精品解析：四川省泸州市古蔺县蔺阳中学校2025-2026学年高一下学期期末模拟数学试题

高2025级高一下模拟卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 3. 下列函数是幂函数，且在定义域内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则A是B的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 7. 已知，，则 A. B. C. D. 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 与向量平行的一个单位向量为 C. 若与所成角为锐角，则 D. 在上的投影向量是 10. 如图，在长方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点共面 B. 直线，直线，直线交于一点 C. 直线与直线所成的角为 D. 直线与平面所成的角的正切值为 11. 函数（常数，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向左平移个单位长度所得函数是偶函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 已知向量与向量的夹角为，，，则的值是______． 13. 在直三棱柱中，，，四棱锥体积为，则直三棱柱的外接球的体积为____ 14. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，写出“使满足，的唯一”的a的一个取值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且向量与共线． （1）求实数的值； （2）求向量在向量上的投影向量． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B． （2）已知点D在边上，且，，，求的长． 17. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数在上有零点，求实数a的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数的图象关于原点对称. （1）求实数的值； （2）判断的单调性并用定义证明； （3）设函数（且）在上的最小值为1，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级高一下模拟卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A的范围，再利用交集的定义即可求得结果. 【详解】因为，，故， 故选：D 2. 一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算原矩形的面积，再结合斜二测画法的面积比例关系求出直观图的面积． 【详解】原图形面积为， 根据斜二测画法的规则：平行于轴的线段长度保持不变，平行于轴的线段长度变为原来的，且坐标系夹角变为， 因此直观图为平行四边形，其面积满足， 所以． 3. 下列函数是幂函数，且在定义域内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数，指数函数的概念及性质逐项判断即可. 【详解】对于A，是幂函数，定义域为，在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，，定义域是，且在上单调递增，故B正确； 对于C，不是幂函数，故C错误； 对于D，是指数函数，不是幂函数，故D错误. 故选：B. 4. 若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求出复数，从而可求出其共轭复数 【详解】由，得， 所以， 故选：A 5. 设，，则A是B的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B，再根据充分条件与必要条件的定义判断． 【详解】， 显然B是A的真子集，则A是B的必要不充分条件． 故选：B． 6. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】设圆台较小底面半径为，较大底面半径为，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍， 所以，得到. 因为圆台的母线长为3，侧面积为，所以， 将代入得，解得. 所以圆台较小底面的半径为3. 7. 已知，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由及，故．故选D． 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量几何运算，再根据条件即可得出结果. 【详解】因为，所以， 故选：C. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 与向量平行的一个单位向量为 C. 若与所成角为锐角，则 D. 在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A ，先计算与的坐标，再分别求模长，通过模长相等验证结论；对B，先求的模长，再根据单位向量公式计算与平行的单位向量，验证选项给出的向量是否符合；对C，先写出与的坐标，利用向量夹角为锐角的充要条件，列不等式求解的取值范围，验证选项结论；对D，根据投影向量公式，代入数量积与模长计算，验证投影向量是否为. 【详解】对于A：，​； ，​， 故，A正确； 对于B：​， 与平行的单位向量为或， 选项给出的是其中一个，B正确； 对于C：，，因为两向量夹角为锐角， 所以，由得，得； 由，得，解得，所以，C错误； 对于D：在上的投影向量为， 因为，， 因此投影向量为，D正确. 10. 如图，在长方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点共面 B. 直线，直线，直线交于一点 C. 直线与直线所成的角为 D. 直线与平面所成的角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，推出，可知A正确；对于B，推出的交点在上，可得B正确；对于C，根据，求出，可得C错误；对于D，根据平面，得直线与平面所成的角为，计算可得D正确. 【详解】对于A，连，，，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为分别为棱，的中点，所以， 所以，所以四点共面，故A正确； 对于B，由A知，四边形为梯形，延长，必交于一点，设为， 因为，平面，所以平面， 同理得平面，又平面平面，所以， 所以直线，直线，直线交于一点，故B正确； 对于C，因为，所以直线与直线所成的角为，因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面，所以直线与平面所成的角为， 由C知，，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数（常数，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向左平移个单位长度所得函数是偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可. 【详解】由函数的图象可知，， 最小正周期满足，即，则， 根据“五点法作图”，由可得，，即 所以，， 所以， 选项A：，错误； 选项B：，正确； 选项C：当时，，因此函数在上单调递增，正确； 选项D：，因此将函数的图象向左平移个单位长度所得函数不是偶函数，错误； 故选：BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 已知向量与向量的夹角为，，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为平面向量的数量积可求出结果. 【详解】 故答案为：. 13. 在直三棱柱中，，，四棱锥体积为，则直三棱柱的外接球的体积为____ 【答案】 【解析】 【分析】证明线面垂直，由四棱锥体积求出，作出辅助线，找到球心的位置，得到半径，求出体积. 【详解】因为三棱柱为直三棱柱，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以⊥平面， 故，解得， 因为，所以球心在平面的投影位于的中点， 如图，球心位于与的交点处， 其中， 故外接球半径， 故三棱柱的外接球的体积为. 故答案为： 14. 已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，写出“使满足，的唯一”的a的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一，满足或即可） 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求解. 【详解】∵，， ∴当或，即或时，唯一； 故答案为：（答案不唯一，满足或即可） 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，，且向量与共线． （1）求实数的值； （2）求向量在向量上的投影向量． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示列式求解； （2）根据投影向量的定义求解. 【小问1详解】 ∵，，∴， ∵向量与共线，∴，解得. 【小问2详解】 ∵，，， ∴向量在向量上的投影向量． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求B． （2）已知点D在边上，且，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再利用化简，从而求出角； （2）在中由余弦定理建立等式，再利用得到另一等式，进而求出. 【小问1详解】 因为，即 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 因为，则，所以， 即，故， 又，所以，故. 【小问2详解】 由题意设，，由（1）得， 在中由余弦定理可得，， 因为，所以， 即， 联立①②，解得（负值舍去），所以. 17. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数在上有零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式降幂，由两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后可求周期； （2）将题设转化为在上有解，确定在上的单调性，即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 因为 所以 【小问2详解】 函数在上有零点，可转化为在上有解， 由（1）知，因为时，所以， 由图像与性质知，当，即时，单调递减， 当，即时，单调递增， 又，，， 故函数在上有零点时，则. 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取点为棱的中点，又因为点为棱的中点，所以，且， 又因为，且，所以 则四边形是平行四边形，即， 又因为平面，平面，所以平面； （2） 存在点为的中点，满足平面. 因为点为的中点，点为棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 再由平面，，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形截面，由线线平行即可证明线面平行； （2）要证明动直线和另一个平面平行，只需要证明动直线所在的平面与另一个平面平行即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数的图象关于原点对称. （1）求实数的值； （2）判断的单调性并用定义证明； （3）设函数（且）在上的最小值为1，求的值. 【答案】（1） （2） 由（1）可知，. 可知函数在定义域内单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为在定义域内单调递增，则，， ，则， 即， 故函数在定义域内单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数图象关于原点对称特点列出方程，求解即得； （2）先直接判断函数的单调性，再根据函数单调性定义证明即可； （3）设，先根据在上有意义，将其转化为当时，恒成立问题，从中求得的范围，再将的范围分成和两段，讨论复合函数的单调性得到最小值，建立方程并求解即得. 【小问1详解】 因为函数的图象关于原点对称， 则， 即，整理得， 又因为，则， 所以，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，由（2）可知在内单调递增， 且， 则，则， 于是， 由题意可知：当时，恒成立， 当时，则，符合题意，此时； 当时，当时恒成立， 因，当且仅当，即时等号成立， 故且； 综上可得：且. ① 若，因图象开口向上， 对称轴为，因， 可知当时，取到最大值， 且在定义域内单调递减， 则，可得，解得（舍去）； ② 若，因图象开口向上， 对称轴， 可知当时，取到最小值， 且在定义域内单调递增， 则，可得，解得或（舍去）； 综上所述，的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $