山西阳城县第一中学校等学校2025-2026学年高二年级第二学期期中考试数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级期中考试试题 数学 (满分150分考试时间：120分钟) 一、单选题（共40分） 1.(本题5分)18×17××4可表示为排列数() A.A18 B.A18 C.Ais D.Ais 题5分)设一组样本数据，，…，七，的方差为3，则数据2x-。,2 2 …,2x2 的方差为() A.4 B.8 C.12 D.32 3.(本题5分)国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自然村，其中有4 个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”，现要从该县7个自然村里 选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为() A.2 18 B. 4 D. 35 35 C. 7 3-7 4.(本题5分)设A,B为两个事件，已知P(B)=0.4,P(A)=0.5;P(B|A)=0.3, 则P(B1A等于() A.0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.7 5.(本题5分)已知{an}是首项为6的等差数列.当且仅当n=4时，{an}的前n项和 取得最大值，则公差d的取值范围为() A.(-3,-2) B.（-3,-2] (2-到[2 高二数学试题 (第 ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 6.(本题5分)若(1+x)+(1+x)+(1+x)°+…+(1+x)”的展开式中x2的系数为 80,则正整数n的值为() A.7 B.8 C.9 D.10 7.(本题5分)微信是人们的一个重要社交平台，它有一个功能是可以发朋友圈。微信发 朋友圈时，可以最多同时分享9张照片，这9张照片排成三行三列，如九宫格的形式 某人参加了2021年中国共产党建党100周年的一个庆祝活动，拍摄了一些照片，准备 将其中的9张不同照片分享给他的朋友，这9张照片中，有3张是不 同三人的演讲，有3张是不同演员的双人朗诵，有3张是不同单位的 合唱，那么该人在分享照片的时候，每行每列都是不同类别照片的排 法有()种. A.2592 B.1296 C.648 D.108 8.(本题5分)已知函数f()= e 一，关于x的方程2f2(x)=3a|f(x)川-a有且仅 有4个不同的实根，则实数a的取值范围为（) A.（e2,2e2） B 5e2 c.(e,e2） 二、多选题（共18分） 9.(本题6分)已知(2x+1)°=a。+4x+4,x2+…+4ox0,则下列说法正确的为(） A.ao=1 B.a=a6 c.8+%+0++a0=1023 222 23 210 D.a1+2a2+3a3+…+10a0=20×39 第1页共3页) ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 10.（本题6分)下列说法正确的有() A.数据2,3,5,7,11,13的第75百分位数为7，中位数为6 B.一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等 C.若随机变量5,7满足7=25-3，则E(7)=2E(5)-3,D(7)=4D(5)-3 D.一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现 将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名 医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式 1(本题6分)已知显数()=+-子，则()） A.f(x)在区间(0，+o)上单调递增 B.f(x)恰有两个零点 Q不式以水-后相类为0x引 D.若f(m)+f(n)=0,则m2+n2的最小值为2 三、填空题（共15分） 12.(本题5分)若n为正整数，则不等式C2<4的解集是 13.(本题5分)(x2-2y+z)展开式中x4yz的系数为 .(用数字作答) 1.(本愿5分)已知椭圆C:云+号=1和双自线C,:士-二 43 a2京=1(a>0,b>0吵有 公共焦点F,F,（F为左焦点)，C,与C,在第三象限交于点M,直线MF,交y轴 于点N且FN平分∠MF,则C2的离心率为 高二数学试题 ▣ Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 四、解答题（共77分） 15.(本题13分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个四位数； (2)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第85个数， 16.(本题15分)已知数列{a}的前n项和为Sna1=2an+2"(n∈N),q4,=1. (1)证明：数列号}为等差数列，并求数列{口，}的通项公式： (2)若Sn≤2an-4n-2对任意n∈N恒成立.求实数的取值范围. Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效奇书 17.(本题15分)设函数f(x)=e2x-2ax, (I)讨论f(x)的单调性： ②证明：当a>0时，f)≥1na-g+3 22 18.（本题17分)盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消 费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求.商家 为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款” 的概率为9，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为12，商家会以3：2的比例对新、旧 款盲盒进行随机发货， (1)求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X,求随 机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒 拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时 为止，记取出盲盒的个数为Y,求随机变量Y的分布列和数学期望 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 可 19.（本题17分)在全球化的现代社会中，物流网络己成为支撑经济发展、促进区域协同 的关键基础设施物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往 往能够超越客户预期，显著提升满意度某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目 的地城市从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 3 方案A:选择高速支线，物流提前送达的概率为二； X 4 方案B:选择高速干线，物流提前送达的概率为一； 5 方案℃选择国道线路，物流提前送达的概率为 (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则 在三种方案中随机选择一种记第n次选择方案A,B,C的概率分别为an,bn, Cn 2 (i)求a2,b2,并证明：数列 an+ 为等比数列； 3 (i)求an和b,,并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率。 第3页共3页) ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 《2025-2026学年第二学期高二年级期中考试试题》参考答案 题号 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A ACD BD 题号 11 答案 ABD 1.A 【分析】根据排列数公式计算求解 【详解】A8= 18 -=18×17×…×4 (18-15) 故选：A 2.C 【分析】应用方差性质计算求解. 【详解】因为样本数据×，x2,L，x,的方差为3， 所以由方差的性质可知， 数据2%-，2%- 。1 22x的方差为2×32 2 3.B 【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率 【详解】由题可得，怡有2个村是旅游示范村的概率为P=C0-18 C3 35 故选：B 4.C 【分析】根据对立事件概率及条件概率的公式计算即可得解， 【详解】因为P(A)=0.5,所以P（A)=1-P(A)=0.5, 因为P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA), 所以0.4=0.5×0.3+0.5P(B1A),解得P(B1A)=0.5. 5.c 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出a。，再结合前n项和取得最大值的 条件，得到关于公差d的不等式组，进而求解d的取值范围 答案第13页，共15页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 【详解】因为(an)是首项a,=6的等差数列，所以a。=6+(n-1)d, 因为当且仅当n=4时，{a,}的前n项和取得最大值，则a,>0且a。<0, 当a,>0时：a4=6+(4-1)d=6+3d>0,则3d>-6,所以d>-2, 当a,<0时：a,=6+(5-1)a=6+4d<0,则4d<-6,所以d<-3 综上，-2<d<-3 即公差d的取值范围； 6.B 【详解】由题意可得(1+x)+(1+x)+(1+x)°+…+(1+x)”的展开式中x的 系数为C2+C2+C2+…+C2=80, 化简可得c+C+C+C+C+…+C=80+(C+C),即c,=84,解得 n=8, 7.A 【分析】分步骤确定每行每列的图片类型排布，再计算每类图片排列数，相乘即 可 【详解】确定3类图片的位置排列： 第一行的排列数：A?=6,第二行是第一行的错位排列，则排列方式有2种， 第三行排列方式唯一确定，因此，类别位置的排列方式有6×2=12（种）· 各类图片的排列数： 演讲图片放入3个位置，排列数为A；=6;双人朗诵图片放入3个位置，排列 数为A3=6;合唱图片放入3个位置，排列数为A3=6. 故总排法有12×6×6×6=2592（种）. 8.A 7 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同静 【分析】利用导数判断函数f()=©的单调性，即可作出其图象，由此可得 1-X 到t=f(x)的图象，将方程2f(x)=3a1f(x)1-日2有且仅有4个不同的实根， 转化为1=和t=日对应的方程t=f(x的根的总数为4个，数形结合，即可 求解 【详解】由f(x=e可得定义域为(x1x≠1)，且 1-X e*(1-x)+e*e*(2-x) f'(x)= (1-x)1 (1-x)2’ 当×<2且x≠1时，f(x)>0,函数f(=e单调递增； 1-X 当x>2时，()<0，函数f(刈=。单调递减， 1-X 所以：x=2是极大值点，f(2)=-e2; 当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0; 由此可作出函数f(=。的图象： 1-X -1-x 令t=f(x),则原方程2f(x)=3a1f(x)1-a2可化为：2t-3at+a2=0, 得1=或1=号 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 原方程2f2(x)=3a1f(x)1-a2有且仅有4个不同的实根，等价于t=a和t=日 对应的方程t=f(x)的根的总数为4个； 结合f(x)的图象可得y=f(x)的图象： y=0 t=f(x) 由题意知r(=a以及f(-号，故a>0,且a>号 结合t-f(刘图象，要使得|f(×=a和f(x=。有且仅有4个不同的实根， 需满足a>e且0<号<e,即得e2<a<2,此时f(x=号有1个解， 2 f(x)=a有3个解， 即a∈(e2,2e2). 9.ACD 【分析】利用变量赋值可得系数关系，即可判断AC,对于B通过展开式通项公 式可求得指定项系数再来判断，对于D就得用等式两边求导思想，再赋值就可 得到结果 【详解】令x=0,代入(2x+1)”=a。+a,×+a2x2+…+a。x°得：a。=1,故 选项A正确的； 由通项公式可得：即a,=C。×2,a。=C。×2,由于C。=C。,所以a,≠a6, 故选项B是错误的； ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 L 令x=1时， 2 1+2×- =,++++=20， 2 222 210 又a。=1, 所以日++++=1023，C正确： 222 23 210 对(2x+1)°=a。+a,x+a2x2+…+aox°， 求导可得：20(2x+1)=a,+2a2x+…+10a10x°， 再令x=1可得：a,+2a2+3a3+…+10ao=20×3°，正确， 故选：ACD 10.BD 【分析】由百分位数的定义即可得出A错误，由标准差定义判断B正确，利用 数学期望与方差的性质计算可判断C；利用分组分配法求得总的方法数判断D. 【详解】由6×75%=4.5，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为 5+7=6,故A错误； 2 根据标准差定义，一组数据X,X2,,×,的标准差 x-列+-对+…+(x-]=0时， 显然有X=X2=…=X。=X,故B正确； 若随机变量，7满足7=25-3，则 E()=E(2-3)=2E(-3,D()=D(2F-3)=4D(,故C错误； 一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队， 男医生5× 36 =3人，女医生5×24 =2人， 36+24 24+36 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效窗 现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一 名医生， 且女医生去同一个医院，三个医院人数可以为3,1,1，共有CCA=18种分配 方式； 三个医院人数可以为2,2,1，共有ccA=18种分配方式， 综上，共有36种分配方式，故D正确. 故选：BD 11.ABD 【分析】函数f(x)的定义域为(-o,0)U(0,+o),关于原点对称，且函数f(x) 为偶函数，对于函数求导可判断A项，由单调性及f(1)=0可判断B项，由偶 函数及单调性可判断C,D项. 【详解】函数1（刘=n+-又的定义域为(-00U(0+a侧，关于原点 对称， 且f(-列=n+(-刘-=n+×-=f(因，所以函数f(为 (-x)1 偶函数， 对于A项，当x>0时，f(X)=Inx+X- 2, 对其求导得f'(x)=1+2x+2 2 >0,所以f(x)在区间(0，+o)上单调递增 X 3 故A项正确； 对于B项，因为f(x)在区间(0，+o)上单调递增，且f(1)=0, 根据偶函数的性质可知，f(-1)=f(1)=0,所以f(x)恰有两个零点，故B项 正确； 对于C项，因为f()为偶函数，且在(0，+o)上单调递增， 所以f(x)<f(1-x)等价于f(x<f(h-x, Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同 / L 得<-，两边平方得x< 而函数f(x)的定义域为（一o,0)U(0,+o),所以f(x)<f(1-x)的解集为 (-0,0) 故C项错误； 对于D项，因为f(m)+f(n)=0,且f(x)为偶函数， 得f(ml+f(nl=0,即f(ml)=-f(nl, 因为f小+ 同m*-是(l+京小o 所以f(ml 又因为f(x)在区间(0，+0上单调递增，所以m-可， 得mn=1, 则m2+n2≥2mn=2,当且仅当m=nl=1时取等号，所以m2+n2的最小值 为2，故D项正确 12.(2,3} 【分析】利用组合数公式，结合一元二次不等式求解即得 【详解1c:<4化为(”-1<4，即n-n-8<0解得=V38<n<1+V3丽 2 因为n∈N,n≥2，则n=2,3.故原不等式的解集为{2,3}. 故答案为：(2,3}. 13.-480 【详解】解：(x2-2y+z)展开式中含xyz的项为 c3(x2)C8(-2y)z=-480xyz, 故(x2-2y+z)展开式中×yz的系数为-480. ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 L 14. 5 【分析】利用椭圆方程求出c,利用椭圆和双曲线定义求出MF,MF2,设点M, 利用角平分线定理、两点间距离公式结合椭圆方程求出a，进而求出离心率， 【详解】 父+上-1中=4,6=3，故c=4-8=1,9=1, 椭园c,: 43 ∴.F1(-1,0),F2(1,0), 由题意可知c=C=1,且c2=a2+b2, 由椭圆定义可得MF,+MF2=2a,=4①， 由双曲线定义可得引MF,-MF,=2a②， 联立①②得MF=2-a,MF2=2+a, MN 由角平分线定理可知 MF_2-a NF2FF2 2 设M(x,y。),N在直线MF2上，由分点比例得 则-x,=2-a a-2 ，解得x。= 2 2 MF=2-a, 答案第14页，共15页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 L V(x。+1)+y=2-a, 由X=8二2得名+1=日 2 -g）-e-,化4-g-s 16 .a+6>0,2-a>0, :日+6-2-日，解得0= 4 5 e=-1=5 2· 5 15.【分析】(1)先排千位数，再排其余数位： (2)按千位数字分类讨论，逐步缩小范围， 【详解】(1)四位数字的千位不能为0，有A;=5种； 其余三位数从剩下的5个数字中选3个排列，有A:=5×4×3=60种； 由分步乘法计数原理得：A,·A;=5×60=300种 (2)千位为1：后三位从其余5个数中选3个排列，共有A?=5×4×3=60个； 千位为2：从第61个数开始，共计A?=5×4×3=60个， 85-60=25,即求千位为2的第25个数； 百位为0：共计A?=4×3=12个，对应第61~72个数； 百位为1：共计A=4×3=12个，对应第73~84个数； .第85个数是千位为2，百位为3的最小四位数，即为：2301. 16.【分析】(1)根据题设递推关系有一-=，结合等差数列定义判断证明，进而写 2+122 出通项公式； (2)先根据错位相减法求得s。=(n-1)2”+1,再将问题化为入≤2”-4n-1恒成立，最后结 合作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围。 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同静 L 解割0)证明由w-29,+2,则兴+，即兴a 20* 20 22”=2, 又品-，所以数列 22 2 是首项、公差均为？的等差数列， 所以是=+2n-1)= 2 ，所以an=n2 22 2 (2)解：由S。=1×2°+2×2'+3×22+…+n2-1 则2S。=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)2+n2°， 所以-S,=1+2+…+2-n2°=1-2” -n2°=(1-n)2”-1, 1-2 所以S。=(n-1)2”+1. 因为S。≤2a,-4n-入对任意n∈N'恒成立 所以(n-1)2°+1≤n:2°-4n-A,整理得A≤2”-4n-1对任意n∈N'恒成立， 令c=2°-4n-1,则c1-Cn=[2*1-4(n+1)-11-(2°-4n-1)=2°-4， 当n=1时c1<c。,当n=2时cn+,=c。,当n≥3时c1>c。, 所以G>c2=C<ca<c<…,即c的最小值为c=c2=-5, 综上，实数入的取值范围为(，-51. 17.(1)当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在 单调递减， 在 a,+ 单调递增； (2)证明见解析. 【分析】(1)先求出导函数f'(x),再对a分情况讨论，分别求出函数f(x)的 单调区间； (2)由(1)可知当a>0时，f(x)的最小值为f(二lna)=a-alna,令 g)=+a-(a+1)1n日-3，利用导数得到g(a)的最小值为g0=0, 2 2 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 / L 所以g(a)≥0，即证得f(为≥n日-a+3 22 【详解】（(1)函数f(x)=e2“-2ax的导数为f'(x)=2e2“-2a=2(e2-a), 当a≤0时，e2x-a>0恒成立，故f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=0,得x=-lna. 2 当x<na时，f(x)<0,f(x)单调递减； 2 当x>一lna时，f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述当a≤0时，f(在R上单润递增：当>0时，1在(-an9 单调递减， In a,+ao 单调递增.。 (2)由(1)知，当a>0时，f(x)在x=二Ina处取得最小值， f(-lna)=en-alna=a-alna因此，对任意x∈R,有f(x)≥a-alna. 2 只需证明g-a1n8≥1ng-号+3，即号+a-a+0n 3≥0 22 2 g(o-(a1)a-2,420. 3 2 2 求导得g'(a)=a+1-1n日-a+1= -=a-lna--, a 月 g()=1-1+=-9+1>0,故g'(a)在0，+∞上单调递增 a2 由g'(1)=1-ln1-1=0知，当0<a<1时，g'(a)<0,当a>1时，g'(a)>0, 所以g(a)在(0,1)单调递减，在(1，+oo)单调递增 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同 / L 所以9(a)在a=1处取得最小值g0)=1+1-0-3=0. 2 2 因此g(a)≥0，即f(x)≥lna- +3成立，等号当a=1且x=n1=0时取 22 得 18。(1)2 10 327 ②00 (3) 2 3 5 2 4 8 P 15 15 15 15 64 15 【分析】(1)根据全概率公式即可求解； 1 (2)判断随机变量X~B(3,一)，根据二项分布的期望；方差公式即可求解； 10 (3)确定随机变量Y的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，求 得期望 【详解】（1)设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C 为：盲盒中出现“隐藏款”， 则P(A)=5P(B)=2,P(C1A)=P(C1B)=1 3 2 1 5 5 12 P(C)=P(A)P(CIA)+P(B)P(CIB)-3x1+2x1-1 5951210 (2)每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为 10 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效筒学 因此随机变量X~B3,),根据二项分布的期望、方差公式： 10 得E(X)=np=3× x1010,D(X)=nP(1-p)=3x1x 13 1×9=27 1010100 (3)当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停 止抽取， 因此Y的可能取值为2,3,4,5，隐藏款的位置共有C=15种等可能情况， 计算概率得：P(Y=2)=1(前2个均为隐藏款)， 15 P(Y=3)=C2-2 (第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏)， 1515 P(Y=4)= C3+14 ,(第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款)， 1515 P(Y=5)=1-P(Y=2)-P(Y=3)-P(y=4=1-1-24-8 (剩余所 15151515 有情况)， Y的分布列为： 2 3 4 5 1 4 P 2 8 15 15 15 15 数学期望：E(Y)=2× 864 -+3× 2 +4× -+5× 15 15 151515 19.(1)133 180 91 (2)(i)a2= 270， 证明见解析；()an和b。见解析，能提高. 540 【分析】(1)由题意，根据全概率公式，即可求得答案 (2)()根据条件，代入数据，求出a2,b2;分别求出a+1和b,的表达式， ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效简 4 即可得an1+二bn+ 5 ,-二的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证 3 2 (i)由() 得 an+-b- 的通项公式，同理可得 an-2b+- 的通项公 5 3 式，联立可得a,和b。,求出第n次提前送达的概率，分析比较，即可得答案 【详解】(1) 每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为。， 3 设物流提前送达为事件D,则P(D)=1x2+x4+x2=-133 343533180 1 (2）()第一次随机选择，则a,=b,=c,=一 3 若第一次提前送达，概率为133，若第一次未提前送达，则概率为1-133=47 180 180180 ×3+1×47=91 ×4+1×47-191 43180270,6=6×4+」 则a2=a,×二+二× 53180540 43 4 .41 bn+1=bn (1-0x3 53 4 x}c。=1-a,-b, 则 an+1+ 5 34 15 2,+14.-7=2 2 a 1 25 15 10 5 -3 4 2 1 又a,+5b-315 5 所以+任气骨}是以弓为百项名为公比的等比数列 5 15 10 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效百 L ①， 10 同理 日n1-2bn1+ 41=3a.+1--4b-2c-246+1--4-2c）+1 24341595341592 -2+》又-2a+日日 所以-26+号}是以为首项，？为公比的等比数别 所以a-2+日6） ② ①②联立得 3”。8。)3)” 设第n次提前送达事件为D。 3 2 3 则P(D)= ,+5,+c。-,+6,+子1-,-6,)=+20,+ 4 2 5 3 4 5 3 12 15 3 随着n增大，P(D,)逐渐增大，且P(D,)=133 180 所以当n≥2时，P(0,)>P(D,)=133 180 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效筒