福建省学业水平合格性考试数学复习讲义第五讲（函数的概念及三要素）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第五讲 函数的定义，三要素，求定义域，求二次函数的值域 【知识点】 1．函数的定义：函数是两个非空数集间的映射 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 【例题】 例1．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是(　　 ) 例2．设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（       ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 例3．函数y＝的定义域和值域分别为(　　 ) A．[－1，＋∞)，[0，＋∞) B．[0，＋∞)，[－1，＋∞) C．(－∞，0]，[－1，＋∞) D．(－∞，－1]，[0，＋∞) 例4．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 例5．下列函数与表示同一函数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 例6．求函数的值域： （1）函数的值域为（ ） A． B． C． D． （2）函数（）的值域是 . （3）函数的值域是 ，当 时，取得最小值. 【练习】 一、选择题 1．下列图象中不能作为函数图象的是（ ） A．B．C．D． 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 5．设，则＝（ ） A．－1 B． C． D． 6．下列函数与表示同一函数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 7.函数的值域为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表： x 1 2 3 f(x) 2 3 1 则 ；若，则 . 9. 函数，，则 . 10. 已知函数则方程的解为________． 11.函数当时，函数的值域为 ． 12．已知函数，则=________． 三、解答题 13．已知函数． （1）求的值； （2）求证：是定值； （3）求函数的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省学业水平合格性考试数学复习 第五讲 函数的定义，三要素，求定义域，求二次函数的值域 【知识点】 1．函数的定义：函数是两个数集间的映射 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 【例题】 例1．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是(　C　 ) 例2．（2022·湖南·高一课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（   C    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】 由题意，函数的定义域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系； 对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系； 对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确. 故选：C 例3．函数y＝的定义域和值域分别为(　A　 ) A．[－1，＋∞)，[0，＋∞) B．[0，＋∞)，[－1，＋∞) C．(－∞，0]，[－1，＋∞) D．(－∞，－1]，[0，＋∞) 例4．函数的定义域为（ D ） A． B． C． D． 例5．下列函数与表示同一函数的是（ D ） A．和 B．和 C．和 D．和 例6．求函数的值域： （1）函数的值域为（ D ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 对称轴为，抛物线开口向上，，当时，， 距离对称轴远，当时，，.故选：D. （2）函数（）的值域是 . 【练习】 一、选择题 1．下列图象中不能作为函数图象的是（ B ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【详解】 本题考查函数的定义和函数图像的含义. 能作为函数图象,需满足：按照图像得出的对应关系，对于自变量x的取值范围内的每一个值，按照图像得出的对应关系，都有唯一的一个y值和它对应；从图像直观来看，平行与y轴的直线与图像至多有一个交点.则B不能作为函数图象.故选B 2．函数的定义域是（ C ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（ C ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高一阶段练习）函数的定义域为（  C     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数解析式，可知，解不等式，即可求出结果. 【详解】 要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为． 故选：C. 5．（2015陕西）设，则＝（ C ） A．－1 B． C． D． 6．下列函数与表示同一函数的是（ D ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】 对A，，定义域为， 定义域为，故不是同一函数，故错误； 对B，定义域为， ，定义域为，故不是同一函数，故错误； 对C，， 由，解析式不同，故不是同一函数，故错误； 对D，定义域为， 定义域为，故是同一函数，故正确； 故选：D 7.函数的值域为（ C ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表： x 1 2 3 f(x) 2 3 1 则 2 ；若，则 3 . 9. 函数，，则 . 10. 已知函数则方程的解为____1____． 11.函数当时，函数的值域为 ． 12．已知函数，则=________． 【答案】1 【详解】 根据题意，函数， 则， 故答案为：1 三、解答题 13．已知函数． （1）求的值； （2）求证：是定值； 解：（1） （2）. 学科网（北京）股份有限公司 $