2026年福建省学业水平合格性考试数学复习第十七讲（几何体的表面积与体积）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第十七讲 空间几何体的体积与表面积 【知识点】 一、简单的几何体 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3.体积与表面积 （1）柱的体积：（棱柱和圆柱,为垂线段）； （2）锥的体积：（棱锥和圆锥，为垂线段）； （3）台的体积： （4）球的体积：； （5）几何体的表面积=各面面积之和； （6）球的表面积： 4. 其他公式： （1）圆的周长公式：； （2）扇形的弧长公式：（为扇形圆心角，必须是弧度制的角）； （3）圆的面积公式：； （4）扇形的面积公式：（为扇形的弧长，为扇形的半径）. （5）扇环面积公式： 【例题】 例1．观察下图所示几何体，其中判断正确的是(　C　) A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 ( A B C )例2.如图，直角三角形，，， （1）求以为轴旋转一周所得的圆锥的体积和表面积的值； （2）求以为轴旋转一周所得的圆锥的体积和表面积的值； 答案：（1），；（2），； 例3.平面截球的球面所得圆的半径为1,球心到平面的距离为,则此球的体积为( B ) A. B. C. D. 解：由公式，依题意，， 所以球的半径 所以球的体积 故选B 例4.长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是(　A 　) A．12π　　　B． 18π　　　C．36π　　　D． 6π 解：因为长方体的体对角线长等于外接球的直径 所以，即 所以， 所以球的体积 故选A. 例5.一个圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为2，则这个圆台的体积为 ，表面积为 . 解：取圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，如图作辅助线AEBC于E，DFBC于F ( B A C D E F )则易得EF=AD=1，CF=(BC-AD)2=， 在△CDF中，由勾股定理， 即等腰梯形ABCD的高，即圆台的高 所以圆台的体积公式 . 【练习】 一、选择题 1．下列几何体是台体的是(　 D　) 2．若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为（ ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【详解】 设四棱锥的高为h，则由锥体的体积公式得：×3h=9，解得h=9， 所以所求高为9. 故选：D 3．已知圆锥的母线长为4，底面周长为，则该圆锥的体积为（ B ） A. B. C. D. 4．一个圆锥的轴截面是个边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为（ A ） A. B. C. D. 5．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ C ） A． B． C． D． 6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比（ A ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 7．（多选题）下列说法正确的是（ AD ） A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 【答案】AD 【解析】A正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面. 故选：AD. 二、填空题 8.（2017全国Ⅱ文15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 . 9．某金字塔形几何体的底面边长为，高为1，则它的表面积为 . 10．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为　　，圆柱的表面积与球的表面积之比为　　． 【答案】． 【解析】由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R， 圆柱的高h＝2R，则V球＝πR3， V柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．∴．S球＝4πR2， S柱＝2πr2+2πrh＝2πR2+2πR•2R＝6πR2． ∴． 所以． 三、解答题 11．如图为底面半径为1，高为2的圆柱 （1）求这个圆柱的表面积和体积 （2）圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 解：（1）圆柱的表面积， 圆柱的体积； （2） 如右图，圆锥的侧面展开图为矩形 题意等价于蚂蚁从点在矩形面上爬到点， 所以最短距离为 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省学业水平合格性考试数学复习 第十七讲 空间几何体的体积与表面积 【知识点】 一、简单的几何体 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3.体积与表面积 （1）柱的体积：（棱柱和圆柱,为垂线段）； （2）锥的体积：（棱锥和圆锥，为垂线段）； （3）台的体积： （4）球的体积：； （5）几何体的表面积=各面面积之和； （6）球的表面积： 4. 其他公式： （1）圆的周长公式：； （2）扇形的弧长公式：（为扇形圆心角，必须是弧度制的角）； （3）圆的面积公式：； （4）扇形的面积公式：（为扇形的弧长，为扇形的半径）. （5）扇环面积公式： 【例题】 例1．观察下图所示几何体，其中判断正确的是(　 　) A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 ( A B C )例2.如图，直角三角形，，， （1）求以为轴旋转一周所得的圆锥的体积和表面积的值； （2）求以为轴旋转一周所得的圆锥的体积和表面积的值； 例3.平面截球的球面所得圆的半径为1,球心到平面的距离为,则此球的体积为( ) A. B. C. D. 例4.长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是(　 　) A．12π　　　B． 18π　　　 C．36π　　　D． 6π 例5.一个圆台的上底半径为1，下底半径为2，母线长为2，则这个圆台的体积为 ，表面积为 . 【作业】 一、选择题 1．下列几何体是台体的是(　 　) 2．若一个四棱锥的底面的面积为3，体积为9，则其高为（ ） A． B．1 C．3 D．9 3．已知圆锥的母线长为4，底面周长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4．一个圆锥的轴截面是个边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A． B． C． D． 6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比（ ） A． B． C． D． 7．（多选题）下列说法正确的是（ ） A．棱柱的侧棱长都相等 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱台的侧面是等腰梯形 D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面 二、填空题 8.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 . 9．某金字塔形几何体的底面边长为，高为1，则它的表面积为 . 10．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为　　，圆柱的表面积与球的表面积之比为　　 ． 三、解答题 11．如图为底面半径为1，高为2的圆柱 （1）求这个圆柱的表面积和体积 （2）圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $