精品解析：河北衡水市武强县河北武强中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

武强中学2025-2026学年度下学期期中综合素质监测 高一数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. 1 D. 2. 下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点共线 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 5. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 2 6. 如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. ，间的距离为 B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 若，则 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为2 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 11. 在△ABC中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（     ） A. 若△ABC是锐角三角形，则 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若，则△ABC是钝角三角形 D. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. ，则________. 13. 已知是圆的任意弦，若，则____________. 14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知平面向量，. （1）若，求的值. （2）若，求的值. 16. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的值； （2）若，， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 19. 在中，角的对边分别为.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若是的中点，，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武强中学2025-2026学年度下学期期中综合素质监测 高一数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出和，再利用完全平方公式求解. 【详解】. 故选：A. 2. 下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理判定①，③，④，应用线面平行判断线线平行判定②. 【详解】①中可能在内，①错误； ②中与可能相交或平行或异面，②错误； ③中也可在内，③错误； ④中与也可能异面，④错误． 故选：A. 3. 在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知及平方关系可得，再由三角形面积公式求的面积. 【详解】由三角形内角的范围及，可得， 所以. 故选：A 4. 已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点共线 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量共线向量定理求解即可. 【详解】由题意，，，， 不存在唯一的实数使得，所以，，三点不共线，故A错误， 由于， 所以，则，，三点共线，故D正确. 由于， 不存在唯一的实数使得， 不存在唯一的实数使得，故BC错误， 故选：D. 5. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】在正方形中，为的中点，所以， 又因为，所以，则. 6. 如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆柱的上底面面积、圆柱的侧面面积、圆台的下底面面积、圆台的侧面面积可得答案. 【详解】圆柱的上底面面积为；圆柱的侧面面积为； 圆台的下底面面积为；圆台的母线长为， 所以圆台的侧面面积为， 则该组合体的表面积为. 故选：D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知等式化为关于边的关系式，即可求出的值. 【详解】由余弦定理，有， 由正弦定理可得， 因为，所以，即，解得. 故选：A. 8. 在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. ，间的距离为 B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两点距离公式判断A，根据复数对应点坐标写出复数，再由乘除运算及复数的性质判断B、C，由的几何表示，利用的几何意义求最值判断D. 【详解】由图知，则，A对， 由题意，，则为纯虚数，B对， ，对应点坐标为不在第一象限，C错， 令，，则，即圆心为原点且半径为， 而表示点到圆上的点的距离， 由点到圆心的距离为， 所以点到圆上的点的距离最大值为，即，D对. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为2 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】AD 【解析】 【详解】已知，，，. 选项A：若，则，得，A正确. 选项B：若，则，得，，并非唯一值，B错误. 选项C：，最大值为，C错误. 选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确. 11. 在△ABC中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（     ） A. 若△ABC是锐角三角形，则 B. 若，则△ABC为等腰三角形 C. 若，则△ABC是钝角三角形 D. 若，，，则满足这组条件的三角形有两个 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形内角关系，结合三角函数性质逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，若△ABC是锐角三角形，则，所以， 因为，且正弦函数在该区间递增，则，故A正确； 对于B，若，又，则或， 所以或，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C，若，由正弦定理得， 由余弦定理得，则角为钝角，则△ABC是钝角三角形，故C正确； 对于D，若，，，根据正弦定理，则， 所以，而正弦函数的值域为， 因此这样的角不存在，满足条件的三角形无解，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. ，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由已知， 所以 . 13. 已知是圆的任意弦，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】作，垂足为，根据数量积的定义和三角函数定义求结论. 【详解】如图：作，垂足为， 则 14. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得，由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式可求得答案. 【详解】由正弦定理及， 得， ∵，∴, ∵，∴． 由余弦定理，∴， 即 ，当且仅当 时取等号， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的面积的最大值为． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知平面向量，. （1）若，求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两向量平行的坐标关系结合二倍角公式列式求解； （2）根据向量垂直的坐标关系结合两角和的正切公式求解. 【小问1详解】 ∵，且， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 16. 在中，角所对的边分别为，且 （1）求角的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简计算可求出角， （2）利用余弦定理结合已知条件直接求解 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得，, 所以， 因为，所以， 因为，所以 【小问2详解】 因为，， 所以由余弦定理得， 所以，解得 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，点分别为棱的中点． （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线性质可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由和可知或其补角即为所求，再利用余弦定理求解即可． 【小问1详解】 连接，由已知条件，点分别为棱的中点， 故有， 又平面，平面， 所以直线平面； 【小问2详解】 由（1）可知，， 故或其补角为异面直线与所成的角． 因为，，，所以， 根据直三棱柱性质可知，，所以， ， 在中，由余弦定理得， 又，故， 即异面直线与所成的角的大小为． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A的值； （2）若，， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出； （2）（ⅰ）由正弦定理可求出的值；（ⅱ）由同角三角函数的基本关系可求出，再由二倍角的正弦和余弦公式求出，最后由两角差的余弦公式求出的值． 【小问1详解】 由正弦定理得：，化简得：， 由余弦定理得：，又，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，，又，， 由正弦定理可得：； （ⅱ）因为，所以， 所以，， 所以 . 19. 在中，角的对边分别为.已知向量，，且. （1）求角的大小； （2）若是的中点，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量平行的坐标表示可得，再根据正弦定理边化角化简求解即可； （2）由是的中点可得，再利用向量数量积的运算律可得，结合基本不等式和三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，且， 所以， 由正弦定理得， 因为在中，，所以，， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为是的中点，所以， ， 因为，所以，化简得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 即面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $