2026年福建省学业水平合格性考试数学复习第十二讲（向量的坐标运算）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第十二讲 向量的坐标运算 【知识点及例题】 一、平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 二、向量的坐标 1.定义：若（其中为单位正交基底，的方向同轴正方向，的方向与轴正方向同），则记 2.向量的坐标运算：已知向量，，则 ； ； ； ； ； . 两向量的夹角公式： . 特别的：若∥ ； . 例1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，起点和终点均在格点的向量a，b，c （1）求数量积： 0 ， 2 ， 13 ； （2）若，则x＋y＝________. 解：∵，，， （1）， ； （2）由，得 ∴，解得，. 例2.已知，. （1）求：，，； （2）求：，. 解：（1），，； （2），. 例3.已知, （1）求的坐标及其模； （2）求与同向的单位向量的坐标； 解：（1），； （2）所求为. 例4.平面向量，，，若，∥， （1）求的值； （2）求与的夹角． 解：（1），， ∵，∴，即，即①， ∵∥，∴，即②， 由①②解得，. （2）由（1）得， ，所以与的夹角为. 例5.(2019·天津·理·第14题) 在四边形中，//，，，，点在线段的延长线上，且，则 ． 【答案】答案： 解析：以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系， 则，因为，所以， 又，可得，又，所以，所以， ． 一、选择题 1.若向量，，则（ C ） A.(1，2) B.(1，-2) C.(-1，2) D .(-1，-2) 2.已知平面向量，，则 （ C ） A、-1 B、1 C、-3 D、3 3．以下四组向量能作为基底的是（ B ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，与共线，不能作为基底； 对于，与不共线，能作为基底； 对于，与共线，不能作为基底； 对于，与共线，不能作为基底，故选B. 4. 已知，，若∥，则等于（ A ） A. 6 B. C. 2 D. －2 5.向量，若，则（ D ） A．2 B. 3 C. 4 D.5 6.已知平面向量 且两向量夹角为，则（ D ） A． B. C. D. 7.（2011.3）已知平面向量，则与的夹角是（ C ） （A） （B） （C） （D） 8．(2019·全国Ⅱ·理·第3题) 已知，，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴,∴，解得， 即，则． 9．（多选题）已知向量，下列结论中正确的是（ACD  ） A．⊥ B．∥ C． D． 10.（多选题）如右图中的两点，则以下正确的是（ ABC ） A. B. C. D . 二、填空题 11.若点，，则的坐标为 . 12．(2021高考北京·第13题) 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________． 【答案】①． 0 ②． 3 解析：以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， ． 故答案为：0；3． 13．已知，，，且三点共线，则 . 【答案】 【解析】由题意，，，则，解得. 14.已知平面向量，, 则 . 15．设平面向量，，，若，则实数的值等于___． 16．已知向量，则_________. 17．(2020北京高考·第13题)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________． 【答案】(1)． (2)． 【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、，， 则点，，， 因此，，．故答案为：；． 三、解答题 18.已知向量，. （1）求与同向的单位向量的坐标； （2）向量与向量夹角的余弦值. 解：（1）， 所求为 （2）， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省学业水平合格性考试数学复习 第十二讲 向量的坐标运算 【知识点及例题】 一、平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量｛e1，e2｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 二、向量的坐标 1.定义：若（其中为单位正交基底，的方向同轴正方向，的方向与轴正方向同），则记 2.向量的坐标运算：已知向量，，则 ； ； ； ； ； . 两向量的夹角公式： . 特别的：若∥ ； . 例1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，起点和终点均在格点的向量a，b，c （1）求数量积： ， ， ； （2）若，则x＋y＝________. 例2.已知，. （1）求：，，； （2）求：，. 例3.已知, （1）求的坐标及其模； （2）求与同向的单位向量的坐标； 例4.平面向量，，，若，∥， （1）求的值； （2）求与的夹角． 例5.在四边形中，//，，，，点在线段的延长线上，且，则 ． 一、选择题 1.若向量，，则（ ） A.(1，2) B.(1，-2) C.(-1，2) D .(-1，-2) 2.已知平面向量，，则 （ ） A、-1 B、1 C、-3 D、3 3．以下四组向量能作为基底的是（ ） A． B． C． D． 4. 已知，，若∥，则等于（ ） A. 6 B. C. 2 D. －2 5.向量，若，则（ ） A．2 B. 3 C. 4 D.5 6.已知平面向量 且两向量夹角为，则（ ） A． B. C. D. 7.（2011.3）已知平面向量，则与的夹角是（ ） （A） （B） （C） （D） 8．已知，，，则(　　) A． B． C． D． 9．（多选题）已知向量，下列结论中正确的是（  ） A．⊥ B．∥ C． D． 10.（多选题）如右图中的两点，则以下正确的是（ ） A. B. C. D . 二、填空题 11.若点，，则的坐标为 . 12．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________． 13．已知，，，且三点共线，则 . 14.已知平面向量，, 则 . 15．设平面向量，，，若，则实数的值等于___． 16．已知向量，则_________. 17．(2020北京高考·第13题)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________． 三、解答题 18.已知向量，. （1）求与同向的单位向量的坐标； （2）向量与向量夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $