福建省学业水平合格性考试数学复习讲义第十一讲（向量的数量积运算）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第十一讲向量的数量积运算 【知识点及例题】 (一)向量的数量积运算： a.B =acos <a,b> 推论：①模长公式：2=a,即a=√； ②非零向量a,b:a⊥b分 ③夹角公式：cos<a,b>= (二)数量积的运算性质： ①a.b=ba; ②a(b+c)=a.b+ac ③(ka)b=a:(kb)=ka.b 推论：①(a+b)2=a2+2a.b+b2,(a-b)2=a2-2a.b+b2 ②(a+b)(ā-b)=a2-b2 例1.如图，边长为1的正六边形中： (1)0A.0B= (2)0A.0E= (3)OA.0D=_: (4)0A.(0E+0F)= 例2.已知a=4,|b=V3,<a,b>=150°， 求：(1)(a-b)-b; (2)求|a+b. 例3.求以下夹角： (1)己知向量ā、万，同=1，=2，且(2ā+b)(a-b)=-3,求向量ā与b的夹角. 若非零向量a,b满足a22b,且a-DLBa+2b,则a与b的夹角为 A. 4 C.3z 4 D.π 例4.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=3,AD=2,则 (1)AC= (2)BD= (3)AB·AC= 【课堂练习】 一、选择题 1.已知单位向量a与b,则下面正确的式子是() A.a=b B.a2=b2 C.a.b=1 D.1a|-b|=0 2.已知向量a、6的夹角为120°，且1d=2,5=5,则(2a-b)ā=() A.3 B.9 C.12 D.13 3.已知等边△ABC,边长为1，则AB·BC=() A.-1 B.1 4.已知向量ā、万的夹角为60，且a=2,6=1则a-25=() A.1 B.2 C.3 D.√5 5已知向量a6的夹角为经1a5,6=1,则5-仆（冫 A.4 B.5 C.42 D.5√2 6.已知向量a、6满足a=l,=4,且a-6=2,则a与b的夹角为(） A.元 6 7.若a=2,=1,且(a-2b)1(2a+b),则a与b的夹角余弦是() A.3 B. c.片D. 2 8.已知向量a,b满足|a=5,|b=6,ab=6,则cos(a,a+b)=() A.31 B.-19 35 35 C.7 D. 19 35 35 9.在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=3,AD=2,则AB·AC=() A.3 B.6 C.12 D.15 二、填空题 10.若向量，万满足a=l5-2,a-6=子，则w<a,6 11.已知向量a,b满足(a+2b)-(a-b)=-6,且a=1,b=2,则a与b的夹角为一 12.若d=2,=1,且(a-2b)1(2a+b),则a与b的夹角余弦是 13.已知a,b为单位向量，且ai=0,若c=2a-V5b,则cos(a,c)= 三、解答题 14.已知.回=2，=1. (1)若a,6的夹角0为45，求a-司： (2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角0.福建省学业水平合格性考试数学复习 第十一讲向量的数量积运算 【知识点及例题】 (一)向量的数量积运算： a.b=abcos <a,B> 注：向量ā与b的夹角：当ā与b共起点所夹的角，其取值范围是：[0，. (-）若a=0或万=0，则同=0与5=0，则a6=0 (二)若a≠0且b≠0 ①当<a,6>0°时(a与6同向)，a6=l: ②当<a,b>=90°时(a⊥b),a.b=0: ③当<a,6>180°时(a与6反向)，a.b=-a5: ④当<a,b>e(0°，90)时（锐角），a.b>0; ⑤<a,b>e(90°，180)时（钝角），a.b<0: 推论：①模长公式：2=a,即a=: ②非零向量a,b:a⊥b÷_a.b=0_ ®夹角公武：0m<a,6一可同 ab (二)数量积的运算性质： ①ab=ba; ②a·(b+c)=a·b+ac(用“投影向量”可证明) ③(ka)b=d.(kb)=ka.b 推论：①(a+b)2=a2+2a.b+b2,(a-b)2=a2-2a.b+b2 ②(a+b)(d-b)=a2-b2 例1.如图，边长为1的正六边形中： (101.0丽=-2 (2)01.0=2 1 (3)0A.0D=1 (4)0A.(0E+0F)=_0一 例2.已知1a=4,1b=V3,<a,6>1500, 求：(1)(a-b)-6: (2)求1a+b。 解：a):日=4,6=5，(a,=150 a-b-邮eaa=45x(-9)=-6 a-i-i=a-6-月=-6-3=-g 2)a+=@+ -V日+2a+网 =V16-12+3 =√7 例3.求以下夹角： (1)已知向量a、万，同=1，=2，且(2ā+)(a-万)=-3，求向量a与6的夹角. (2》205重庆若非零向量a,b满足a-226,且a-)13a+2b,则a与b的 3 夹角为( A. B. D.π 4 2 C.3n 4 答案：A【解析】由题意(a-)(3a+2b)=3a-a.b-26=0, -m0--0,所3292 3c0s0-2=0, c0s0=5,0=三，适A 2 例4.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=3,AD=2,则 (1)AC= (2)BD= (3)AB·AC=12 解：(1)AC=AC=AB+AD=V(AB+AD)=VAB+2AB.AD+AD =3+2×3×2x+22=V19 1 (2)BD-BD-AD-AB=(AD-AB)=VAD'-24D.AB+AB 22-2x2x3×+32=7 【课堂练习】 一、选择题 1.已知单位向量ā与b,则下面正确的式子是(B) A.a=b B.a2=b2 C.a.b=1 D.1a1-1b1=d 2.已知向量a、万的夹角为120°，且同=2,6=5，则(2a-b)ā=D) A.3 B.9 C.12 D.13 3.已知等边△4BC,边长为1，则AB·BC=(D) 1 A.-1 B.1 C. 2 D.一2 4.已知向量a、b的夹角为60，且同=2，=1则ā-26=(B) A.1 B.2 C.3 D.3 5.已知向量a,b的夹角为 a51则话-《) A.4 B.5 C.4v2 D.52 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积公式可得ā万=-1，再根据13ā-b=√(3ā-b)2可求得 结果。 详解1因为ahāb-cos三V2x1×())-/) 所以13a-b=V(3a-b)2=V9a2-6ab+b2=V18+6+1=5. 故选：B. 【点晴】本题考查了平面向量的数量积和平面向量的模，属于基础题 6.已知向量a、万满足d=l,=4,且a-i=2,则a与5的夹角为(c) A. 6 D. 7.若d=V2,=1,且(a-2b)1(2a+b),则ā与6的夹角余弦是(B) A.3 B.2 3 2 8.(2020年高考全国卷山)已知向量a,b满足a=5,|b=6,a·b=-6,则 cos(a,a+b)= A. B. 19 c.17 D.19 35 35 35 【答案】D 【解析】凤=5，=6，a-i=-6,a-(a+列=+a-万=52-6=19. +=a+}=V后+2a-6+6 =√25-2×6+36=7， a.a+B 1919 因此，cos<a,a+b> 故选D. a+ 5×735 9.在平行四边形ABCD中，∠BAD=60,AB=3,AD=2,则AB.AC=(C) A.3 B.6 C.12 D.15 二、填空题 0,指的量，万满足--2，a6-子则w<6一写 11.(2011安徽)已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且d=1,bl=2,则a与b的 夹角为-子 12.若=2，=1，且(a-2万)1(2ā+，则a与6的夹角余弦是 3 13.(2019年高考全国卷)已知a,万为单位向量，且a访=0，若c=2a-V56,则 cos(a,c〉= 【格1号 【解析】因为c=2a-√56，ai=0,所以ac=2a-√5a.b=2, ac-2-2 cP=4aP-45a.6+51i=9,所以L3,所以cosa,=a1x33 14.已知.d=2,同=1 (1)若a,6的夹角9为45°，求后-石 (2)若(a-b⊥b,求a与b的夹角0.