福建省学业水平合格性考试数学复习讲义第三讲（复数与均值不等式）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第三讲复数及均值不等式 一、复数 1.虚数单位i:2=-1,或i=V1 2.复数的概念：复数z=a+bi(a,beR,i是虚数单位) (1)复数z=a+bi的实部为， 虚部为 ； (2)复数z=a+bi对应的点为 点在哪个象限，就说复数在哪个象限； (3)复数z=a+bi的模为z= (4)复数z=a+bi的共轭复数记为z= (5)复数z=a+bi中， ①当 时，z为实数； ②当 时，z为虚数；当 时，z为纯虚数 3.两复数的四则运算：z1=a+bi,z2=c+di (1)两复数相等：31=22台 (2)四则运算： Z1+22= Z1-22= 21·Z2= 22 二、均值不等式（基本不等式）： 均值不等式：若a>0,b>0,则+≥ab,当且仅当a=b时取等 1.当a与b的积为定值2时，则a+b有最小值2√反（当且仅当a=b时取最小值）； 2.当a与b的和为定值Q时，则b有最大值P(当且仅当a=b时取最大值). 4 【例题】 例1.已知i是虚数单位，则i+2+3+…+0=（) A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i 例2.已知复数z1=3+4i,z2=1+2i,则 (1)复数z1+z2的共轭复数是 (2)复数z2-乙的实部是，虚部是 (3)复数z1·z2的模为. (4)复数对应的点在第象限. 例3.在复平面内，复数z=a2-a-2+(a2-3a-4)i(其中a∈R)· (1)若复数z为实数，求a的值； (2)若复数z为纯虚数，求a的值； (3)对应的点在第四象限，求实数a的取值范围. 例4均值不等式求最值： (1)已知x>0,则x+1有最值为一： (2)已知x>2,则f9=x+1的最小值为」 x-2 (3)已知x>0,y>0,则+9(x+)的最小值为 (4)已知x>0,y>0,且4+9=1，则x+y最小值为一 x y (5)已知x>0,y>0,且9x+4y=y,则x+y最小值为 【作业】 一、选择题 1.i为虚数单位，67=() A.i B.i C.-1 D.1 2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是-山，V⑤，则z的共轭复数2=() A.1+3i B.1-5i C.-1+5i D.-1-V3i 3.若复数：=+：-i为纯虚数，则实数a的值为() A.-1 B. C.0 D.1 4.若x>0,则x+4的最小值为() A.2 B.3 C.22 D.4 5,若x>2,则函数y=x+2的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知x,y为正实数，且xy=4,则x+4y的最小值是( A.4 B.8 C.16 D.32 7.若m>0n>0,则(m+mL+马的最小值为（ m n A.3 B.4 C.6 D.9 8.若正数，y满足2x+y=1,则上+2的最小值为() X1 A.4 B.3+22 C.8 D.9 二、填空题 9.己知复数z满足(1+)z=1-7i(i是虚数单位)，则z=一 10.己知x,y∈(0，+o),且4x+y=y,则x+y的最小值为. 福建省学业水平合格性考试数学复习 第三讲 复数及均值不等式 一、复数 1.虚数单位：，或 2.复数的概念：复数（，是虚数单位） （1）复数的实部为 ，虚部为 ； （2）复数对应的点为 ，点在哪个象限，就说复数在哪个象限； （3）复数的模为 ； （4）复数的共轭复数记为 . （5）复数中， ①当 时，为实数； ②当 时，为虚数；当 时，为纯虚数. 3.两复数的四则运算：， （1）两复数相等： ； （2）四则运算： ； ； ； ； 二、均值不等式： 均值不等式：若，则，当且仅当时取等. 1.当与的积为定值时，则有最小值（当且仅当时取等时）； 2.当与的和为定值时，则有最大值（当且仅当时取等时）. 【例题】 例1.已知是虚数单位，则（ B ） A． B． C． D． 例2．已知复数，，则 （1）复数的共轭复数是 4-6i ； （2）复数的实部是 -2 ，虚部是 -2 ； （3）复数的模为 ； （4）复数对应的点在第 四 象限. 例3．在复平面内，复数 （其中）. （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值； （3）对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或4；（2）；（3） 【分析】若复数是实数，则； 若复数是纯虚数，则且； 若复数对应的点在第四象限，则且. 【解析】（1）因为复数为实数，所以， 所以或4； （2）因为复数为纯虚数，所以， 所以 （3）因为对应的点在第四象限，所以 解不等式组得，，即的取值范围是. 【点评】综合考察复数与实数与纯虚数的系，属基础题． 例4.均值不等式求最值： （3）已知，则的最小值为 25 ； （4）已知，且，则最小值为 . （5）已知，且，则最小值为 . 【作业】 一、选择题 1. （2015湖北）为虚数单位，（ A ） A． B． C． D．1 2.（2023北京卷2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选D. 3．（2021·广东深圳·）若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】 化简原式可得： z为纯虚数时，≠0即 ，选项A正确，选项BCD错误. 故选 4．（2021·江苏高三）若，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【详解】 ∵，∴，当且仅当即时等号成立． 故选：D． 5．（2021·贵溪市实验中学高三）若，则函数的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】 ∵x＞2，∴x﹣2＞0， ∴，当且仅当，即x＝4时取等号， ∴函数的最小值为6. 故选：D. 6．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文））已知为正实数，且，则的最小值是（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】 由题意，正实数且，可得， 则，当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 7．（2021·全国（文））若，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【详解】 因， 当且仅当时取“=”， 所以最小值为9. 故选：D 8．（2021·宁夏中卫·高三（文））若正数满足，则的最小值为（ ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】C 【详解】 解：因为正数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 故选：C 二、填空题 9．(2018年高考数学上海·第5题)已知复数满足(是虚数单位)，则 ． 【答案】5 解析：． 10．已知，且，则的最小值为 9 . 【详解】 因为，且可化为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9. 学科网（北京）股份有限公司 $