福建省学业水平合格性考试数学复习讲义第十九讲（概率与统计）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第十九讲 概率与统计 一、平均数与方差及第百分位数 若一组数据为“”，则 （1）平均数为； （2）方差为； 意义：平均数用来衡量这组数据的平均水平，方差用来衡量这组数据的稳定（或离散）程度. （3）第百分位数： ①若为整数，则取“第百分位数”为； ②若为非整数，则记为比大的第一个整数，取“第百分位数”为. 二、事件的关系： 一个随机试验每个可能结果称为这个试验的样本点，所有的样本点构成的集合称为随机试验的样本空间，随机事件记为大写字母,，则, （1）互斥事件：若，则称事件与为互斥事件； （2）对立事件：若，且，则称事件与为对立事件. 注：两个事件若对立，则它们一定互斥. 三、古典概型.计算公式： ＝即. 四、两个事件与相互独立同时发生的概率： （1）事件“”称为事件与的积事件或交事件，即事件与事件同时发生； （2）若事件与相互独立，则 五、频率分布直方图： （1）频率与频数：； （2）每一组的频率=每一块的面积，所有组的频率和为1； （3）用直方图估计“众数，中位数，平均数”. 【例题】 例1．太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时）的茎叶图如图，若其众数为，中位数为，则 A．144 B．141 C．142.5 D．11.5 【答案】C 【解析】由茎叶图可知数据为：53，53，54，55，56，64，67，68，77，77，77，78， 数据的中位数为，众数为， 所以， 故选C． 例2.泉州市2022年5月份前十天最高气温（单位：℃）分别为15，19，21，22，25，26，28，30，31，34，则这十天最高气温的第50百分位数（中位数）为25.5 ，第60百分位数为 27 ，第75百分位数为 30 . 【解析】十天温度的数据个数，记这十个数据从小到大为， 对于第50百分位数，50%=5，所以第50百分位数为； 对于第60百分位数，60%=6，所以第60百分位数为； 对于第75百分位数，75%=7.5，所以第75百分位数为. 例3.填空： 做一个随机试验“抛掷1枚质地均匀的骰子一次”，则共有 6 个等可能的样本点，这些样本点构成的集合称为样本空间 ，则 6 ； （1）记事件为“出现的点数小于3”，则事件含有 2 个样本点，即 2 ,事件发生的概率记为，则 ； 事件的对立事件为“ 出现的点数不小于3 ”，记为 ，写出事件的一个互斥且不对立的事件 “出现的点数大于3” . 例4．某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生（满分150分，且抽取的学生成绩都在，内）的成绩并制成频率分布直方图如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法从成绩在，和，的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率． 【答案】（1）123.6；（2）． 【解析】（1）由，解得， 故平均值为； （2）由直方图知，，，两组的频率分别为0.32，0.16， 按分层抽样的方法从成绩不低于125得同学中抽取6名， 则，，，分别抽取4人，2人， 分别记为，，，，，， 随机抽取的2名的总抽法有，，，共有15种， 其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有， ，，，，，，，有7种， 故两名同学数学成绩落在同一组得概率为． 【作业】 一、选择题 1. 从某年级1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是(　C　) A.1 000名学生是总体 B.每个被抽查的学生是个体 C.抽查的125名学生的体重是一个样本 D.抽取的125名学生的体重是样本容量 3．有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ C ） A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.恰有1次中靶 4．从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ D ） A.“至少一个白球”和“都是红球” B.“至少一个白球”和“至少一个红球” C.“恰有一个白球”和“恰有一个红球” D.“恰有一个白球”和“都是红球” 5.某选择题有四个选项，必须从中选出两个，两个全对才得分，若随机作答，则得分的概率是（ D ） A． B． C． D． 9．（多选题）一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是( ACD ) A．任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B．每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C．每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D．每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 【答案】ACD 【解析】记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品. A选项,样本空间, “恰有一件次品”的样本点为,,, 因此其概率，A正确； B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间, 因此,B错误； C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确; D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间,因此,D正确. 故选：ACD. 12．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为_0.2___． 【答案】0.2 【解析】∵A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2. 解答题 13．某选拔测试包含三个不同项目，至少两个科目为优秀才能通过测试.设某学员三个科目优秀的概率分别为，假设每科测试的结果都是相互独立的，则三科都优秀的概率为 ，该学员通过测试的概率是 . 三、解答题 14.在2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取50个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）． （1）求学习时长在，的学生人数； （2）求这50个学生学习时长的众数，中位数平均数； （3）估计这50个学生学习时长的75%分位数． 【答案】（1）25；（2）10, 9.4, 9.2；（3）10.2. 【解析】由频率分布直方图的性质，得： ， 解得， 学习时长在，的频率为， 学习时长在，的频数为； （2）由图知，众数为10， 设中位数为，平均数为， 因为 所以， 由，解得， 平均数， 综上，50个学生学习时长的众数，中位数，平均数分别约为10, 9.4, 9.2； （3）设这50个学生学习时长的75%分位数为， 因为， ， 所以，由， 所以这50个学生学习时长的75%分位数约为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省学业水平合格性考试数学复习 第十九讲 概率与统计 【知识点】 一、平均数与方差及第百分位数 若一组数据为“”，则 （1）平均数为； （2）方差为； 意义：平均数用来衡量这组数据的平均水平，方差用来衡量这组数据的稳定（或离散）程度，方程越大数据越不稳定（越离散）. （3）第百分位数： ①若为整数，则取“第百分位数”为； ②若为非整数，则记为比大的第一个整数，取“第百分位数”为. 二、事件的关系： 一个随机试验每个可能结果称为这个试验的样本点，所有的样本点构成的集合称为随机试验的样本空间，随机事件记为大写字母,，则, （1）互斥事件：若，则称事件与为互斥事件； （2）对立事件：若，且，则称事件与为对立事件. 注：两个事件若对立，则它们一定互斥. 三、古典概型.计算公式： ＝即. 四、两个事件与相互独立同时发生的概率： （1）事件“”称为事件与的积事件或交事件，即事件与事件同时发生； （2）若事件与相互独立，则 五、频率分布直方图： （1）频率与频数：； （2）每一组的频率=每一块的面积，所有组的频率和为1； （3）用直方图估计“众数，中位数，平均数”. 【例题】 例1．太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量（单位：亿千瓦时）的茎叶图如图，若其众数为，中位数为，则 A．144 B．141 C．142.5 D．11.5 例2.泉州市2022年5月份前十天最高气温（单位：℃）分别为15，19，21，22，25，26，28，30，31，34，则这十天最高气温的第50百分位数（中位数）为 ，第60百分位数为 ，第75百分位数为 . 例3.填空： 做一个随机试验“抛掷1枚质地均匀的骰子一次”，则共有 个等可能的样本点，这些样本点构成的集合称为样本空间 ，则 ； （1）记事件为“出现的点数小于3”，则事件含有 2 个样本点，即 ,事件发生的概率记为，则 ； 事件的对立事件为“ ”，记为 ，写出事件的一个互斥且不对立的事件 . 例4．某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生（满分150分，且抽取的学生成绩都在，内）的成绩并制成频率分布直方图如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；（同一组中的数据以该组区间的中点值作代表）； （2）用分层抽样的方法从成绩在，和，的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率． 【作业】 一、选择题 1. 从某年级1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是(　　) A.1 000名学生是总体 B.每个被抽查的学生是个体 C.抽查的125名学生的体重是一个样本 D.抽取的125名学生的体重是样本容量 2．已知样本数据1，2，，3的平均数为2，则样本方差是（ ） A． B． C． D． 3．有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.恰有1次中靶 4．从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ） A.“至少一个白球”和“都是红球” B.“至少一个白球”和“至少一个红球” C.“恰有一个白球”和“恰有一个红球” D.“恰有一个白球”和“都是红球” 5.某选择题有四个选项，必须从中选出两个，两个全对才得分，若随机作答，则得分的概率是（ ） A． B． C． D． 6. 从1、2、3、4、5、6这6个数中，任取3个不同的数，其和为偶数的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 7．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为(　 　) A. B. C. D. 8．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ） A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13 9．（多选题）一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是( ) A．任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B．每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C．每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D．每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 二、填空题 10．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90的样本，则应在甲校抽取学生 名． 11.泉州市2022年5月份前十天最高气温（单位：℃）分别为15，19，21，22，11，26，28，30，31，34，则这十天最高气温的第50百分位数（中位数）为 ，第60百分位数为 ，第75百分位数为 . 12．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________． 13．某选拔测试包含三个不同项目，至少两个科目为优秀才能通过测试.设某学员三个科目优秀的概率分别为，假设每科测试的结果都是相互独立的，则三科都优秀的概率为 ，该学员通过测试的概率是 . 三、解答题 14.在2020年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取50个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）． （1）求学习时长在，的学生人数； （2）求这50个学生学习时长的众数，中位数平均数； （3）估计这50个学生学习时长的75%分位数． 学科网（北京）股份有限公司 $