9.2.4总体离散程度的估计（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.2.4 总体离散程度的估计 知识点一 方差和标准差的计算 1.方差、标准差的定义 一组数据x1,x2,…,xn,用 表示这组数据的平均数,则这组数据的方差为(xi-)2=-,标准差为. 2.总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称S2=(Yi-)2为总体方差,S=为总体标准差.如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=fi(Yi-)2. 3.样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2=(yi-)2为样本方差,s=为样本标准差. 4.方差、标准差特征 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.在刻画数据的分散程度上,方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中,一般多采用标准差. 即学即练 1．一组数据的平均数为7，则其方差为（ ） A． B． C． D． 2．已知在某市委宣传部举办的中小学“红心向党”主题演讲比赛中，某选手共得9位评委的原始评分，若去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 3．（多选）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 4．给出下列关于“用样本估计总体”中的四个结论： ①中位数对极端值不敏感； ②若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生变化； ③标准差的大小不会超过极差； ④方差越小，说明这组数据越集中. 其中，正确的结论是___________.（用序号表示，把你认为正确的结论的序号都填上） 题型01 具体数据的方差 / 做题方法：先求所有数据的平均数；再用各数据与平均数作差、平方后求和；最后除以数据个数得总体方差。若为样本方差，分母用数据个数减一。 易错点：计算平方差时符号出错；混淆总体方差与样本方差分母；求平均时数个数统计错误；漏算平方步骤直接作差平均；带常数平移变换时不会巧用性质简化计算。 典｜例｜精｜析 例1．马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（ ） A．极差为3 B．平均数为7 C．分位数为7.5 D．方差为2 变｜式｜巩｜固 1．已知某班8位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，53，67，41，则这组数据的（ ） A．极差为28 B．平均数为60 C．第三四分位数是69 D．方差为90 2．对于一组数据，下列结论正确的是（ ） A．平均数为5，方差为2 B．中位数为5，方差为 C．众数为6，标准差为 D．极差为3，方差为3 题型02 已知方差求参 / 解题方法：先求出含参数数据的平均数，代入方差公式列出方程；化简得到关于参数的一元方程或二次方程，求解后结合数据实际意义取舍根。可利用方差平移、伸缩性质简化运算。 易错点：平均数计算出错；混淆总体与样本方差分母；解方程出现增根不检验；忽略参数取值范围；不会用方差性质硬算，计算量大易出错。 典｜例｜精｜析 例2．高三一数学优生为了检测自己的解题速度，记录了完成五套高考模拟题所用的时间（单位：分钟）分别为，，100，105，110.已知这组数据的平均数为105，方差为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 1．已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型03 各数据同乘除同一个数对方差的影响 / 做题方法：一组数据同乘，平均数变为原来倍，方差变为原来倍；同除以，方差变为原来倍。只做乘除、无加减平移时，直接用平方倍数关系快速求值。 易错点：误把方差也直接乘a；忽略要平方倍数；正负系数分不清，以为负号影响方差；混淆平均数与方差变化规律；乘除混加减平移时乱用公式。 典｜例｜精｜析 例3．已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（ ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 变｜式｜巩｜固 1．已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 2．已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（ ） A． B． C． D． 题型04 根据数据特征判断情况 / 做题方法：平均数看整体水平，中位数反映中间水平，众数看集中位置，方差衡量波动大小。比较优劣时，均值相近看方差，方差小更稳定；偏态分布用中位数、众数分析集中趋势。 易错点：混淆各统计量意义；只比平均数忽略方差稳定性；偏态数据误用平均数代表整体；不会结合实际情境下结论；方差大小与波动强弱判断颠倒。 典｜例｜精｜析 例4．四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据各自的统计如下结果，则可以判断出一定有出现点数6的是（ ） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，方差为2.0 D．平均数为3，方差为2.4 变｜式｜巩｜固 1．为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ） 甲：中位数为8，众数为7 乙：中位数为8，平均数为8.4 丙：平均数为8，方差小于2 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（ ） A．甲：中位数为2，众数为3 B．乙：总体均值为3，中位数为4 C．丙：总体均值为2，总体方差为3 D．丁：总体均值为1，总体方差大于0 题型05 图表的的方差大小关系 / 做题方法：看散点图、折线图、直方图数据集中离散程度。数据越集中、起伏越小、分布越紧凑，方差越小；数据越分散、波动越大、跨度越宽，方差越大。对称集中分布方差偏小，偏散、跨度大方差偏大。 易错点：误凭平均数大小判方差；忽略数据疏密只看区间范围；折线图错把高低当波动；直方图只看矩形高度不看分布分散度；颠倒集中与离散对应的方差大小。 典｜例｜精｜析 例5．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 变｜式｜巩｜固 1．甲､乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的折线统计图如图所示，甲､乙两人成绩的平均数分别记作，标准差分别记作，则（ ） A． B． C． D． 2．某次射击比赛中，甲、乙两名运动员在决赛中14次射击环数如图，则（　　） A．甲的平均射击环数超过10.6 B．乙射击环数的第80百分位数为10.65 C．甲射击环数的标准差小于乙射击环数的标准差 D．乙射击环数的极差小于甲射击环数的极差 题型06 分层样本的均值和方差 / 做题方法：分层均值用每层样本均值乘以层权重再求和；分层总方差，先算各层内部方差加权平均，再加上每层均值与总均值偏差的加权平方和。按样本数量占比确定权重代入计算。 易错点：直接取各层均值算术平均，不用权重；混淆分层总方差与单层方差；权重误用频数代替占比；遗漏层间均值差异带来的方差部分；公式套用混乱、计算加权和出错。 典｜例｜精｜析 例6．某班男生､女生人数之比为，对该班同学每周运动时间（单位：时）进行调查，得知男生每周运动时间的平均数为，方差为，女生每周运动时间的平均数为，方差为，则该班全体同学每周运动时间的方差为（ ） A．5.2 B．5.3 C．5.4 D．5.5 变｜式｜巩｜固 1．某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（ ） A．120分，75 B．120分，20 C．115分，65 D．115分，140 2．某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型07方差解答题 / 解题方法：先求数据平均数，再套方差公式，各数据减平均数平方后求和，再除以个数。遇数据线性变换，利用性质快速求解；分层题型用加权法求均值与总方差。解答需规范步骤，列式、代入、计算完整。 易错点：混淆总体与样本方差分母；运算正负号、平方计算出错；乱用线性变换规律；分层题不用权重直接平均；漏写解题步骤，只给结果导致扣分。 典｜例｜精｜析 例7．某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 变｜式｜巩｜固 1．在一次区域统考中，为了了解各学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析，其中数学学科的频率分布直方图如图所示，据此估计，在本次考试中数学成绩的方差为______.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 2．澄城县统计局对两所高中高一学生的月考数学成绩进行抽样分析，得到如下数据： 甲校：85，88，90，92，95 乙校：80，85，90，95，100 (1)分别计算两校样本的平均数、极差和方差； (2)若以“成绩稳定且优秀”为标准，哪所学校表现更好？说明理由． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计 9.2.4 总体离散程度的估计 知识点一 方差和标准差的计算 1.方差、标准差的定义 一组数据x1,x2,…,xn,用 表示这组数据的平均数,则这组数据的方差为(xi-)2=-,标准差为. 2.总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称S2=(Yi-)2为总体方差,S=为总体标准差.如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=fi(Yi-)2. 3.样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2=(yi-)2为样本方差,s=为样本标准差. 4.方差、标准差特征 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.在刻画数据的分散程度上,方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中,一般多采用标准差. 即学即练 1．一组数据的平均数为7，则其方差为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均数及方差的计算公式计算即可. 【详解】由题意知，，解得. 故方差为： . 故选：B. 2．已知在某市委宣传部举办的中小学“红心向党”主题演讲比赛中，某选手共得9位评委的原始评分，若去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A 【分析】理解中位数、平均数、方差、极差的概念即可求解. 【详解】设将原始评分按从小到大排列为， 则去掉一个最高分和一个最低分后，与原始评分相比， 新的极差为，由于，所以，通常情况下极差会变小，故不一定不变； 数据波动不变（当且仅当所有的数相等）或变小，即方差不变或变小； 平均数可能发生变化； 唯一不变的是中位数，即中间的数不变. 故选：A. 3．（多选）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算：得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10.则（ ） 参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A． B．估计该年级学生成绩的中位数约为71.43 C．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25 【答案】ACD 【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，列等式求出实数的值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项． 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，故A正确； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，故B错误； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，故C正确； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，故D正确． 故选：ACD． 4．给出下列关于“用样本估计总体”中的四个结论： ①中位数对极端值不敏感； ②若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生变化； ③标准差的大小不会超过极差； ④方差越小，说明这组数据越集中. 其中，正确的结论是___________.（用序号表示，把你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】由平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差的概念依次判断即可. 【详解】对于①，中位数是将数据从小到大排列后，最中间的1个数或2个数的平均数，所以中位数对极端值不敏感，①正确； 对于②，改变一组数据中的一个数，中位数和众数可能不发生变化，②错误； 对于③，设样本为，样本均值为，样本中的最大值和最小值分别为， 则标准差，③正确； 对于④，方差反映数据的离散程度，方差越小，说明这组数据越集中，④正确. 故答案为：①③④. 题型01 具体数据的方差 / 做题方法：先求所有数据的平均数；再用各数据与平均数作差、平方后求和；最后除以数据个数得总体方差。若为样本方差，分母用数据个数减一。 易错点：计算平方差时符号出错；混淆总体方差与样本方差分母；求平均时数个数统计错误；漏算平方步骤直接作差平均；带常数平移变换时不会巧用性质简化计算。 典｜例｜精｜析 例1．马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（ ） A．极差为3 B．平均数为7 C．分位数为7.5 D．方差为2 【答案】D 【分析】根据极差、平均数、方差及百分位数的定义求样本特征数值，即可判断各项正误. 【详解】由样本数据知极差为，故A错误； 平均数为，故B错误； 由，得这组数据的分位数是第4个数8，故C错误； 方差为，故D正确. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 1．已知某班8位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，53，67，41，则这组数据的（ ） A．极差为28 B．平均数为60 C．第三四分位数是69 D．方差为90 【答案】D 【详解】将8位同学的体重按照从小到大的顺序排列：41，53，57，63，67，67，69，71， 对于A，极差为，错误； 对于B，平均数为，错误； 对于C，，所以第三四分位数为，错误； 对于D，方差为， 正确. 2．对于一组数据，下列结论正确的是（ ） A．平均数为5，方差为2 B．中位数为5，方差为 C．众数为6，标准差为 D．极差为3，方差为3 【答案】B 【分析】由给定数据，结合平均数、方差、中位数、众数、极差的定义求对应值，判断各项的正误. 【详解】由题设，数据平均数为， 方差为， 标准差为，中位数为5，极差为，众数为6. 故选；B 题型02 已知方差求参 / 解题方法：先求出含参数数据的平均数，代入方差公式列出方程；化简得到关于参数的一元方程或二次方程，求解后结合数据实际意义取舍根。可利用方差平移、伸缩性质简化运算。 易错点：平均数计算出错；混淆总体与样本方差分母；解方程出现增根不检验；忽略参数取值范围；不会用方差性质硬算，计算量大易出错。 典｜例｜精｜析 例2．高三一数学优生为了检测自己的解题速度，记录了完成五套高考模拟题所用的时间（单位：分钟）分别为，，100，105，110.已知这组数据的平均数为105，方差为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】代入平均数和方差公式，求，即可求解. 【详解】由条件可知，得,① 方差， 所以，② 由①，，代入②，可得 解得：或，所以. 故选：B 变｜式｜巩｜固 1．已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数公式可得出的值，利用方差公式可得出的值，结合平方关系可求得的值. 【详解】由平均数公式可得，可得， 由方差公式可得， 整理可得，即，所以， 因为，所以， 故. 故选：D. 2．若一组样本数据，，，的平均数为3，方差为2；另一组样本数据，，，，3的方差为，则的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据方差公式代入求解，即可得出答案. 【详解】，，，这组样本数据的平均数为3，可得，则， 新增一个数据3后，数据变为， 则新数据的平均数为， 已知原数据的方差为2，根据方差公式可得， 则， 所以新数据的方差为，, 则，化简可得，解得. 题型03 各数据同乘除同一个数对方差的影响 / 做题方法：一组数据同乘，平均数变为原来倍，方差变为原来倍；同除以，方差变为原来倍。只做乘除、无加减平移时，直接用平方倍数关系快速求值。 易错点：误把方差也直接乘a；忽略要平方倍数；正负系数分不清，以为负号影响方差；混淆平均数与方差变化规律；乘除混加减平移时乱用公式。 典｜例｜精｜析 例3．已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（ ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 【答案】C 【分析】根据平均数和标准差的定义计算即可判断. 【详解】设的平均数为，标准差为，则，， 即，. 所以，，，的平均数为 ； ，，，的方差为 ，故其标准差为10. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】由平均数和方差的运算性质即可求解. 【详解】由方差的性质，得的方差为，故， 解得．由，可知. 由平均数的性质，得的平均数为， 故，解得. 故选：A． 2．已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为样本数据，，……，的平均数为2， 所以，，……，的平均数为，因此选项AB均不正确. 因为样本数据，，……，的方差为3， 所以，，……，的方差为，因此选项C不正确，选项D正确. 题型04 根据数据特征判断情况 / 做题方法：平均数看整体水平，中位数反映中间水平，众数看集中位置，方差衡量波动大小。比较优劣时，均值相近看方差，方差小更稳定；偏态分布用中位数、众数分析集中趋势。 易错点：混淆各统计量意义；只比平均数忽略方差稳定性；偏态数据误用平均数代表整体；不会结合实际情境下结论；方差大小与波动强弱判断颠倒。 典｜例｜精｜析 例4．四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据各自的统计如下结果，则可以判断出一定有出现点数6的是（ ） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，方差为2.0 D．平均数为3，方差为2.4 【答案】D 【分析】对于ABC举出反例，对于D利用方差公式证明点数只能为. 【详解】对于A：点数可为，故A错误； 对于B：点数可为，故B错误； 对于C：点数为即符合条件，故C错误； 对于D，因为平均数为3，点数与平均数差的平方为，根据方差公式可知点数与平均数差的平方和为， 从而点数与平均数差的平方为只可能是，所以.点数只能为，则出现点数6，故D正确. 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ） 甲：中位数为8，众数为7 乙：中位数为8，平均数为8.4 丙：平均数为8，方差小于2 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案. 【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组” 当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念， 当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为，但丙组不符合“优秀小组”的概念. 故选：A. 2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（ ） A．甲：中位数为2，众数为3 B．乙：总体均值为3，中位数为4 C．丙：总体均值为2，总体方差为3 D．丁：总体均值为1，总体方差大于0 【答案】C 【分析】通过举反例排除ACD三个选项，根据方差的计算判断C选项正确. 【详解】A选项，数据可以为“”，不符合该标志； B选项，数据可以为“”，不符合该标志； C选项，总体均值是2时，只要出现超过7人时，方差就大于3，故C正确； D选项，数据可以为“”，不符合该标志； 故选：C. 题型05 图表的的方差大小关系 / 做题方法：看散点图、折线图、直方图数据集中离散程度。数据越集中、起伏越小、分布越紧凑，方差越小；数据越分散、波动越大、跨度越宽，方差越大。对称集中分布方差偏小，偏散、跨度大方差偏大。 易错点：误凭平均数大小判方差；忽略数据疏密只看区间范围；折线图错把高低当波动；直方图只看矩形高度不看分布分散度；颠倒集中与离散对应的方差大小。 典｜例｜精｜析 例5．甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义和方差的概念来判断运动员命中环数的集中与分散程度即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 变｜式｜巩｜固 1．甲､乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的折线统计图如图所示，甲､乙两人成绩的平均数分别记作，标准差分别记作，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折线统计图，结合均值、方差的实际含义判断及的大小. 【详解】由统计图可知甲的总成绩比乙的总成绩要高，所以， 又甲的成绩分布比乙均匀，所以， 故选：A 2．某次射击比赛中，甲、乙两名运动员在决赛中14次射击环数如图，则（　　） A．甲的平均射击环数超过10.6 B．乙射击环数的第80百分位数为10.65 C．甲射击环数的标准差小于乙射击环数的标准差 D．乙射击环数的极差小于甲射击环数的极差 【答案】C 【分析】通过极差、平均数、方差、第80百分位数的计算即可求解. 【详解】由题知，甲的射击环数只有2次是10.8环，5次10.6环，其余都是10.6环以下，所以甲平均射击环数低于10.6，故A错误； 由于，故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B错误； 由于乙的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确； 乙射击环数的极差为10.8－9.7＝1.1，甲的射击环数极差为10.8－10.3＝0.5，故D错误. 故选：C 题型06 分层样本的均值和方差 / 做题方法：分层均值用每层样本均值乘以层权重再求和；分层总方差，先算各层内部方差加权平均，再加上每层均值与总均值偏差的加权平方和。按样本数量占比确定权重代入计算。 易错点：直接取各层均值算术平均，不用权重；混淆分层总方差与单层方差；权重误用频数代替占比；遗漏层间均值差异带来的方差部分；公式套用混乱、计算加权和出错。 典｜例｜精｜析 例6．某班男生､女生人数之比为，对该班同学每周运动时间（单位：时）进行调查，得知男生每周运动时间的平均数为，方差为，女生每周运动时间的平均数为，方差为，则该班全体同学每周运动时间的方差为（ ） A．5.2 B．5.3 C．5.4 D．5.5 【答案】C 【分析】根据整体方差的计算公式即可求解. 【详解】该班全体同学每周运动时间的平均数为， 方差为， 故选：C 变｜式｜巩｜固 1．某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（ ） A．120分，75 B．120分，20 C．115分，65 D．115分，140 【答案】D 【详解】因为某AI公司有男性30人，女性10人，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95， 所以该公司的平均成绩为分， 该公司成绩的方差为. 2．某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用均值公式、方差公式逐项判断正误即可 【详解】选项A：，所以，若，则， 故选项A正确. 选项B： ， 所以 ,不妨令则 ， 故选项B错误. 选项C：若，则故选项C正确. 选项D:若， 因为，所以， 则． 又， 所 故选项D正确. 故选：B. 题型07方差解答题 / 解题方法：先求数据平均数，再套方差公式，各数据减平均数平方后求和，再除以个数。遇数据线性变换，利用性质快速求解；分层题型用加权法求均值与总方差。解答需规范步骤，列式、代入、计算完整。 易错点：混淆总体与样本方差分母；运算正负号、平方计算出错；乱用线性变换规律；分层题不用权重直接平均；漏写解题步骤，只给结果导致扣分。 典｜例｜精｜析 例7．某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成六组，得到如图所示频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是54，方差是6，落在中的样本数据的平均数是66，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】(1)；； (2)； (3)；. 【分析】（1）由概率之和为1即可求解a，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解； （2）由成绩在的频率和成绩在的频率即可列等量关系求解； （3）由分层随机抽样的平均数和方差公式直接计算即可得解. 【详解】（1）由题可得， 所以样本数据的平均数约为； （2）成绩较高的前的学生对应的频率为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 设获得该荣誉证书的最低分数为x，则； （3）由题可得成绩在和的频数分别为， 所以这两组数据的总平均数和方差. 变｜式｜巩｜固 1．在一次区域统考中，为了了解各学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析，其中数学学科的频率分布直方图如图所示，据此估计，在本次考试中数学成绩的方差为______.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】110 【解析】根据频率分布直方图，直接利用平均数与方差的公式，即可得到本题答案. 【详解】由题，得 ， 方差 . 故答案为：110 2．澄城县统计局对两所高中高一学生的月考数学成绩进行抽样分析，得到如下数据： 甲校：85，88，90，92，95 乙校：80，85，90，95，100 (1)分别计算两校样本的平均数、极差和方差； (2)若以“成绩稳定且优秀”为标准，哪所学校表现更好？说明理由． 【答案】(1)甲：均值90，极差10，方差；乙：均值90，极差20，方差50； (2)甲校方差小，成绩更稳定，表现更好. 【分析】（1）根据两个学校的数据，分别代入平均数，极差，方差公式，即可求解； （2）根据平均数和方差的大小，判断哪所学校表现更好. 【详解】（1）甲校的平均数，极差为， 方差为， 乙校的平均数，极差为， 方差为. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $