培优01 因式分解（8大重难题型+强化训练）数学新教材苏科版八年级下册

培优01因式分解8大重难题型+强化训练 题型1因式分分解的判定 判断是否为因式分解，关键看结果是否化成几个整式相乘的形式，不能是加减和差形式。 分解前后代数式的值必须相等，且要分解到不能再分解为止才算彻底。 结果里不能出现分式，括号内也不能继续提公因式或套用公式。 1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，判断变形是否将多项式转化为几个整式乘积的形式，即可得出答案． 【详解】选项A和选项C是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义， 选项D的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义， 选项B将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义， 故选：B． 【点睛】因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误； B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确； C、是整式的乘法，故C错误； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误； 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，将多项式分解成几个整式的乘积即可得到答案． 【详解】解：，不是因式分解，故选项A不符合题意； ，不是因式分解，故选项B不符合题意； ，不是因式分解，故选项C不符合题意； ，是因式分解，故选项D符合题意； 故选D． 4．（25-26八年级下·江苏·期末）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解为几个整式的乘积的形式.． 甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因此不是因式分解． 【详解】解：因式分解需满足结果为整式的乘积， 甲: ，左边为乘积，右边为多项式， 甲是整式的乘法，不是因式分解； 乙: ，右边为和的形式，不是乘积， 乙不是因式分解. 甲、乙均不是因式分解． 故选：D． 4．（25-26七年级下·江苏·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解，见解析 (2)是 (3)不是因式分解，见解析 【分析】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可． 【详解】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 题型2公因式的判定 先看系数取各项系数的最大公因数，再看字母取各项都含有的相同字母，且指数取最低次幂。 多项式公因式还要看整体相同多项式因式，符号统一后再提取。 只要系数、相同字母、最低次数三者同时满足，就是最简公因式。 1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 3．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏·期末）单项式与的公因式是________ 【答案】 【分析】本题考查了单项式的公因式，熟悉掌握公因式的概念是解题的关键． 根据公因式的概念解答即可． 【详解】解：与的公因式是：； 故答案为：． 5．（24-25八年级下·江苏·期中）与的公因式是_____． 【答案】 【分析】此题考查了公因式的确定能力，运用公因式的定义和提公因式法因式分解进行求解，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 【详解】解：∵，， ∴与的公因式是， 故答案为：． ． 题型3提公因式法分解因式 先找准系数最大公因数、相同字母最低次幂确定公因式，再把公因式整体提到括号外。 首项为负先提出负号，括号内各项都要变号。 提完公因式检查括号内是否还有公因式，确保分解彻底、不漏项、不变号。 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如果，，则的值是（　　） A．30 B． C．11 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用．原式利用提公因式法变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式：=___________ 【答案】 【分析】先对原式中互为相反数的因式变形，提取相同公因式，再用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·江苏·课后作业）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级下·江苏·课后作业）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【答案】错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 题型4平方差公式分解因式 先判断式子是否能写成平方减平方的形式，两项异号、都能化成平方数即可用平方差。 套用公式拆成两数和乘两数差，能继续分解的要分解到不能再拆为止。 先提公因式再套平方差，有负号先调整符号，再套用公式分解。 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如果能被n整除，则n的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式，掌握平方差公式是解题的关键． 利用平方差公式对进行因式分解，分析其因数，即可求解． 【详解】解：根据因式分解，可得， 的因数为2和7，而中不含因数2和7， 不能被整除，即n的值不可能是． 故选：C． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)（用乘法公式计算）． 【答案】(1)12mn (2)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型5完全平方公式分解因式 先看式子是否是首平方、尾平方，首尾两倍放中央的三项式。 首尾同号，中间项是首尾底数乘积的两倍，即可套用完全平方公式。 先提公因式再判别完全平方式，首项为负先提负号，分解要做到彻底不能再拆分。。 1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构，判断各选项是否符合该公式结构即可． 【详解】解：A ，常数项为，是负数，不满足公式结构，不符合要求； B ，若符合公式结构，中间项，对应常数项应为，不是，不匹配，不符合要求； C ，只有两项，缺少常数项，无法构成完全平方的结构，不符合要求； D ，首项，末项，中间项，符合完全平方公式结构，分解得，符合要求． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）分解因式的结果是____________． 【答案】 【详解】解：． 3．（24-25八年级下·江苏·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解的应用； （1）先提取，再利用完全平方公式进行因式分解运算即可； （2）直接利用完全平方公式进行因式分解运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型6十字相乘法 先看二次三项式首尾拆成整数相乘，十字交叉相乘求和，凑出中间项系数。 首尾同号中间凑相加，首尾异号中间凑相减，符号跟着中间项走。 能先提公因式先提取，再用十字相乘分解，分解后检查是否还能再拆分。 1．（25-26八年级下·江苏·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 2．（25-26八年级下·江苏·期末）分解因式：_____． 【答案】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解： （1）利用十字相乘法解答即可； （2）先根据多项式乘以多项式计算，再利用十字相乘法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 4．（2025八年级下·江苏·专题练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，熟练掌握十字乘法分解因式是解决本题的关键． （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型7综合分解因式 先看多项式，**有公因式必先提公因式**，这是第一步。 再看项数，两项考虑平方差，三项套用完全平方或十字相乘。 最后检查分解是否彻底，不能再提因式、不能再套公式才算完成。 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）-90能被(   )整除． A．86 B．89 C．92 D．93 【答案】B 【分析】先提取公因式90，再根据平方查公式进行二次分解，继而求得答案． 【详解】解：∵-90=90×（902-1） =90×（90+1）×（90-1） =90×91×89． ∴903-90能被90或91或89整除． 故选：B． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后，利用平方差公式进行二次分解是关键． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）分解因式：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用平方差公式分解即可； （2）提取公因式即可； （3）先提公因式再利用完全平方公式分解即可； （4）先利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解即可． 【详解】（1） 解：原式； （2） 解：原式； （3） 解：原式= ； （4） 解：原式= 题型8因式分解的应用 利用因式分解凑整变形，快速进行简便运算，简化大数计算。 通过因式分解整体代入，求解代数式化简求值问题。 借助因式分解分析式子结构，求解参数取值、整数解及整除问题。 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，再根据长方形一边长为，得出另外一条边长即可． 【详解】解： ， ∵长方形一边长为， ∴长方形的另外一条边长为． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，再把代入计算，即可得到答案． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是（答案不唯一） 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需B卡片，C卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可． 【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∵B卡片面积为，C卡片面积为， ∴需要B卡片2张，C卡片3张； （2）解：如图 4．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． (1)上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： (2)【实战演练】用配方法因式分解； (3)【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，时，原式有最小值 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为，即可进行解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ∴ ∴当，时，多项式有最小值，最小值为5． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解； B、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； D、，将多项式化为两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义，是因式分解. 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 【答案】A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：∵ ， ∵8对应明文“我”，对应明文“阴”，对应明文“爱”，对应明文“江”， ∴组合后明文可为“我爱江阴”． 4．（25-26八年级上·江苏南通·月考）将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． 运用平方差公式进行因式分解求解即可． 【详解】解：运用平方差公式进行因式分解可得： ． 故选：D． 5．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．得出之积为，之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】时，，故； 时，，故； 时，，故； 时，，故； 的取值有4个． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 7．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】利用作差法，将所得的式子因式分解即可解答． 【详解】解：， ． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分解因式：__________． 【答案】 【详解】解：． 9．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【答案】等腰 【分析】将已知等式因式分解后，结合三角形三边关系得到三角形边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ， 移项得， 提取公因式得， 为的三边， 根据三角形三边关系可知，即， ，即， 是等腰三角形． 10．（2024·江苏淮安·一模）因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 三、解答题 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先变形找出公因式，再提取公因式完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解，直至不能分解为止． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26八年级下·江苏常州·月考）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式即可分解因式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01因式分解8大重难题型+强化训练 题型1因式分分解的判定 判断是否为因式分解，关键看结果是否化成几个整式相乘的形式，不能是加减和差形式。 分解前后代数式的值必须相等，且要分解到不能再分解为止才算彻底。 结果里不能出现分式，括号内也不能继续提公因式或套用公式。 1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏·期末）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（    ） 甲：． 乙：． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲是因式分解，乙是整式的乘法 C．甲、乙均为因式分解 D．甲、乙均不是因式分解 4．（25-26七年级下·江苏·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 题型2公因式的判定 先看系数取各项系数的最大公因数，再看字母取各项都含有的相同字母，且指数取最低次幂。 多项式公因式还要看整体相同多项式因式，符号统一后再提取。 只要系数、相同字母、最低次数三者同时满足，就是最简公因式。 1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏·期末）单项式与的公因式是________ 5．（24-25八年级下·江苏·期中）与的公因式是_____． 题型3提公因式法分解因式 先找准系数最大公因数、相同字母最低次幂确定公因式，再把公因式整体提到括号外。 首项为负先提出负号，括号内各项都要变号。 提完公因式检查括号内是否还有公因式，确保分解彻底、不漏项、不变号。 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如果，，则的值是（　　） A．30 B． C．11 D． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式：=___________ 3．（25-26八年级下·江苏·课后作业）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 4．（24-25八年级下·江苏·课后作业）学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 题型4平方差公式分解因式 先判断式子是否能写成平方减平方的形式，两项异号、都能化成平方数即可用平方差。 套用公式拆成两数和乘两数差，能继续分解的要分解到不能再拆为止。 先提公因式再套平方差，有负号先调整符号，再套用公式分解。 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如果能被n整除，则n的值不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）分解因式：______． 3．（25-26八年级下·江苏·期中）计算： (1)； (2)（用乘法公式计算）． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型5完全平方公式分解因式 先看式子是否是首平方、尾平方，首尾两倍放中央的三项式。 首尾同号，中间项是首尾底数乘积的两倍，即可套用完全平方公式。 先提公因式再判别完全平方式，首项为负先提负号，分解要做到彻底不能再拆分。 1．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）分解因式的结果是____________． 3．（24-25八年级下·江苏·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 题型6十字相乘法 先看二次三项式首尾拆成整数相乘，十字交叉相乘求和，凑出中间项系数。 首尾同号中间凑相加，首尾异号中间凑相减，符号跟着中间项走。 能先提公因式先提取，再用十字相乘分解，分解后检查是否还能再拆分。 1．（25-26八年级下·江苏·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·江苏·期末）分解因式：_____． 3．（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解： (1) (2) 4．（2025八年级下·江苏·专题练习）分解因式： (1)； (2)． 题型7综合分解因式 先看多项式，**有公因式必先提公因式**，这是第一步。 再看项数，两项考虑平方差，三项套用完全平方或十字相乘。 最后检查分解是否彻底，不能再提因式、不能再套公式才算完成。 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）-90能被(   )整除． A．86 B．89 C．92 D．93 2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）分解因式：___________． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) (3) (4) 题型8因式分解的应用 利用因式分解凑整变形，快速进行简便运算，简化大数计算。 通过因式分解整体代入，求解代数式化简求值问题。 借助因式分解分析式子结构，求解参数取值、整数解及整除问题。 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． (1)上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： (2)【实战演练】用配方法因式分解； (3)【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 4．（25-26八年级上·江苏南通·月考）将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 7．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分解因式：__________． 9．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 10．（2024·江苏淮安·一模）因式分解：________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式： (1) (2) 13．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 15．（25-26八年级下·江苏常州·月考）因式分解： (1)； (2)； 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $