专题03 函数基础高频考点与常见7大题型（高频考点专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 函数基础高频考点与常见7大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（7大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 函数的基本概念与定义域、函数值 题型二 正比例函数的图像与性质 题型三 一次函数的图像与性质 题型四 反比例函数的图像与性质 题型五 二次函数的图像与通性 题型六 一次函数与反比例函数综合 题型七 函数的实际应用（一次函数与二次函数建模） 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 理解函数的基本概念，会求简单函数的定义域和函数值，掌握常量和变量的区别（5年2-3考）；熟练掌握正比例函数 y=kx（k≠0）的图像特征（经过原点的直线）和增减性（k>0时过一、三象限且y随x增大而增大，k<0时过二、四象限且y随x增大而减小）（5年4考）；掌握一次函数 y=kx+b 的图像与性质：截距b的含义、增减性与k的关系、与坐标轴交点的求法、图像经过的象限判断（5年2考）；熟练掌握反比例函数 y=k/x（k≠0）的图像特征（双曲线）和增减性（分象限讨论：k>0时在每个象限内y随x增大而减小，k<0时在每个象限内y随x增大而增大），理解k的几何意义（图像上任一点向坐标轴作垂线所得矩形面积为 |k| ）（5年4考）；掌握二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图像通性：开口方向（由a的符号决定）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标、与坐标轴交点、图像的平移规律（“左加右减，上加下减”）（5年1-2考，不含第24题压轴）；能用待定系数法求正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的解析式；能用函数建模解决实际应用问题（行程、销售、最优方案等），体会数形结合思想在解题中的应用（5年4考）。 2026中考预测： 题型稳定：正比例函数与反比例函数的选择题（性质辨析、增减性判断、图像象限判断）仍为5年4考的高频必考内容；函数定义域的填空题在选择或填空位置持续稳定出现（5年2-3考）；一次函数图像的性质辨析、与坐标轴的交点坐标运算在填空题中高频考查（5年2考）；二次函数的通性（开口方向、对称轴、顶点坐标、平移规律）在选择或填空第3、11题左右的位置继续出现（5年1-2考，不含第24题压轴）；一次函数与反比例函数的图像交点综合题在解答题中继续稳定出现（5年2考）；函数的实际应用（一次函数建模）作为解答题第21/22题左右将继续作为核心题型（5年4考）。 难度平稳：以基础题、中档题为主，不设置偏题、怪题，重点考查函数核心概念的理解和数形结合能力，侧重对反比例函数增减性分象限、二次函数图像与系数a、b、c符号关系等易错点的辨析。试卷结构稳定，知识覆盖面广，立足对初中数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。值得注意的是，2026年上海中考数学难度结构可能从原有的8:1:1调整为7:2:1或6:3:1，基础题占比有所下降，中档题比例提升。函数与几何、函数与实际问题的综合题比例可能略有上升，但对函数基础性质的单独考查仍将保持稳定难度，重在考查图像辨析和性质应用而非难度拔高。 命题趋势：以上海市教育考试院发布的命题思路为依据，函数模块将更加注重从实际情境中抽象出函数模型，考查建立函数、分析和解决问题的能力，充分体现数学的应用价值。部分试题可能结合社会热点或科技情境（如行程中的匀速运动、销售利润与销量的函数关系、物理中的运动轨迹等）设计新情境，考查学生的数学建模素养。正比例函数、一次函数和反比例函数的基础性质考查将进一步强调图像信息的读取与辨析能力，试题可能以图像信息题的形式出现，要求学生从图像中获取信息、比较函数值大小、判断参数取值范围。试题将重视对通性通法的考查，如待定系数法求解析式、数形结合分析交点问题等。整体强调“基础核心+数形结合+情境应用”。 题型一 函数的基本概念与定义域、函数值 【真题呈现01】（2024年上海市中考数学真题） 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数的定义域是，解得， 故选：D． 【变式01】（2026·上海·静安二模）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的性质，分母不能为0，据此计算得到的取值范围即可选出正确答案． 【详解】解：∵函数 中是分式，分式的分母不能为0， ∴ ， 解得 ， 因此函数的定义域为 ． 【变式02】（2026·上海·松江二模） 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据反比例函数的定义，逐一判断各选项即可得出结论． 【详解】解：A、是二次函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； B、的分母不是的单项式，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； C、，符合反比例函数定义，该选项符合题意； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 【变式03】（2026·上海·崇明二模）函数的定义域是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：要使函数有意义，需满足分式分母不为，即， 解得  ． 【变式04】（2025·上海·奉贤二模）已知，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求函数值．当已知自变量的值时，求函数值就是将自变量代入解析式求代数式的值． 把代入函数即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式05】（2025·上海·浦东二模）函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求自变量的取值范围，解题关键是明确要使函数有意义，则． 由即可得解． 【详解】解：要使函数有意义， 则， ， 即函数的定义域为． 故答案为：． 题型二 正比例函数的图像与性质 【真题呈现02】（2023年上海市中考数学真题） 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意； C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 【变式01】（2026·上海·静安二模）已知正比例函数（）图像经过点，那么当自变量x的值增大时，y的值随之_____．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质．将已知点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，根据的符号判断函数的增减性即可得到结论． 【详解】解：把代入， 可得 ， 解得， 根据正比例函数的性质，当时，函数值随自变量的增大而减小． 【变式02】（2025·上海·宝山二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是______．（写出一个符合题意的k的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的增减性，掌握正比例函数的意义是解题关键． 由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：在正比例函数中， ∵的值随的值增大而减小， ∴． 解不等式得 ． ∴只要取大于2的数都符合题意； 故答案为：3（答案不唯一）． 【变式03】（2024年上海市中考数学真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：， 又， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 题型三 一次函数的图像与性质 【真题呈现03】（2025年上海市中考数学真题） 下列函数中，为正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 【变式01】（2026·上海·杨浦二模）直线恒过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线解析式变形为，易知当时，，从而得到直线恒过定点． 【详解】解：∵， ∴， 当时，即时，， ∴直线恒过定点． 【变式02】（2026·上海·黄浦二模）已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】先求出、两点的坐标，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在直线中， 令，则； 令，则，解得； ，． ． 题型四 反比例函数的图像与性质 【真题呈现04】（2025年上海市中考数学真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案． 【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小， ∴该反比例函数的比例系数大于0， ∴符合题意的反比例函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式01】（2026·上海·宝山二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的标准形式为（k为常数，） A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，排除； B、符合的形式，其中，因此y是x的反比例函数，符合要求； C、是二次函数，不符合反比例函数定义，排除； D、是y关于的反比例函数，不是y关于x的反比例函数，不符合定义，排除． 【变式02】（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)见解析 (2)反比例函数关系， (3)12千克 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，连线即可作图得解； （2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解； （3）依据题意， 8分钟内将货物运送至2400米，从而（米/秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解． 【详解】（1）解：由题意，连线作图如下． （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， ∴可设， 又∵图象过， ∴． ∴， 代入上式，均符合． ∴函数关系式为． （3）解：由题意，∵8分钟内将货物运送至2400米， ∴（米/秒）． ∴此时机器狗能承载的最大货物重量（千克）． 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 【变式03】（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A. 时，y的值随x的增大而减小 B. 时，y的值随x的增大而增大 C. 图像不经过第二象限 D. 图像不经过第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型五 二次函数的图像与通性 【真题呈现05】（2025年上海市中考数学真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 【变式01】（2026·上海·静安二模）如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【解析】 【分析】由题意可得抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的，结合平移的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的， ∵抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和，即和． 【变式02】（2026·上海·杨浦二模）抛物线顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 【变式03】（2026·上海·杨浦二模） 抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先设抛物线与x轴交点坐标，根据抛物线性质得到与y轴交点C的坐标，再结合推导得到边的关系，结合根与系数的关系求出参数c的值，解方程得到抛物线与x轴交点，确定A点坐标． 【详解】解：设，，且，坐标原点为O， 对于抛物线，令，得，即， 令，得，整理得， 由根与系数的关系得，， 如图， ∵，， ∴，， ∴， 又 ∴， ∴，即， ∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ∴，且， ∴， ∴， 代入，得，即， 解得或（舍去），不符合抛物线与x轴交于两个点的条件. 将代入得， 解得，， ∵， ∴， ∴点A坐标为 ． 