微专题02 反比例函数k的几何意义与面积综合 （专项训练）数学新教材华东师大版八年级下册

微专题02 反比例函数k的几何意义与面积综合 题型一 单一点到坐标轴的直角三角形面积求解 1.核心结论：反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴作垂线，垂足与原点构成的直角三角形面积； 2.直接利用结论，无需求点的坐标，已知可求面积，已知面积可求； 3.注意的正负由函数图象所在象限确定。 1．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是__________． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为坐标原点，是反比例函数的图象上任意两点，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设的面积为的面积为，则与之间的大小关系为：___________．（填“”“”或“”） 4．（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点．过点A作轴，垂足为B，点C是x轴上一点，连接，，则的面积为__________． 题型二 单一点到坐标轴的矩形面积求解 1.核心结论：反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴作垂线，所围成的矩形面积；2.矩形面积是对应直角三角形面积的2倍，可结合三角形面积推导； 3.已知矩形面积直接得，进而确定函数解析式。 1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 2．（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 题型三 双点平行于坐标轴的线段构成图形面积求解 1.若两点、平行于轴（纵坐标相同），则，面积可结合水平线段长度与纵坐标绝对值计算； 2.若两点平行于轴（横坐标相同），则，面积结合垂直线段长度与横坐标绝对值计算； 3.利用变形得，将点坐标用表示后代入面积公式。 1．（2024八年级·全国·竞赛）函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．则的面积为（    ）． A．2 B． C．4 D． 2．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点、分别在反比例函数（）和（）的图象上，连接并延长交轴于点，点、在轴上，连接、，若四边形是矩形，则它的面积为______． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点、分别在反比例函数和第一象限的图象上，且直线轴，点在轴上，连接、，则的面积为______． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 题型四 反比例函数与三角形（非直角）面积求解 1.利用割补法，将非直角三角形转化为直角三角形或矩形的面积和差； 2.若三角形顶点在坐标轴上，以坐标轴上的边为底，另一点的横（纵）坐标绝对值为高； 3.结合的几何意义求关键点坐标，再代入三角形面积公式。 1．（2024·广东湛江·一模）如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为______． 2．（22-23九年级下·四川德阳·月考）如图，点，在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．9 D．13 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点A 在反比例函数 的图象上，过点 A 作轴于点B．若 C 为x 轴上任意一点，则的面积为________． 4．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与反比例函数，的图象分别交于点，点在轴上，且横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型五 反比例函数与平行四边形面积求解 1.若平行四边形一边在坐标轴上，以该边为底，另一点到坐标轴的距离为高，面积； 2.若平行四边形顶点均在反比例函数图象上，利用反比例函数对称性或的几何意义求边长与高； 3.过顶点作坐标轴垂线，将平行四边形面积转化为矩形与直角三角形面积的组合。 1．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为__________． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，连接，且轴，以为边作，其中点C、D在x轴上，则的面积为_____________． 3.（25-26九年级上·山东威海·月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）如图，点是反比例函数的图象上一点，轴交轴于点，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型六 阴影部分面积求解 1.重叠部分面积：通过观察图象，用整体图形面积减去非重叠部分面积，利用简化计算； 2.拼接部分面积：将阴影部分分割为直角三角形、矩形等基础图形，分别求面积后求和； 3.利用反比例函数图象的对称性（关于原点、直线对称），转化阴影部分为可直接用计算的图形。 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，两点在双曲线上，分别经过两点向坐标轴作垂线段，已知，则___________． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 3．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，与交于点P，函数的图象过点P．连接，若图中的阴影面积为7，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 题型七 由图形面积求反比例函数值 1.先确定图形类型（直角三角形、矩形、平行四边形等），列出面积与的关系式； 2.若图形由多个反比例函数相关部分组成，分别表示各部分面积，结合已知总面积列方程； 3.解得后，根据函数图象所在象限确定的正负； 4.验证值是否符合图形的位置关系与尺寸约束。 1．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，已知点A，B在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，与交于点P，且P为的中点，若的面积为，则______． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，是双曲线上的两个点，过点作轴，交于点，垂足为点．若的面积为1，为的中点，则的值为_________． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型八 反比例函数与一次函数交点构成图形面积求解 1.先联立方程组求一次函数与反比例函数的交点坐标； 2.求一次函数与坐标轴的交点坐标，确定图形的边界； 3.用割补法（如过交点作坐标轴垂线）将构成的图形转化为基础图形的面积和差； 4.代入坐标值计算，过程中可利用的几何意义简化部分线段长度计算。 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点． (1)求直线的解析式； (2)若四边形的面积为5，求的值，并直接写出不等式的取值范围． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点的横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为 ________ ． 3．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线在第二象限交于点，与轴交于点，点是双曲线上的点，线段轴，点在点下方． (1)求，的值； (2)若的面积为，求的值． 4．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是___． 题型九 含参数的反比例函数面积综合问题 1.设参数表示关键点坐标（如设点的横坐标为，则纵坐标为）； 2.根据图形的边长、面积关系列含参数与的方程； 3.消去参数，求解值或参数的取值范围；4.验证参数值是否使函数图象有意义（横坐标、纵坐标不为0）。 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B，点的横坐标是点的横坐标的3倍．一次函数图象与坐标轴的交点为，，若的面积是8，则________． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，A为x轴正半轴上一点、B为y轴正半轴上一点，连接，另有一反比例函数图象． （1）若该反比例函数图象与线段只有一个交点，且，则=______； （2）若该反比例函数图象与线段交于C、D两点（C点在D点的左侧），若，则k的值为______． 3．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1) __________、__________． (2)连接，，则的面积是__________； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 4．（25-26九年级上·广西来宾·月考）如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，且点的横坐标为4，为双曲线上一动点．过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，． (1)求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连结，，若与的重合部分的面积为时，求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 反比例函数k的几何意义与面积综合 题型一 单一点到坐标轴的直角三角形面积求解 1.核心结论：反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴作垂线，垂足与原点构成的直角三角形面积； 2.直接利用结论，无需求点的坐标，已知可求面积，已知面积可求； 3.注意的正负由函数图象所在象限确定。 1．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得直角三角形的面积为． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， ∴； 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：∵点是反比例函数的图象上任意一点，且轴， ∴， 故答案为：1． 3．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，为坐标原点，是反比例函数的图象上任意两点，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，设的面积为的面积为，则与之间的大小关系为：___________．（填“”“”或“”） 【答案】= 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，熟练掌握的几何意义是解题的关键． 根据反比例图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积即可得出结论． 【详解】解：根据反比例函数的系数的几何意义可得：． 故答案是：=． 4．（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点．过点A作轴，垂足为B，点C是x轴上一点，连接，，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，解题的关键是理解过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得矩形或三角形的面积与的关系． 连接，根据反比例函数中的几何意义，求出，再利用等积变换：观察图形可知，和拥有共同的底边，且它们的高相等，所以面积相等，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 由反比例函数系数的几何意义， ， 与等底等高，面积相等， ， 故答案为：． 题型二 单一点到坐标轴的矩形面积求解 1.核心结论：反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴作垂线，所围成的矩形面积；2.矩形面积是对应直角三角形面积的2倍，可结合三角形面积推导； 3.已知矩形面积直接得，进而确定函数解析式。 1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 2．（2024·云南文山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴，垂足分别为A、B，则矩形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即，据此解答即可． 【详解】解：∵点P在反比例函数的图象上，过点P作轴，轴， ∴矩形的面积． 故选：C． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 过双曲线上任意一点向x轴、y轴引垂线，所得矩形面积为．据此解答． 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象，比例系数的几何意义，熟练掌握相关知识是关键． （1）将点代入反比例函数的表示式求出的值即可； （2）将代入反比例函数的表达式，求出点的坐标，使用勾股定理计算出的长； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义进行判断即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， 在直角中，； （3）解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ，， ∴． 故答案为：． 题型三 双点平行于坐标轴的线段构成图形面积求解 1.若两点、平行于轴（纵坐标相同），则，面积可结合水平线段长度与纵坐标绝对值计算； 2.若两点平行于轴（横坐标相同），则，面积结合垂直线段长度与横坐标绝对值计算； 3.利用变形得，将点坐标用表示后代入面积公式。 1．（2024八年级·全国·竞赛）函数的图象与过原点的直线l交于A、B两点，现过A、B分别作x、y轴的平行线，相交于C点．则的面积为（    ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，根据反比例函数的中心对称特点可知的是面积． 【详解】解：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称， 的面积等于两个三角形加上一个矩形的面积和， 则的面积． 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点、分别在反比例函数（）和（）的图象上，连接并延长交轴于点，点、在轴上，连接、，若四边形是矩形，则它的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意可得矩形面积为矩形的面积减去矩形的面积，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形的面积为，矩形的面积为 ∴矩形的面积为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点、分别在反比例函数和第一象限的图象上，且直线轴，点在轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，设直线与轴交于点，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设直线与轴交于点， ∵点、分别在反比例函数和第一象限的图象上， ∴ ∵直线轴 ∴ 故答案为：． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，则四边形的面积（   ） A．先变大再变小 B．先变小再变大 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【详解】解：由于点C和点D均在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵点在的图象上， ∴矩形的面积是k， ∴四边形的面积，故为定值，不变， 故选：C． 题型四 反比例函数与三角形（非直角）面积求解 1.利用割补法，将非直角三角形转化为直角三角形或矩形的面积和差； 2.若三角形顶点在坐标轴上，以坐标轴上的边为底，另一点的横（纵）坐标绝对值为高； 3.结合的几何意义求关键点坐标，再代入三角形面积公式。 1．（2024·广东湛江·一模）如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接， 轴， 轴， ． 故答案为：． 2．（22-23九年级下·四川德阳·月考）如图，点，在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．9 D．13 【答案】C 【分析】设轴于点D，轴于点C，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，然后代入即可求值． 本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点D，轴于点C， 由条件可知，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，点A 在反比例函数 的图象上，过点 A 作轴于点B．若 C 为x 轴上任意一点，则的面积为________． 【答案】2 【分析】本题考查值的几何意义，连接，利用平行等积转化得到的面积等于的面积，再根据值的几何意义即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵轴 ∴轴，即， ∴的面积等于的面积， ∵点A 在反比例函数 的图象上， ∴的面积； ∴的面积为2； 故答案为：2． 4．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与反比例函数，的图象分别交于点，点在轴上，且横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，连接，，设与轴交于点，由平行线间的距离可得，然后由，，，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：． 题型五 反比例函数与平行四边形面积求解 1.若平行四边形一边在坐标轴上，以该边为底，另一点到坐标轴的距离为高，面积； 2.若平行四边形顶点均在反比例函数图象上，利用反比例函数对称性或的几何意义求边长与高； 3.过顶点作坐标轴垂线，将平行四边形面积转化为矩形与直角三角形面积的组合。 1．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质等知识；由反比例函数比例系数的几何意义，可求得的面积为1，再由平行四边形的性质得平行四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵点D在反比例函数的图象上，轴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：2． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，连接，且轴，以为边作，其中点C、D在x轴上，则的面积为_____________． 【答案】5 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、平行四边形的面积公式是解题的关键．根据轴可得，即可求得，再根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：5． 3.（25-26九年级上·山东威海·月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，作轴于，延长交轴于，由四边形是平行四边形，得，，证明，根据系数的几何意义，，，然后代入求面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴于，延长交轴于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴轴， ∴， ∴， ∴ 根据系数的几何意义，，， ∴平行四边形的面积， 故选：． 4．（24-25九年级下·湖南怀化·月考）如图，点是反比例函数的图象上一点，轴交轴于点，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，过点作于，设，得，证四边形是矩形，得，，再由四边形是平行四边形，得，最后根据平行四边形的面积公式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，设， 则，， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：． 题型六 阴影部分面积求解 1.重叠部分面积：通过观察图象，用整体图形面积减去非重叠部分面积，利用简化计算； 2.拼接部分面积：将阴影部分分割为直角三角形、矩形等基础图形，分别求面积后求和； 3.利用反比例函数图象的对称性（关于原点、直线对称），转化阴影部分为可直接用计算的图形。 1．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，两点在双曲线上，分别经过两点向坐标轴作垂线段，已知，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握意义是解题的关键．根据反比例函数k的几何意义，解答即可． 【详解】解：根据题意，两点在双曲线上，分别经过两点向坐标轴作垂线段，且， 则， 故答案为：4． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点在双曲线上，轴于点轴于点，点在轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数，掌握反比例函数的性质，解题的关键是运用反比例函数的性质来解题． 过作轴，交轴于点，将阴影部分拆成个三角形面积和，利用、、点都在反比例函数上，可得各个三角形面积，即可求阴影部分面积之和． 【详解】解：过作轴，交轴于点，如图所示： ∵，轴， ∴为的中点，即， ∴， 又∵、、点都在反比例函数上， ∴， ∴ 则， 故选： C． 3．（25-26九年级上·山东日照·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，与交于点P，函数的图象过点P．连接，若图中的阴影面积为7，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，解题的关键是利用反比例函数的几何意义表示出阴影部分的面积．过点作轴，过点作轴，用四边形、四边形、四边形、和的面积结合反比例函数的几何意义表示阴影部分的面积，再求的值； 【详解】解：过点作轴，过点作轴， 点A，B在函数的图象上，点在函数的图象上， 则，，， 阴影部分的面积为， ， ； 故选． 4．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，，，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为，，其中，若，则______． 【答案】12 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，设反比例函数解析式为，由，则有，，，通过反比例函数系数的几何意义可得，，，则有，，求得，，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设反比例函数解析式为， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七 由图形面积求反比例函数值 1.先确定图形类型（直角三角形、矩形、平行四边形等），列出面积与的关系式； 2.若图形由多个反比例函数相关部分组成，分别表示各部分面积，结合已知总面积列方程； 3.解得后，根据函数图象所在象限确定的正负； 4.验证值是否符合图形的位置关系与尺寸约束。 1．（25-26九年级上·河南安阳·月考）如图，已知点A，B在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，与交于点P，且P为的中点，若的面积为，则______． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，利用设而不求思想表示出点坐标，从而找到与k与之间的联系是解题关键．设，借助点P为中点，用含a，k的式子表示点B的坐标，从而表示出，，再通过面积公式消去a，得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：设，则由轴，可知， ∵P为中点， ∴， 又轴， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．过点A作轴，垂足为E，先求出，，再结合，求得，由此列方程求解即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ， ， 令，则， 解得， 令，则， 解得， ，， ，，， ， 由题意得， 则， ， 解得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，是双曲线上的两个点，过点作轴，交于点，垂足为点．若的面积为1，为的中点，则的值为_________． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义．先根据条件得到，由于和同高，所以面积比等于底之比，进而得出，也就是． 【详解】解：轴， ， 为的中点， ， ， 的面积为1， 的面积为， 即， 则， 设的坐标为， 在第一象限， ， 是双曲线上的点， ． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及等腰三角形的判定与性质，过点A作于点E，设点，则点，再分别表示出点C、点D的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴， ∵轴， ∴点， ∵轴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：B． 题型八 反比例函数与一次函数交点构成图形面积求解 1.先联立方程组求一次函数与反比例函数的交点坐标； 2.求一次函数与坐标轴的交点坐标，确定图形的边界； 3.用割补法（如过交点作坐标轴垂线）将构成的图形转化为基础图形的面积和差； 4.代入坐标值计算，过程中可利用的几何意义简化部分线段长度计算。 1．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴，垂足为点． (1)求直线的解析式； (2)若四边形的面积为5，求的值，并直接写出不等式的取值范围． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查求一次函数解析式以及反比例函数与一次函数交点问题，求出点P坐标是解答本题的关键． （1）运用待定系数法解答即可； （2）设，表示出根据四边形的面积为5，列方程求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴、轴交于点、点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴, ∵四边形的面积为5， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴, 又在反比例函数的图象上， ∴； 由图象得：不等式的取值范围为． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，、是反比例函数图象上的两点，，两点的横坐标分别为，，线段的延长线交轴于点，若的面积为，则的值为 ________ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据、两点的横坐标分别为，，用含的代数式把两点的纵坐标表示出来，利用待定系数求出直线的解析式，利用一次函数的解析式求出点的坐标，根据的面积为，可列方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意知，点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 的面积为， ， 解得：． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线在第二象限交于点，与轴交于点，点是双曲线上的点，线段轴，点在点下方． (1)求，的值； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，根据围成图形面积求比例系数问题， （1）将代入，求出，即，再代入即可求出b； （2）求出，，结合，根据列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入，得，解得， ∴， 将代入得，解得； （2）解：∵， ∴ ， ∵线段轴，点在点下方， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴即， 解得． 4．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，涉及反比例函数的图象与性质，反比例系数k的几何意义，先根据函数图像上点的坐标特征得出，，于是，再由反比例函数系数k的几何意义可知，那么 ，进而可求出答案． 【详解】解： 、在反比例函数的图象上， ， 、在一次函数图象上， ， 解得， ， 当时， ，随自变量的增大而增大，此时． 题型九 含参数的反比例函数面积综合问题 1.设参数表示关键点坐标（如设点的横坐标为，则纵坐标为）； 2.根据图形的边长、面积关系列含参数与的方程； 3.消去参数，求解值或参数的取值范围；4.验证参数值是否使函数图象有意义（横坐标、纵坐标不为0）。 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B，点的横坐标是点的横坐标的3倍．一次函数图象与坐标轴的交点为，，若的面积是8，则________． 【答案】3 【分析】不妨设，将其代入，得到，可求得，，通过，求得，那么有，然后解得答案即可． 【详解】解：不妨设， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B， ∴， ∴， 把代入，解得； 把代入，解得； ∵一次函数图象与坐标轴的交点为，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，A为x轴正半轴上一点、B为y轴正半轴上一点，连接，另有一反比例函数图象． （1）若该反比例函数图象与线段只有一个交点，且，则=______； （2）若该反比例函数图象与线段交于C、D两点（C点在D点的左侧），若，则k的值为______． 【答案】 12 4 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）设，可求出直线的解析式为，联立得，则，可得，据此可得答案； （2）设，可求出直线的解析式为，联立得，设，则；可证明，得到，则可求出，，根据，得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 由题意得，反比例函数的解析式为， 联立得， ∵该反比例函数图象与线段只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）如图所示， 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 3．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1) __________、__________． (2)连接，，则的面积是__________； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)4 (3)点E的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 故答案为：；； （2）解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积； 故答案为：4； （3）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为． 4．（25-26九年级上·广西来宾·月考）如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，且点的横坐标为4，为双曲线上一动点．过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，． (1)求的值； (2)若，求点的坐标； (3)连结，，若与的重合部分的面积为时，求的面积． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)15 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来解答． （1）先根据一次函数的解析式求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数的解析式中即可求解； （2）由（1）可得双曲线的函数表达式为，由点的坐标可得，进而得到，即点的纵坐标为，然后代入反比例函数的解析式求出横坐标即可； （3）设与相交于点，则与的重合部分即为，设点的坐标为，根据三角形的面积公式求出点的坐标，进而可求出点的坐标，可推出，然后求出，最后根据面积的和差求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 点在双曲线上， ； （2）由（1）可得双曲线的函数表达式为， 点的纵坐标为， ． ， ， 点的纵坐标为， 点的双曲线上， 点的横坐标为， 点的坐标为； （3）如图，设与相交于点，则与的重合部分即为． 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为， 轴于点，且点在上， 点的横坐标为， 点在双曲线上， 点的纵坐标为， ，， 点，轴于点， ，， ， ∵， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $