2026年福建省学业水平合格性考试数学复习第十五讲（解三角形）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第十五讲—解三角形 【公式及例题】 1.正弦定理：a= b s咖4sin Bsin C=2R (2R是△ABC外接圆直径) 注：①a=2 R sinA.b=2R5inB.,c=2RsmC;②simA三sinB=b 2R,sin C=c 2R; 3a:b:c=sin A:sin B sin C. 2.余弦定理：a2=b2+c2-2 bc cos A曰cosA= b2+c2-a2 2be b2= →CosB= c2= ⊙c0sC= 1 3.面积公式：SaBc=5 absin C= 2 4.解三角形已知条件类型： (1)两角一边： (2)两边一对角： (3)两边一夹角： (4)三边： 5.边角互化： (1)如：a台sinA; (2)如：a2=b2+c2台A=90°；a2=b2+c2-bc台A=60° 6.相关公式： (1)在△ABC中：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC; (2)和（差）角公式： ①sin(a±β)=sin a cosβ±cos a sinβ ②cos(a±B)=cos a cos B干sina sinβ 例1.在△4BC中，若∠A=60°，∠B=45,BC=3V2,则AC=() A.4V5 B.25 c.D.5 2 例2.(1)△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=V2,b=√6，B=60°， 则C= (2)△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=V2,b=V6,C=30°， 则B= (3)在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=√7，b=2, A=60°，则sinB=—’c一 例3.在△ABC中，b=2,a=3,C=60°，则△ABC的面积为一，C=_ 例4.在△ABC中，AC=2,BC=3,AB=4,则cosC= 例5.△4BC的内角A,B,C对边分别是a,b,C,且a2=b2+c2+bc,则A=() A.150B.1209 C.600D.309 例6.△ABC的内角A,B,C对边分别是a,b,C,且V3 a cos C+V3 c cos 4=-2 b cos C, 则C=() 6 C.2 3 6 【练习】 一、选择题 1.在△4BC中，A=60°，B=75°，a=10,则c等于() A.52 B.102 C.6)3 D.56 2.在△4BC中，若a=√2，b=√3，A=45°，则B等于() A.30P B.60°C.30或150 D.60°或120 3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=5,C=2,cosA=2,则b=() 3 A.√2 B.3 C.2 D.3 4.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、C,且a=5,c=8,B=60°， 则b=() A.V7B.7C.49D.129 5.(2014.2)在△ABC中，三边的比为3：5：7，则△ABC的最大角等于() A.30B.60° C.120D.1509 6.在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若a2+c2-b2=V3ac,则角B的值 为() (A)π6 (B)π3(C)π6或5π6(D)π3或2π3 7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形 状为( A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定 二、填空题 8.在△ABC中，若a=4,c=2,B=135°，则b等于 9.若锐角△ABC的面积为10N3,且AB=5,AC=8,则BC等于 10.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、C,且a=5,b=7,c=8 则cosA= 一，B=,△ABC的面积为 三、解答题 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=V3 a cos B. (1)求角B的大小： (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.福建省学业水平合格性考试数学复习 第十五讲解三角形 【公式及例题】 1.正弦定理：Q b =2R(2R是△ABC外接圆直径) sin A sin B sin C 2Rsin B=b 注：①a=2 Rsin A,b=2 R sin B,c=2 R sin C;②sinA=a 2R,si咖C= 2R 3a:b:c=sin A:sin B:sin C. 2余弦定理：a2=b2+c2-2cc0sA分cos4=b2+c2-a 2bc bi=_a'+e2-2accosBc0 B=ai+ci-b 2ac c=a'+b2-2abcosC cs C=2ab a2+b2-c2 1 3.面积公式：Sc=bsnC=-2 csin B-—2 1 bcsin A_; 4.解三角形已知条件类型： (1)两角一边：用正弦定理； (2)两边一对角：求角用正弦定理，求边用余弦定理； (3)两边一夹角：用余弦定理； (4)三边：用余弦定理. 5.边角互化： (1)如：a sin A; (2)如：a2=b2+c2曰A=90°；a2=b2+c2-bc台A=60° 6.相关公式： (1)在△ABC中：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC; (2)和（差）角公式： ①sin(a±B)=sin a cos B±cosa sin B ②cos(a±β)=cosa cosβ干sin a sin B 例1.(2012广东)在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45,BC=3V2,则AC=(B) A.4V5 B.23 c.√5 D. 2 例2.(1)△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=V2,b=V6,B=60°， 则C=30 nsinc,即6v2 解：由一 3 sin C 1 解得sinC=。,且0<C<π，所以C=30°或C=150 2 且B=60°，内角和等于180° 所以C=30° (2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=√2，b=√6，C=30°， 则B=60°或120一 b 解：由 ,即62 sin B sinC sin B 1 2 解得sinB= 3 ,且0<B<元，所以B=60°或B=120° 且C=30°，内角和等于180 所以B=60°或B=120°都可取. 例4,2019.14)在AM8C中，AC=2,BC=3,AB=4,则c0sC=一-1 解： cosC=22+32-42.1 2×2×34 例5.(2017.5)△ABC的内角A,B,C对边分别是a,b,C,且a2=b2+c2+bC,则A=(B） A.150B.1209C.60°D.30f 解：依题意，b+c2-a2=-bc,且cosA=6+c2-a2 2bc K立有元.4=流：分所以4=120 例6.(2016.10)△ABC的内角A,B,C对边分别是a,b,c,且 3a cos C+3c cos A=-2b cos C,C=( A.B. c.2πo.5z 3 3 6 解：由正弦定理的推论得 3(2R sin A)cos C+3(2R sin C)cos A=-2(2R sin B)cos C 3(sin A cos C+cos A sin C)=-2 sin B cos C 3 sin(+C)=-2 sin B cos C 即V3sinB=-2 sin B cos C,且sinB≠0 得V5=-2cosC 即osC=-5,得C-5元 2 6 解法二：由余弦定理得 V5a2+2-c+V5c2+c2-a.-26a2+-c 2ab 2bc 2ab 化简得，V56=-a2+b2-c2 a 即a2+b2-c2=-√3ab, 代入cosC= a2+b2-c2 2ab 得cosC= -3ab√5 2ab 2 【练习】 一、选择题 2.在△ABC中，若a=√2，b=√3，A=45°，则B等于(D) A.30 B.600C.30f或150D.60°或120 3.(2016全国1)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=V5,C=2, 2 CosA=,则b=(D) 3 A.v2 B.√3 C.2 D.3 4.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、C,且a=5,c=8,B=60°， 则b=(B) A.√7B.7C.49 D.√129 5.(2014.2)在△ABC中，三边的比为3：5：7，则△ABC的最大角等于(C) A.30B.60°c.120D.150 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若a2+c2-b2=V3ac,则角B的值为(A) (A)π6 B)π3(C)I6或5r6(D)r3或2r3 7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccos B=asinA,则△ABC的形状为(B) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定 二、填空题 8.(2016天津)在△4BC中，若a=4,c=2,B=135°，则b等于V26一 9.(2015福建)若锐角△ABC的面积为10W3,且AB=5,AC=8,则BC等于7 三、解答题 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=V3 a cos B. (1)求角B的大小： (2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值. 11.解：(1)由正弦定理， bsin A=√3 a cos B可化为 sin B sin A=√3 sin A cos B,且sinA≠0 得sinB=V3cosB 得anB=√5 将8=号 (2)由正弦定理， sinC=2sinA可化为 c=2a 又因为b2=a2+c2-2 ac cos B 把b=3,c=2a代入上式 得9=d2+4a2-2a(2a2 忆=Dz=3M‘个=D能搏