【变式04】（2026·上海·崇明二模）将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到新抛物线的解析式，再利用y轴上点的横坐标为，代入解析式求出纵坐标，即可得到交点坐标 ． 【详解】解：∵ 将抛物线向上平移个单位， 根据平移的“上加下减”规律，可得新抛物线解析式为： ， 整理得 . ∵ 抛物线与轴交点的横坐标为， 将代入新抛物线解析式，得， ∴ 所得新抛物线与轴的交点坐标为  ． 【变式05】（2026·上海·松江二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 题型六 一次函数与反比例函数综合 【真题呈现06】（2024年上海市中考数学真题） 在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点． （1）求k与m的值； （2）过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； 小问2详解】 解：由（1）知： 设l与y轴相交于D， ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式01】（2026·上海·黄浦二模）如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】两个函数图象有公共点，说明联立两个函数的解析式得到的方程组有非零解，利用平方的非负性得到的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵函数与的图象有公共点， ∴联立有解，且． 消去得：， 两边同乘（）得：， 整理得：， ∵（）， ∴，即分子分母同号． 可得两种情况： ①，解得； ②，解得； 结合选项，只有满足条件． 【变式02】（2026·上海·虹口二模）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． （1）求双曲线的表达式； （2）如果轴，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图：过C作轴于D，解直角三角形可得、，即；再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，如图：过A作轴于E， 再解直角三角形可得，即点A的纵坐标为；再根据轴可得点B的纵坐标为，然后再求点B的横坐标即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过C作轴于D， ∵，． ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设双曲线的表达式为， ∵C在双曲线上， ∴，解得：， ∴双曲线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 如图：过A作轴于E， ∵，． ∴，即，解得：， ∴点A的纵坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴． 【变式03】（2025·上海·浦东二模） 在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． （1）求与的值； （2）过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入直线方程求出后可得点坐标，再将该坐标代入双曲线方程即可得到； （2）结合题意得出，，，根据垂直平分线的判定推得，解方程后可得，，将的值代入求得点和点坐标，满足存在即可． 【小问1详解】 解：已知直线过点， 将代入直线方程， ， 双曲线过点，把，代入， ； 【小问2详解】 解：由题知：，，， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，， 当时，，，， 当时，，，此时、重合，舍去， 综上：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、垂直平分线的判定、两点间的距离、一元二次方程的实际应用，解题关键是运用数形结合思想解题． 题型七 函数的实际应用（一次函数与二次函数建模） 【真题呈现07】（2025年上海市中考数学真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：． （1）求关于函数解析式并写出定义域； （2）当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 【变式01】（2024年上海市中考数学真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 【答案】4500 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 【变式02】（2025·上海·奉贤二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可． 【详解】解：由图象可知： 设的解析式为：， ∵经过点， ∴，得， ∴函数解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张到达乙地所用时间为48（分钟）； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴小张比小王早到乙地的时间是（分钟）． 故答案为：12． 【变式03】（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 【答案】(1)C (2)（D）处应填充： (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法求出函数关系式． （1）依据题意，该函数可能是一次函数，即可得解； （2）依据题意，结合（1）可设所求函数为一次函数即可判断得解； （3）依据题意，设y关于x的解析式是，则，从而可得解析式，然后结合弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过，故，可得x的范围，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，该函数可能是一次函数， 故选：C． （2）解：结合（1）可设所求函数解析式为， 故（D）处应填充：． （3）解：设y关于x的解析式是， 由题意得：， ∴ ∴y关于x的解析式是； 又∵， ∴． ∴， 答：所挂重物的重量最多为． 【变式04】（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】设该抛物线的解析式是， 由题意结合图象可知，点在函数图象上， 代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式是， 则水面上升了米，此时， ∴，解得：， 则此时水面的宽度是米， 故答案为：． （限时训练：20分钟） 1.（2023年上海市中考数学真题）函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查函数及分式有意义的条件，熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键． 2.（2026·上海·虹口二模）将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律“左加右减”是解题的关键．根据二次函数图象平移规律“左加右减”，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移个单位后，新函数解析式为． 由于图象经过原点，代入点得：， 即， 整理得， 或， 或， ， ． 故答案为：． 3.（2025·上海闵行·三模） 一次函数的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图像经过第一、二、三象限可知，然后问题可求解． 【详解】解：由一次函数的图像经过第一、二、三象限可知，所以符合题意的只有A选项； 故选A． 4. （2025·上海闵行·三模）已知，那么_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查求函数值．将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：5． 5.（2025·上海·浦东二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查的知识点是判断一次函数的增减性，解题关键是熟练掌握判断一次函数的增减性． 先根据该图像经过点求出值，再根据时，函数值随着的值增大而增大；时，函数值随着的值增大而减小即可得解． 【详解】解：正比例函数（为常数，且）的图像经过点， ，， 函数值随着值增大而减小． 故答案为：减小． 6.（2025·上海·崇明二模）已知二次函数的图像与轴的交点在正半轴上，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题；先求得二次函数的图像与轴的交点，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：当，则，即的图像与轴的交点为 ∵在正半轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 7.（2026·上海·闵行二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【解析】 【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 8.（2025·上海闵行·三模）抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么_____0．（填“>”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线在对称轴左侧的部分是下降的可得出抛物线开口向上，进而即可得出，此题得解． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴． 故答案为：． 9.（2026·上海·杨浦二模）已知二次函数经过点；； （1）直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． （2）设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 【答案】（1）二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 （2）的面积为3，的周长为 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法，将点；；依次代入二次函数解析式，解得，从而得到二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势； （2）先根据题意求出，，，画出函数图象，过点C作轴，过点A作交延长线于点F，然后根据几何图形性质及勾股定理求得的面积与周长． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点；；， ∴将点；；依次代入二次函数解析式， 可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 对称轴为直线，即对称轴为直线， ∵， ∴二次函数顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【小问2详解】 解：∵该二次函数图象与x轴交于点A， ∴对于，令， 解得：，， ∵点A在抛物线的右侧， ∴， ∵该二次函数图象与y轴交于点B， ∴对于，令， 解得：， ∴， ∵顶点为C， ∴， 如图，过点C作轴，过点A作交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴的周长为：， ∴的面积为3，的周长为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，准确理解相关定义是解题的关键． 10.（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解． 【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为， ∴抛物线函数解析式为， 令，得， 解得：，， ∴， ∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $知识要点：函数定义；常量与变量；定义域；函数值；函数三种表示方法 函数基本概念O 解法步骤：求定义域限制条件；代入自变量求函数值；解析法；列表法；图像法 易错提醒：分式分母不为零；二次根式被开方数非负；零指数幂底数不为零 知识要点：解析式y=kx(k≠O);图像过原点直线；比例系数k意义 二、 正比例函数O 解法步骤：判断正比例函数；由k符号判象限；由k判断直线陡缓 易错提醒：忽略k≠0条件；增减性与k符号混淆；忘记图像关于原点对称 知识要点：解析式y=kx+b(k≠O);斜率k;截距b;两直线平行条件 三、一次函数⊙ 解法步骤：待定系数法求解析式；由k、b符号判断象限；利用平行求k值 易错提醒：混淆k、b几何意义；象限判断出错；平行忽略b不相等 知识要点：解析式y=k/x(k≠0)；双曲线图像；k的几何意义；两类对称性 四、反比例函数O 解法步骤：由k符号判象限；利用矩形面积求K;利用对称性解题 易错提醒：增减性不强调同一象限；遗漏k取绝对值；对称性质记混 知识要点：一般式；顶点式；交点式；抛物线开口；对称轴；顶点；最值；增减性；平移规律；与坐标轴交点；系数、b、c作用 五、二次函数。 解法步骤：三种解析式互化；求对称轴与顶点；平移变换；判别式判与x轴交点；由a、b、c判图像特征 易错提醒：平移左加右减混淆；对称轴公式漏负号；最值忽略自变量范围；左同右异口诀用错 知识要点：函数交点求解；数形结合比函数值；一次函数实际建模；二次函数最值建模 六、函数综合应用O 解法步骤：联立解析式求交点；图像上下位置比大小；审题设元；建函数关系式；求解并检验实际意义 易错提醒：联立方程组计算出错；忽略实际自变量取值范围；最值直接代顶点不看区间 知识要点：定义域三类限制；反比例函数易错；二次函数易错；图像共存判断 七、函数整体易错点○ 解法步骤：按类型求自变量范围；逐条件排除不合理图像 易错提醒：实际问题自变量无范围限制；反比例增减性表述错误；二次函数平移符号易错 专题03 函数基础高频考点与常见7大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（7大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 函数的基本概念与定义域、函数值 题型二 正比例函数的图像与性质 题型三 一次函数的图像与性质 题型四 反比例函数的图像与性质 题型五 二次函数的图像与通性 题型六 一次函数与反比例函数综合 题型七 函数的实际应用（一次函数与二次函数建模） 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 理解函数的基本概念，会求简单函数的定义域和函数值，掌握常量和变量的区别（5年2-3考）；熟练掌握正比例函数 y=kx（k≠0）的图像特征（经过原点的直线）和增减性（k>0时过一、三象限且y随x增大而增大，k<0时过二、四象限且y随x增大而减小）（5年4考）；掌握一次函数 y=kx+b 的图像与性质：截距b的含义、增减性与k的关系、与坐标轴交点的求法、图像经过的象限判断（5年2考）；熟练掌握反比例函数 y=k/x（k≠0）的图像特征（双曲线）和增减性（分象限讨论：k>0时在每个象限内y随x增大而减小，k<0时在每个象限内y随x增大而增大），理解k的几何意义（图像上任一点向坐标轴作垂线所得矩形面积为 |k| ）（5年4考）；掌握二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图像通性：开口方向（由a的符号决定）、对称轴（x=-b/(2a)）、顶点坐标、与坐标轴交点、图像的平移规律（“左加右减，上加下减”）（5年1-2考，不含第24题压轴）；能用待定系数法求正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的解析式；能用函数建模解决实际应用问题（行程、销售、最优方案等），体会数形结合思想在解题中的应用（5年4考）。 2026中考预测： 题型稳定：正比例函数与反比例函数的选择题（性质辨析、增减性判断、图像象限判断）仍为5年4考的高频必考内容；函数定义域的填空题在选择或填空位置持续稳定出现（5年2-3考）；一次函数图像的性质辨析、与坐标轴的交点坐标运算在填空题中高频考查（5年2考）；二次函数的通性（开口方向、对称轴、顶点坐标、平移规律）在选择或填空第3、11题左右的位置继续出现（5年1-2考，不含第24题压轴）；一次函数与反比例函数的图像交点综合题在解答题中继续稳定出现（5年2考）；函数的实际应用（一次函数建模）作为解答题第21/22题左右将继续作为核心题型（5年4考）。 难度平稳：以基础题、中档题为主，不设置偏题、怪题，重点考查函数核心概念的理解和数形结合能力，侧重对反比例函数增减性分象限、二次函数图像与系数a、b、c符号关系等易错点的辨析。试卷结构稳定，知识覆盖面广，立足对初中数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。值得注意的是，2026年上海中考数学难度结构可能从原有的8:1:1调整为7:2:1或6:3:1，基础题占比有所下降，中档题比例提升。函数与几何、函数与实际问题的综合题比例可能略有上升，但对函数基础性质的单独考查仍将保持稳定难度，重在考查图像辨析和性质应用而非难度拔高。 命题趋势：以上海市教育考试院发布的命题思路为依据，函数模块将更加注重从实际情境中抽象出函数模型，考查建立函数、分析和解决问题的能力，充分体现数学的应用价值。部分试题可能结合社会热点或科技情境（如行程中的匀速运动、销售利润与销量的函数关系、物理中的运动轨迹等）设计新情境，考查学生的数学建模素养。正比例函数、一次函数和反比例函数的基础性质考查将进一步强调图像信息的读取与辨析能力，试题可能以图像信息题的形式出现，要求学生从图像中获取信息、比较函数值大小、判断参数取值范围。试题将重视对通性通法的考查，如待定系数法求解析式、数形结合分析交点问题等。整体强调“基础核心+数形结合+情境应用”。 题型一 函数的基本概念与定义域、函数值 【真题呈现01】（2024年上海市中考数学真题） 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【变式01】（2026·上海·静安二模）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【变式02】（2026·上海·松江二模） 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【变式03】（2026·上海·崇明二模）函数的定义域是__________． 【变式04】（2025·上海·奉贤二模）已知，那么______． 【变式05】（2025·上海·浦东二模）函数的定义域为________． 题型二 正比例函数的图像与性质 【真题呈现02】（2023年上海市中考数学真题） 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【变式01】（2026·上海·静安二模）已知正比例函数（）图像经过点，那么当自变量x的值增大时，y的值随之_____．（填“增大”或“减小”） 【变式02】（2025·上海·宝山二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是______．（写出一个符合题意的k的值即可） 【变式03】（2024年上海市中考数学真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”） 题型三 一次函数的图像与性质 【真题呈现03】（2025年上海市中考数学真题） 下列函数中，为正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【变式01】（2026·上海·杨浦二模）直线恒过定点___________． 【变式02】（2026·上海·黄浦二模）已知直线与坐标轴交于、两点，那么线段的长是______． 题型四 反比例函数的图像与性质 【真题呈现04】（2025年上海市中考数学真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_______．（只需写出一个） 【变式01】（2026·上海·宝山二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【变式02】（2025·上海普陀·三模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【变式03】（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A. 时，y的值随x的增大而减小 B. 时，y的值随x的增大而增大 C. 图像不经过第二象限 D. 图像不经过第四象限 题型五 二次函数的图像与通性 【真题呈现05】（2025年上海市中考数学真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为______． 【变式01】（2026·上海·静安二模）如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【变式02】（2026·上海·杨浦二模）抛物线顶点坐标是___________． 【变式03】（2026·上海·杨浦二模） 抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________． 【变式04】（2026·上海·崇明二模）将抛物线向上平移4个单位后，所得的新抛物线与轴的交点坐标为_________． 【变式05】（2026·上海·松江二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 题型六 一次函数与反比例函数综合 【真题呈现06】（2024年上海市中考数学真题） 在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点． （1）求k与m的值； （2）过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【变式01】（2026·上海·黄浦二模）如果函数与的图像有公共点，那么下列的值中，满足条件的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【变式02】（2026·上海·虹口二模）如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线经过顶点和边上的一点，，．设边与轴正半轴的夹角为，且． （1）求双曲线的表达式； （2）如果轴，求点的坐标． 【变式03】（2025·上海·浦东二模） 在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． （1）求与的值； （2）过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 题型七 函数的实际应用（一次函数与二次函数建模） 【真题呈现07】（2025年上海市中考数学真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：． （1）求关于函数解析式并写出定义域； （2）当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【变式01】（2024年上海市中考数学真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元． 【变式02】（2025·上海·奉贤二模）小王与小张先后从甲地出发前往8千米外的乙地，图中线段、分别反映了小王和小张骑行所走的路程 S（千米）关于小张所用时间 t（分钟）的函数关系．根据图象提供的信息，小张比小王早到乙地的时间是_______分钟． 【变式03】（2025·上海徐汇·二模）弹簧在一定限度内，它的长度与所挂重物的重量是呈函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度，弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过． 重物的重量 … 2 … 10 … 弹簧的长度 … 13 … 17 … (1)该函数可能是__________． （A）正比例函数；    （B）反比例函数；    （C）一次函数；    （D）二次函数． (2)根据（1）的答案设置合理的函数模型，下列设置正确的是__________．（先判断A、B、C是否正确，若正确则选填A或B或C．若不正确，请在D答案中填充合适的函数模型） （A）设；    （B）设；    （C）设；    （D）__________． (3)求关于的函数关系式（不需要写出函数的定义域）并写出所挂重物的重量最多为多少． 【变式04】（2024·上海杨浦·一模）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是_____米．（结果保留根号） （限时训练：20分钟） 1.（2023年上海市中考数学真题）函数的定义域为________． 2.（2026·上海·虹口二模）将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为__________． 3.（2025·上海闵行·三模） 一次函数的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 4. （2025·上海闵行·三模）已知，那么_____． 5.（2025·上海·浦东二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 6.（2025·上海·崇明二模）已知二次函数的图像与轴的交点在正半轴上，那么的取值范围是________． 7.（2026·上海·闵行二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 8.（2025·上海闵行·三模）抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么_____0．（填“>”或“<”） 9.（2026·上海·杨浦二模）已知二次函数经过点；； （1）直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． （2）设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 10.（2025·上海黄浦·一模）体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为__________米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $