的取值范围． 19. 已知数列，其前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，设数列的前项和，求证：； （3）若对恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $