08福建省学业水平合格性考试数学复习讲义第八讲（函数的单调性与奇偶性）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第八讲 函数的单调性与奇偶性 一、函数的单调性 1.函数的单调性定义 增函数 减函数 定义 ∀x1，x2∈D（其中DI，I为f(x)的定义域） 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注意： （1）“任意”即函数图像中要“处处”：对于分段函数，若是增函数，必须处处升高； （2）区分两种表述： ①在区间上是增函数（可以是局部）； ②的递增区间是（必须是全部）； 二、函数的奇偶性 1.定义 （1）偶函数定义：对于任意（是函数），若，则称是偶函数，偶函数的图像关于轴轴对称； （2）奇函数定义：对于任意（是函数），若，则称是奇函数，奇函数的图像关于原点中心对称. 注：图像特征：偶函数图像关于轴轴对称，奇函数图像关于中心对称. 特别的，若奇函数自变量可取零，则，即图像过原点. 2.常见函数的奇偶性 函数名称 解析式 奇偶性 图像 一次函数 （） 二次函数 （） 反比例函数 （） 指数函数 （，且） 对数函数 （，且） 胜利函数 对勾函数 （） 3.判断奇偶函数的方法 （1）定义法：①先判断定义域；②再判断是否有. （2）图像法：是否整条函数图像“处处”关于轴轴对称或关于原点中心对称. 【例题】 例1．对于函数，以下描述正确的是（ ） A．在上是增函数 B．在上是增函数 C．的减区间是 D．的减区间是 例2.下列函数中，满足“，当，都有”的是(　 　) A.      B.     C.       D. 例3．函数 （1）若在上是增函数，则的取值范围是 ； （2）若在上是单调函数，则的取值范围是 . 例4．给出以下函数： ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧；⑨. （1）是奇函数的是 ； （2）是偶函数的是 ； （3）是非奇非偶函数的是 . 例4．判断下列函数的奇偶性． （1）； （2）. 例5．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则 ，则当时， . 例6．为偶函数，则 ，___________. 【作业】 一、选择题 1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　 　) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 2．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有( 　) A．a≥ B．a≤ C．a>－ D．a< 3．函数在下列区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间是减函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是增函数又是奇函数的是( ) A．y=lnx B．y= C．y=3x D．y=－x3 6．下列函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D．， 7．下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ） A． B． C． D． 8. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 9．已知是上的奇函数,则的值为 ( ) A．1 　　 　B．-1 　 C．0 　 D．不确定 10．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 二、填空题 11．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________． 12．函数的最大值为________． 13．已知定义在上的奇函数，当时，，则_____． 14．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝______. 15．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 16．给出以下函数： ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧；⑨. （1）是奇函数的是 ； （2）是偶函数的是 ； （3）是非奇非偶函数的是 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省学业水平合格性考试数学复习 第八讲 函数的单调性与奇偶性 一、函数的单调性 1.函数的单调性定义 增函数 减函数 定义 ∀x1，x2∈D（其中DI，I为f(x)的定义域） 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注意： （1）“任意”即函数图像中要“处处”：对于分段函数，若是增函数，必须处处升高； （2）区分两种表述： ①在区间上是增函数（可以是局部）； ②的递增区间是（必须是全部）； 二、函数的奇偶性 1.定义 （1）偶函数定义：对于任意（是函数），若，则称是偶函数，偶函数的图像关于轴轴对称； （2）奇函数定义：对于任意（是函数），若，则称是奇函数，奇函数的图像关于原点中心对称. 注：图像特征：偶函数图像关于轴轴对称，奇函数图像关于中心对称. 特别的，若奇函数自变量可取零，则，即图像过原点. 2.常见函数的奇偶性 函数名称 解析式 奇偶性 图像 一次函数 （） 当时，是奇函数； 当时，是非奇非偶函数； 二次函数 （） 当时，是偶函数； 当时，是非奇非偶函数； 反比例函数 （） 奇函数 指数函数 （，且） 非奇非偶函数 对数函数 （，且） 非奇非偶函数 胜利函数 偶函数 对勾函数 （） 奇函数 3.判断奇偶函数的方法 （1）定义法：①先判断定义域；②再判断是否有. （2）图像法：是否整条函数图像“处处”关于轴轴对称或关于原点中心对称. 【例题】 例1．对于函数，以下描述正确的是（ D ） A．在上是增函数 B．在上是增函数 C．的减区间是 D．的减区间是 例2.下列函数中，满足“，当，都有”的是(　 D　) A.     B.     C.      D. 例3．函数 （1）若在上是增函数，则的取值范围是 ； （2）若在上是单调函数，则的取值范围是 或 . 例4．给出以下函数： ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧；⑨. （1）是奇函数的是 ① ② ⑥ ； （2）是偶函数的是 ③ ⑦ ⑨ ； （3）是非奇非偶函数的是 ④⑤⑧ . 例4．判断下列函数的奇偶性． （1）；（2）. 例5．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则 -8 ，则当时， . 【答案】 【详解】 时，，是奇函数， 此时 故答案为： 例6．为偶函数，则 0 ，__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据偶函数判断参数值，进而可得函数值. 【详解】 由为偶函数， 得， ， 不恒为， ， ， ， 故答案为：. 【练习】 一、选择题 1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　 　) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：如图，显而易见[－3,1]为单调递增区间，故选C． 2．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有( 　) A．a≥ B．a≤ C．a>－ D．a< 解析：选D　∵f(x)在R上是减函数，故2a－1<0，即a<. 3．函数在下列区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 的对称轴为，开口向上的抛物线， 所以在上单调递减， 由选项可知， 所以在上单调递减， 故选：B. 4．已知函数在区间是减函数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以. 故选：A 5．下列函数中，既是增函数又是奇函数的是( C ) A．y=lnx B．y= C．y=3x D．y=－x3 6．下列函数是奇函数的是（ ） A． B． C． D．， 【答案】A 【详解】 对于A：的定义域为. 因为，所以为奇函数.故A正确； 对于B： 定义域为R，因为所以，所以不是奇函数.故B错误. 对于C：定义域为R，因为所以，所以不是奇函数.故D错误. 对于D：定义域为，不关于原点对称，所以，不是奇函数.故D错误. 故选：A 7．下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 对于A：是指数函数，为非奇非偶函数，A错误； 对于B：在定义域R上是减函数，又，所以函数在定义域上是奇函数，B正确； 对于C：在定义域上没有单调性，C错误； 对于D：是对数函数，是非奇非偶函数，D错误. 故选：B 8. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ A ） A． B． C． D． 9．已知是上的奇函数,则的值为 ( C ) A．1 　　 　B．-1 　 C．0 　 D．不确定 10．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【详解】 解：因为函数为R上的奇函数，当时，， 所以. 故选：C. 11．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________． 解析：∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．又∵已知f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴1－a≥4，即a≤－3.∴所求实数a的取值范围是(－∞，－3]． 答案：(－∞，－3] ． 11．函数的最大值为________． 【答案】1 【详解】 解：函数在上是单调减函数，故的最大值为， 故答案为：1． 12．已知定义在上的奇函数，当时，，则_____． 【答案】 【详解】 因为是定义在上的奇函数， 可得，解得：， 又由当时，， 所以， 故答案为：. 13．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝___－1_____. 14．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【解析】 【分析】 根据给定条件按与讨论的单调性作答. 【详解】 因函数在区间上是增函数，则当时，在R上单调递增，即， 当时，若，有在上单调递增，，则有，解得， 若，有在上单调递减，在上不可能递增， 所以实数的取值范围是. 三、解答题 15．给出以下函数： ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧；⑨. （1）是奇函数的是 ①⑧ ； （2）是偶函数的是 ③⑤⑦⑨ ； （3）是非奇非偶函数的是 ②④⑥ . 学科网（北京）股份有限公司 $