福建省学业水平合格性考试数学复习讲义第九讲（函数的零点与方程）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第九讲 函数的零点与方程 【知识点】 1．函数零点的概念：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．函数零点的几种等价说法： (1)方程f(x)＝0的实数根叫作函数f(x)的零点． (2)若y＝f(x)＝g(x)－h(x)，则函数f(x)的零点可看成函数g(x)与函数h(x)交点的横坐标． 2．函数零点存在性的判定：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．注意以下几点： (1)该判定方法只是用于判定方程实数解的存在性，不能判断具体有多少个实数解． (2)逆命题不成立． 3．二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．利用二分法求零点近似值的步骤(给定精确度ε)： 第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0； 第二步：求区间(a，b)的中点x1， 第三步：计算f(x1)． (1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； (2)若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]． (3)若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]． 第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步． 例1．用二分法求方程的近似解，求得函数的部分函数值数据如下：，，，，则方程的一个近似根x所在区间为（     B ） A． B． C． D． 例2.（多选题）已知函数，以下关于的零点的说法，正确的是（ CD ） A.的零点是的图像与轴的交点； B.的零点等价于函数与的交点； C.的零点等价于函数与的交点的横坐标值； D.的零点等价于函数与的交点的横坐标值. 例3．方程的解所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，可知函数在上单调递增， 又，，则，所以零点所在区间为， 故方程的解所在的区间为.故选：B. 例4.以下关于的零点的说法，正确的是（ ） A.若，则函数在区间上有零点； B.若函数在区间上有零点，则； C.若是单调函数，则函数必有一个零点； D.若函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且，则函数在区间上有零点. 例5．已知函数， （1）的零点为 0或2 ； （2）若函数有3个零点，则的取值范围是 ； 【作业】 一、选择题 1．如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象，则函数的零点个数为（ C ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数f(x)＝x＋的零点个数为(　A 　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选A． 3．函数y＝x2＋6x＋8的零点是(　B　) A．， B．， C．1，2 D．不存在 答案　B 4．函数的函数零点个数是（ B ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.函数的零点所在的一个区间是（ B ） A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 【答案】B 【解析】函数在是连续不断的， 由，， 所以函数的零点所在的一个区间是.故选：B. 6．若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（　B　） A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25 6．B 【分析】由零点存在性定理和二分法求解近似根. 【详解】由，，且为连续函数，由零点存在性定理知：区间内存在零点，故方程的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可. 故选：B 7．(2022·广东·深圳市龙华高级中学教育集团高一阶段练习)已知函数，若实数，则方程的解的个数为(　　) A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3 【答案】D 【分析】根据分段函数作出函数的图象，利用数形结合即得． 【解析】由，得， 故函数的图象与交点的个数即为方程的解的个数， 作出函数的图象， 由图可知当时，方程的解的个数为2个， 当时，方程的解的个数为3个， 所以方程的解的个数为2或3． 故选：D． 二、填空题 8．若函数的零点是1，则=___________. 【答案】1 【详解】 依题意得f（1）=0，即a+1-2a=0，解得a=1. 故答案为：1 9.（2022·上海市）函数的零点是______． 【答案】 【解析】令，解得，所以的零点是，故答案为： 10（2021·全国·课时练习）函数的零点为________． 【答案】 【解析】当时，令，解得；当时，令，解得(舍去)， 所以函数存在零点，且零点为.故答案为：1. 三、解答题 11．设二次函数. （1）若该二次函数无零点，求实数a的取值范围； （2）若该二次函数有两个零点都是正数，求实数a的取值范围； 解：的零点等价于方程的根 （1）若该二次函数无零点，则无根， 则，即 即，解得 （2）若该二次函数有两个零点都是正数，记两个零点分别为， 则，即（注：判别式即韦达定理） 解得，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省学业水平合格性考试数学复习 第九讲 函数的零点与方程 【知识点】 1．函数零点的概念：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．函数零点的几种等价说法： (1)方程f(x)＝0的实数根叫作函数f(x)的零点． (2)若y＝f(x)＝g(x)－h(x)，则函数f(x)的零点可看成函数g(x)与函数h(x)交点的横坐标． 2．函数零点存在性的判定：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．注意以下几点： (1)该判定方法只是用于判定方程实数解的存在性，不能判断具体有多少个实数解． (2)逆命题不成立． 3．二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．利用二分法求零点近似值的步骤(给定精确度ε)： 第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0； 第二步：求区间(a，b)的中点x1， 第三步：计算f(x1)． (1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； (2)若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]． (3)若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]． 第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步． 【例题】 例1．用二分法求方程的近似解，求得函数的部分函数值数据如下：，，，，则方程的一个近似根x所在区间为（    ） A． B． C． D． 例2.（多选题）已知函数，以下关于的零点的说法，正确的是（ ） A.的零点是的图像与轴的交点； B.的零点等价于函数与的交点； C.的零点等价于函数与的交点的横坐标值； D.的零点等价于函数与的交点的横坐标值. 例3．方程的解所在的区间为（ ） A． B． C． D． 例4.以下关于的零点的说法，正确的是（ ） A.若，则函数在区间上有零点； B.若函数在区间上有零点，则； C.若是单调函数，则函数必有一个零点； D.若函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且，则函数在区间上有零点. 例5．已知函数， （1）的零点为 ； （2）若函数有3个零点，则的取值范围是 ； 【作业】 一、选择题 1．如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象，则函数的零点个数为（ C ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数f(x)＝x＋的零点个数为(　A 　) A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 3．函数y＝x2＋6x＋8的零点是(　 B　) A．， B．， C．1，2 D．不存在 4．函数的函数零点个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.函数的零点所在的一个区间是（ ） A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 6．若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（　　） A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25 7．已知函数，若实数，则方程的根的个数为(　　) A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3 二、填空题 8．若函数的零点是1，则=___________. 9.函数的零点是______． 10.函数的零点为________． 三、解答题 11．设二次函数. （1）若该二次函数无零点，求实数a的取值范围； （2）若该二次函数有两个零点都是正数，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $