数学（浙江卷02）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

**基本信息** 2026年高考考前最后一卷高三数学试卷，通过真实情境（如地震能量计算）与分层设问（如椭圆综合题），覆盖集合、复数、概率等核心知识点，检测数学眼光、思维与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合运算、复数模、充要条件|第4题结合地震能量公式，体现科学情境真实性| |选择题（多选）|3/18|概率分布、三角函数图象、立体几何|第11题动态棱锥问题，考查空间观念与创新意识| |填空题|3/15|二项式定理、摸球概率、平面向量|第14题矩形动点最值，强化几何直观与模型意识| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、数列、椭圆、导数|第18题椭圆综合题分层设问，第19题导数证明与取值范围，突出逻辑推理与运算能力|

■■■■ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 40 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（    ） A． B． C． D． 5．若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ） A．5 B．5或6 C．10 D．9或10 7．已知分别是双曲线的左､右焦点，为左顶点，是双曲线在第四象限上一点，的斜率为，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．已知函数，若，则方程在的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，且，则 10．已知如图是函数，的部分图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．在单调递增 C．的图象关于中心对称D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 11．设正方体的棱长为，点、分别为棱、上的动点（含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积有最大值B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球的体积有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中的系数为6，则实数的值为__________. 13．一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________. 14．如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）中，角对应的边分别为， (1)求角；(2)若点在边上，且，求的面积. 16．（15分）如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点. (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 18．（17分）已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； (3)过点作，垂足为，求的最大值． 19．（17分）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若，且，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 7 6 D C C C C D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD BD ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】3 1B.【案】9 14.【答案】0.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【答案】0写a 3 【解】(1)由三角形内角和定理可知：A+B=π-C=2C→C=刀， 再由acos(C-A)=bcosC+ccosB,利用正弦定理边化角得： sin Acos(C-A)=sin BcosC sin CcosB sin(B+C)=sin A, 3:(5分) 因为sinA>0,所以有cos(C-A=1,则C-A=0→A=C= (2) 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A B 由cos∠BDC=- ,在BDC中，可得sin∠BDC= 1893v21 14 1414 2V7 BC BD BC 再由正弦定理得： sin∠BDCsin C→3N2ig =3→BC=2,(3分) 142 再由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C, 即 27 3 =4+c02-4cD×c0-2.D+g=0 解得D号我D-专G分) 因为cos∠BDC=-V万 所以LBDC为钝角， 14 故CD子所以AsCD的面积S=x2×名x5-5 2分) 323 16.(15分)【答案】(1证明见解析：(2四 【解】(I)如图，取PA的中点F,连接BF,EF 由E为PD的中点，F为PA的中点，BC/IAD,且AD=2,BC=1, 可得EF4D1BC,EF-号4D=1BC 所以四边形BCEF为平行四边形，故CE/IBF 又BFc平面PAB,CE￠平面PAB,所以CE//平面PAB.(5分) (2)取AD的中点O，,连接PO,OC 由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以P0⊥平面ABCD.(3分) 由AO=BC=1,AO//BC,得四边形ABCO是平行四边形 于是OC11AB,又AB⊥AD,则OC⊥AD,直线OC,OD,OP两两互相垂直 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，(1分) E -.).c.0.0.o.01.(o.o.)o.jz) 所以BC=(0,1,0,BE 423 (2分) 设平面EBC的法向量为m=(a,b,c, b=0 m.BC=0 则 即 m·BE=0' 4. -a+-b+ 25 c=0 3 3 令c=1,可得i 2V3 3,01 易知平面ABCD的一个法向量为i=(0,0,) 设平面EBC与平面ABCD的夹角为O, m √21 cos0= m 2W3 7 +12 3 所以平面EBC与平面ABCD夹角的余弦值为 .(4分) 7 17.(15分)【答案】(1)答案见解析；(2)14 1-1a,+1-1+1-1 11 【解】(1)由题可知a1一= 2am= 22am= 2a2=1. 1 1-11-11-1 =一，日—一12 a a a an a, 所以数列仁-是以；为首项，为公比的等比数列.(4分) a. 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2” 2”+1(2分) 8=g+目i-02+0n n+0+n=1-1+3n+ 2分 -,(3分) 1 2 2 2 令Sn<120,整理得n2+3n-2-"<238, 因为函数y=x2+3x在(0，+0)上单调递增，y=2-x在(0，+o∞)上单调递减 所以函数y=x2+3x-2在(0，+o)上单调递增 所以易得y=n2+3n-2"在neN上单调递增 且14+3x14-2H=238-<238<15+3x15-2=270-2 1 所以S,<120,的最大值为14.(6分) 18.17分)【答案】0号+苦=1：②证明见解折：何6厨 43 14 【解】(1)由已知得+9 a24 故a2=4,b2=3, 所以题E的方是为苦+号1(3分) (2)由(1)可得F(-1,0),F21,0), 由题意知k,k,均存在且不等于0， 则设直线4B的方程为：x=my-1,k=1m≠0)，A(x,y),B(x,), m 则x1=my1-1,x2=my2-1,3x+4y2=12. 设直线4C方程为：x=w+1,m=,C(,Dx,y y 与椭圆方程联立得：3n2+4)y2+6y-9=0,△=(6n2+36(3n2+4=144n2+144>0, 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9 9 所以5=、 92 9yi 3y 3n2+4 351）2 3到-1炉+4g 3+4-6x+32x-5,因为*0， +4 故y 25,因此。=+1-5-，3。+1=5-8 3y y2x-5 2x-5·(3分) 3y2 同理y2,5 5x2-8 2x2-5 3y23y CD斜率为k2=-当=2x-52x-5 3y2(2x-5)-3y(2x2-5) x-x35x-8_5x-85x2-8)2x-5)-(5x-8)(2x2-5) 2x2-52x-5 3y2m%-7刃-3y(2m,-7）=7为-7k, (5x,-8(2x-5列-(5x-8(2x,-5)3x-x2)3 故经-号分) 南@：直线0的方是为兴-引 7 3y75x-8_79my-7(5x-8) 即y=3mx+2x-53m2x-53m3m2x-5 一X+ 一X+ (3分) 月月 -x+ 3m 所以直线cD过定点号3分) 因为PH1CD,由几何意义知：IPH图POF36 14 故PH的最大值为3V6.(2分) 14 19.(17分)【答案】①)2x-y-c=0:(②)证明见解析：(3)0<元≤1- 【解】(1)因为f(x)=1+lnx,所以切线斜率k=f(e)=2, 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因为f(e)=e,所以切点为(e,e), 所以切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0(3分) (2)由f)=xnx≥x-1→nx≥1-1→nx+1-1≥0， 设g0-ax+1.则g--0时，=1， 当x∈(0,1)时，g(x)<0,所以函数g(x)在(0,1)上单调递减， 当x∈(L,+o)时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(L,+oo)上单调递增， 所以g)≥g0=0,即nx21-,所以f≥x-l,(5分) (3)结合0的非正数次幂没有意义， 则对于任意的x,x2∈(0，)，都能满足x-x,均有意义，则2>0， 1 1 若元21，取x=。,6。 小传2号. 与已知矛盾，所以0<1<1，(2分) 因为x=x2,时显然成立 不妨设x<x2,令m=x2-x,由0<：<x<1得0<x<1-m<1,0<m<1 f(x)-f(xsx-x,台f(x)-f(x+m≤m2台-m≤f(x)-f(x+m)≤m, 设F(x)=f(x)-f(x+m),(0<x<1-m), 所以F'(x)=f'(x)-f'(x+m)=lnx-ln(x+m)<0, 所以F(x)在(0,1-m)上单调递减，(3分) 所以F(x)>F1-m)>(1-m)-1=-m>-m, 因为F(x)=xlnx-(x+mn(x+m)=xln方-mln(x+m)<-mn(x+m<-mnm, x+m 设G()=血x+r,0<x<),所以G=1+-1x 当G()=0时，x=1-2)7, 所以G(x)在(0，x)上单调递减，在(x,上单调递增，(2分) 则Gn0-)+1,当Gx)<0不合题意， 6/7 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当0<元≤1-时，G(x,)≥0， 所以G(m)≥Gx)≥0，即-mlnm≤m2, 即F(x)<-mlnm≤m,符合题意， 故元的取值范围为0<元≤1-1.(2分) e 717 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】 故选：D. 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解】因为，即， 可得，所以. 3．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解】圆的圆心为，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 反之，当时，直线与圆相切， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C 4．尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】由题设有，， 故即， 故选：C. 5．若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】因为，，由可得：， 以向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 6．已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ） A．5 B．5或6 C．10 D．9或10 【答案】D 【分析】因式分解得到，故当时，；当时，，当时，，从而得到答案 【详解】， 当时，；当时，，当时，， 故当或10时，取得最小值. 故选：D 7．已知分别是双曲线的左､右焦点，为左顶点，是双曲线在第四象限上一点，的斜率为，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解】由题意，设， 由的斜率为得，又，所以， 所以，解得，则， 代入双曲线方程得，结合， 化简得， 有，即，而， 构造， 则，其开口向上，且对称轴为， 故当时，，所以在上单调递增，所以， 所以方程无解，所以. 故选：A 8．已知函数，若，则方程在的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解】由， 可得． 设，则方程在的根的个数等于方程在上的根的个数． 因为函数与函数都为增函数， 所以函数在单调递增． 则可推得，即方程， 依题即判断方程在的根的个数． 由于时，， 令，因为函数，在都单调递增， 所以函数在单调递增， 所以，即当时，方程在只有1个根． 所以方程在的根的个数为1， 即方程在的根的个数为1． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，且，则 【答案】BCD 【解】对于A，因为随机变量，则，所以，因为，所以，故A错误； 对于B，因为随机变量，则， 所以，， 根据正态分布曲线的对称性可知：，故B正确； 对于C，因为随机变量，所以， 又因为，所以，则有，故C正确； 对于D，由，则，故D正确； 故选：BCD. 10．已知如图是函数，的部分图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．在单调递增 C．的图象关于中心对称D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【答案】BD 【解】：由题意可得，即，而，可得， 又因为，即， 可得，，可得，， 又因为，且，即，即， 可得，所以， A中，函数的最小正周期，所以A不正确； B中，因为，可得，所以函数在上是单调递增，所以B正确； C中，因为，，所以不是函数的对称中心，所以C不正确； D中，将向左平移个单位后可得，可得为偶函数，所以D正确． 故选：BD 11．设正方体的棱长为，点、分别为棱、上的动点（含端点），且，则下列说法正确的是（    ）    A．三棱锥的体积有最大值B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球的体积有最大值 【答案】ABD 【解】对于A选项，因为，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，等号成立，则， 故，即三棱锥的体积有最大值，A对； 对于B选项，将三棱锥补成长方体，    设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，故三棱锥的外接球的体积为为定值，B对； 对于C选项，作正方体，如下图所示：    设平面交线段于点，连接、， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，同理可得， 故四边形为平行四边形， 因为，，由等角定理结合图形可得， 又因为，，故，则， 设，，则， 不是定值， 因为，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故不为定值，C错； 对于D选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设，其中，则、、、， 设三棱锥的外接球球心为，设球的半径为， 则，解得， 设，其中， 则函数在上连续，由闭区间上的连续函数有最值可知有最大值，D对. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中的系数为6，则实数的值为__________. 【答案】3 【解】由有：，所以的系数为， 所以， 故答案为：3. 13．一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________. 【答案】 【解】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为， 第二次没有摸到红球的概率为，第三次没有摸到红球的概率为， 所以前三次均未摸到红球的概率为， 所以前三次至少有一次摸到红球的概率为. 故答案为：. 14．如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为________. 【答案】/0.2 【解】以A为原点，AB，AD分别为x，y轴，建立直角坐标系， 则，，，， 设，， ∴，，，， ∴， 当时，最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）中，角对应的边分别为， (1)求角； (2)若点在边上，且，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解】（1）由三角形内角和定理可知：， 再由，利用正弦定理边化角得： ， 因为，所以有，则； （2） 由，在中，可得， 再由正弦定理得：， 再由余弦定理可得：， 即， 解得或， 因为，所以为钝角， 故，所以的面积. 16．（15分）如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点. (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解】（1）如图，取的中点，连接. 由为的中点，为的中点，，且， 可得，. 所以四边形为平行四边形，故. 又平面，平面，所以平面. （2）取的中点，连接. 由为等边三角形，得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 由，，得四边形是平行四边形 于是，又，则，直线两两互相垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．（15分）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解】（1）由题可知，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以，即，所以 （2）由（1）知，，则， 则， 令，整理得， 因为函数在上单调递增，在上单调递减 所以函数在上单调递增 所以易得在上单调递增. 且， 所以，的最大值为． 18．（17分）已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； (3)过点作，垂足为，求的最大值． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【解】（1）由已知得，即，得， 故， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可得， 由题意知均存在且不等于0， 则设直线的方程为：， 则． 设直线方程为： 与椭圆方程联立得：，， 所以，因为， 故，因此． 同理． 斜率为 ， 故. （3）由（2）知：直线的方程为：， 即 所以直线过定点． 因为，由几何意义知：， 故的最大值为．    19．（17分）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若，且，求的取值范围． 【答案】(1);(2)证明见解析;(3). 【解】（1）因为，所以切线斜率， 因为，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）由， 设，则时，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，即，所以； （3）结合的非正数次幂没有意义， 则对于任意的，都能满足均有意义，则， 若，取，， ， 与已知矛盾，所以， 因为，时显然成立 不妨设，令，由得， ， 设，， 所以， 所以在上单调递减， 所以， 因为， 设，，所以， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，当不合题意， 当时，， 所以，即， 即，符合题意， 故的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．1 B．2 C． D． 3．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：.若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为，2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为，则（    ） A． B． C． D． 5．若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ） A．5 B．5或6 C．10 D．9或10 7．已知分别是双曲线的左､右焦点，为左顶点，是双曲线在第四象限上一点，的斜率为，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．已知函数，若，则方程在的根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量，且，则 10．已知如图是函数，的部分图象，则（    ） A．的最小正周期为 B．在单调递增 C．的图象关于中心对称D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 11．设正方体的棱长为，点、分别为棱、上的动点（含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积有最大值B．三棱锥的外接球的体积为定值 C．三棱锥的体积为定值D．三棱锥的外接球的体积有最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若的展开式中的系数为6，则实数的值为__________. 13．一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________. 14．如图，在矩形中，，E，F分别是矩形的边和的中点，N是线段上的一动点，，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）中，角对应的边分别为， (1)求角；(2)若点在边上，且，求的面积. 16．（15分）如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点. (1)若为棱的中点，证明：平面； (2)若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 18．（17分）已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； (3)过点作，垂足为，求的最大值． 19．（17分）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求证：； (3)若，且，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $