2026年福建省学业水平合格性考试数学复习第十三讲（三角函数的定义及推论）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第十三讲 一三角函数的定义及推论 【公式与例题】 一、初中的定义：如下图，∠C=90°. sin = cos A= tan A 二、高中的定义： 1.定义：如图，角的始边与x轴非负半轴重合，在终边上任取一点P(x,y), 记r=l0P=Vx2+y2, P(x,y) 则sina= cosa= tan a= 补充：单位圆定义，如图，角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于 点P(x,y),记r=OP= 则 sin a P(x,y) coSa= tan a= 2.象限角的符号： sin a cosa tan a 3.同角关系式： 特别的：(sina+cosa)2= 4.诱导公式：k交±au→a(k∈Z),奇变偶不变，符号看象限 2 【例题】 例1.求值填表： c 309 450 600 909 120 1359 1509 180 sin a cosa tan a 例2.若sina=- ,且a为第四象限角，则tan&的值等于( 13 A.12 5 8.、12 C. 5 5 D. 12 12 例3.已知0<a<π，且sina+cosa=5 1 (1)求sima·cosa的值； (2)求sina-cosa的值； (3)求sina,cosa,tana的值. 例4.已知tana=2,求下列代数式的值. (1)4sina-2cosa 5cosa+3sina (2)sina+sin a cosa+coa. 1 4 3 2 例5.已知ama=2,则sin(π-a)-cos(π+a) 3-) sin(5元+a)-sin( 【练习】 一、选择题 1.已知角au的终边过点P(-3,-4),则sina+cosa+an=() B.4 5 C.-41 D. 1 15 15 2.已知角au终边与射线y=2x(x≤0)重合，则tan acos=() A.⑤ 8、5 c.2 5 D.-25 5 5 3.sin150°+cos240°+tan600°=( A.1+V5 B.-1+V3 C.3D.-√3 4.已知sim0392,则an0=( A.-2 B.② C.-V2 D.-√2 2 5.若0在第三象限，且an0=3,则sim0=( A.-3v10 B 3V10 C. V10 D.10 10 10 10 10 6.a的终边过点P(-1,2,则sin(匹+a)的值为() A.V5 c.2w5 5 D、 2 7.若am0=3,则sin8-cos0 =( n0+cos0 R C. 、1 D、1 4 2 2 8.已知sina+2cosa=0,则2 sin cosa-sin2a 号 B-4 4 D. 5 3 二、填空题 9.sin240°+cos240°+tan420°= 知角Q的终边交单位圆于点（化，之，则cos-a)的值 三、解答题 11.设an&=3,求值：(1)sina-m)+cosr-a）(2)血as& sn-a)+co时号a 12.若元<日<元，且sin0cos0=1 (1)求sin0-cos0的值； (2)求sin0+cos0的值.福建省学业水平合格性考试数学复习 第十三讲 一三角函数的定义及推论 【公式与例题】 一、初中的定义：如下图，∠C=90°. sin A= e b COS A= a tan A= e b 二、高中的定义： 1.定义：如图，角a的始边与x轴非负半轴重合，在终边上任取一点P(x,y), 记r=0P=Vx2+y2, .V 则 sina=业 比 coSa= r tan a 补充：单位圆定义，如图，角α的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于 点P(x,y),记r=OP=1: P(x,y) 则sina=y一； coSa=x; y tan a 2.象限角的符号： cosa tan a sin a 3.同角关系式：sin2a+cos2a=1 sin a =tana cosa 特别的：(sina±cosa)2=_1±2 sin a cos a 4,诱导公式：k匹±a→《(k∈Z),奇变偶不变，符号看象限 【例题】 例1.求值填表： 30 450 60° 909 120 1359 1509 1809 sin a √2 3 5 √ 2 0 2 2 2 2 cosa 0 V2 V3 2 2 2 tan a 5 5 无 -5 √3 0 3 3 5 例2.若sina=- ,且a为第四象限角，则tana的值等于(D 13 A号 B.2 5 5 C. D. 12 12 例3.已知0<a<π， 且sina+cosa=5 (1)求sina·cosa的值； (2)求sina-cosa的值； (3)求sin a,cos a,tana的值. 解：(1)由(sina+cosc)2=(白)2， 得1+2 sin a cosa= 25’解得sin0sa= 12 25 12 (2)(sina-cosa)=1-2sinacosa=1-2(-)= 49 25 7 所以sina-cosa=± 5 且sin a cos a<0,0<a<π 所以元<a<π，即sina>0,cosu<0 7 所以sino-cosa= 4 sina+cosa= sina=- (3)由 解得 7 3’ 所以tana= sin a4 cosa 3 sina-cosa= C0S0=- 5 5 例4.已知tana=2,求下列代数式的值. (1)4sina-2cosa 5cosa+3sina (2sin'a+simacosa+ca. 1 4 3 解：(1)原式= 4tan0-24×2-26 5+3tana5+3×211 1 1 1 sin2 a+sin a cos a+cos2 atan2 a+tan a cosa+ (2)原式=4 3 4 3 2 sina+cosa tana+1 1 1 1 ×22+1×2+ =4322_13 22+1 30 例5.已知ama=2,则sin(π-)-cos(π+）=_3 Sin(5r+a)-sin)-④） 解：原式= sin a-(-cosa)sin a+cos a=tan a+1=2+1=-3. -sin a.-(-cos a)-sin a.+cos a.tan a.+1 -2+1 【练习】 一、选择题 1.已知角a的终边过点P(-3,-4),则sina+cosa+tana=(D) c智 1 D. 15 2.已知角u终边与射线y=2x(x≤0)重合，则tana·cosa=(D) A.⑤ 8、6 c26 25 5 5 D.、 5 3.sin150°+cos240°+tan600°=(C) A.1+V3 B.-1+V3 C.3 D.-3 4.已知sim8=月s/ π 则tan0=() A.-2 B._V2 C.② D.-√2 2 5.若0在第三象限，且tan0=3,则sin0=（A) A. 310 B. 3V10 C. V10 D.10 10 10 10 10 6.a的终边过点P(-1,2),则sin(交+a)的值为(B) B.-5 c.25 D、1 7.若an0=3,则sin6-cos0 =(D) sin0+cos0 B.1 C. 1 8.已知sina+2cosw=0,则2 sina cosa =(C) cos2a-sin2a A B-4 D.4 二、填空题 9.sin240°+cos240°+tan420°= 3-1 10.已知角u的终边交单位圆于点( 2 3'1 ),则c0s(元-)的值为一12— 13 三、解答题 11.设tan&=3,求值：(1)sina-元)+cosr-a）(2)s血a cos a -a)+o--a） 5π sin( 解：(1）原式-sn)+cos-=二tana-l-3-l=2: cos a+(-sin a)1-tan a 1-3 (2)原式= sin a cos a tan a 33 cosa+sin2a 1+tan2a 1+32 10 12.若3元<0<元，且sin0cos0=-, 4 81 (1)求sin0-cos0的值； (2)求sin0+cos0的值. 解：(1）(sin0-cos0)2=1-2sin0cos0=1-2x(-3= 5 84 5 所以sin0-cos0=± 2 且2x<0<,所以sina>0,cosa<0, 4 所以血0-s0>0,所以sin0-cos6=5 : (2)(sin0+cos0)-1+2sin0cos0=1+2x(-)= 1、3 z<0<元，所以sin0<cos6且sin0>0,cos 所以sin0+cos0<0 所以sin0+cos0=- 2