福建省学业水平合格性考试数学复习讲义第一讲（集合逻辑不等式性质）

福建省学业水平合格性考试数学复习 第一讲 集合，逻辑，不等式性质 一、集合： 1.元素与集合： （1）一个元素与集合，则或 （2）若集合中的元素都是集合的元素，则称是的子集，记作 （3）若集合中的元素都是集合的元素，且集合中存在元素不属于，则称是的真子集，记作 注：规定，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 举例：集合的子集有 ，其中真子集有 3 个； 2.常见数集：、、、、 （1）包含关系：正整数集自然数集整数集有理数集合实数集 （2）实数集与数轴：每个实数对应数轴上一个点，数轴上每一个点对应一个实数. 3.集合的运算 （1） （2） （3） 举例： ①已知全集，集合，集合，则： ； ； . ②已知全集，集合，集合，则： ； ， . 4.区间表达法：其中 （1）集合 ；（2）集合 ； （3）集合 ；（4）集合 ； （5）集合 ；（6）集合 ； 二、逻辑 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 记p，q对应的集合分别为A，B，则 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p AB p是q的既不充分条件 也不必要条件 pq且qp AB且AB 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，¬p(x0) 特称 命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，¬p(x) 三、不等式的性质 1. ； 2. ； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.. 【例题】 例1.已知集合，集合 （1）若，则 ； （2）若，则的取值范围为 ； 例2.已知集合，集合，且，求的取值范围. 解：依题意得，， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 所求实数的取值范围为. 例3.已知集合， （1）若，则 ； （2）若，则的取值范围为 ； （3）若，则的取值范围为 . 例4.填空 （1）已知为“”，为“”，则是的 充分不必要 条件 （2）“”是“”的 必要不充分 条件 （3）“菱形”是“平行四边形”的 充分不必要 条件 例5.写出下列含有量词的命题的否定： （1）已知命题为“，”，则为 ， ； （2）已知命题为“，使”，则为 ， . 例6.已知，，则的范围是 ，的范围是 ， 【作业】 一、选择题 1．下列四个选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 2．设全集，，，则(　B 　) A． B． C． D． 3.设集合，集合，则（ C ） A、 B、 C、 D、 4．若全集，且，则（ D ） A．或 B．或 C． D．或. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合补集的概念及运算，准确计算，即可求解. 【详解】 由题意，全集，且， 根据集合补集的概念及运算，可得或. 故选：D. 5．“”是“”的（ B ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．设：，：，则是成立的（ C ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知a＞b,甲：c＞d；乙：a-d＞b-c，则甲是乙的（ A ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 8．“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（ B ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 9．命题“，”的否定为(  B ) A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据含有一个量词的命题的否定方法进行判断﹒ 【详解】 “，”的否定为“，”， 故选：B﹒ 10．若，则下列不等式成立的是（ D ） A． B． C． D． 【答案】D 11．下列命题中，正确的是(　C　 ) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b C．若<，则a<b D．若a>b，c>d，则a－c>b－d 答案　C 12．已知，则的取值范围为（     C   ） A． B． C． D． 13．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________. 解析：在数轴上标出两集合如图所示， 故A∪B＝{x|x>－3}． 答案：{x|x>－3} 14．已知集合，， （1）若，则实数的取值范围为_______； （2）若，则实数的取值范围为_______. （1） （2）【答案】b＜3 【解析】 【分析】 根据集合的包含关系画出数轴即可计算. 【详解】 ∵， ∴A和C如图： ∴b＜3. 故答案为：b＜3. 15．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知，，，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】 【分析】 由可得，根据题意可得到端点的大小关系，得到不等式，从而可得答案. 【详解】 由题意 ，则 要使得，则或 解得或 故答案为：或 16．已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． 答案　(－4,2)　(1,18) 三、解答题 17．已知集合，集合，以下说法正确的是 （1）求出集合； （2）若，求的取值集合. 解：（1）原不等式组可得，即，所以. （2）若，则 ①若，则，即，成立，所以可取； ②若，则，即，为使 只需，解得，即且，则可取， 综上①②，或题意成立，即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省学业水平合格性考试数学复习 第一讲 集合，逻辑，不等式性质 一、集合： 1.元素与集合： （1）一个元素与集合，则或 （2）若集合中的元素都是集合的元素，则称是的子集，记作 （3）若集合中的元素都是集合的元素，且集合中存在元素不属于，则称是的真子集，记作 注：规定，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 举例：集合的子集有 ，其中真子集有 个； 2.常见数集：、、、、 （1）包含关系：正整数集自然数集整数集有理数集合实数集 （2）实数集与数轴：每个实数对应数轴上一个点，数轴上每一个点对应一个实数. 3.集合的运算 （1） （2） （3） 举例：①已知全集，集合，集合，则： ； ； . ②已知全集，集合，集合，则： ； ， . 4.区间表达法：其中 （1）集合 ；（2）集合 ； （3）集合 ；（4）集合 ； （5）集合 ；（6）集合 ； 二、逻辑 1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．充分条件与必要条件的相关概念 记p，q对应的集合分别为A，B，则 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p AB p是q的既不充分条件 也不必要条件 pq且qp AB且AB 3.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 4．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定 命题 名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称 命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，¬p(x0) 特称 命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，¬p(x) 三、不等式的性质 1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. . 【例题】 例1.已知集合，集合 （1）若，则 ； （2）若，则的取值范围为 ； 例2.已知集合，集合，且，求的取值范围. 例3.已知集合， （1）若，则 ； （2）若，则的取值范围为 ； （3）若，则的取值范围为 . 例4.填空 （1）已知为“”，为“”，则是的 条件 （2）“”是“”的 条件 （3）“菱形”是“平行四边形”的 条件 例5.写出下列含有量词的命题的否定： （1）已知命题为“，”，则为 ； （2）已知命题为“，使”，则为 . 例6.已知，，则的范围是 ，的范围是 ， 【作业】 一、选择题 1．下列四个选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 2．设全集，，，则(　 　) A． B． C． D． 3.设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 4．若全集，且，则（   ） A．或 B．或 C． D．或 5．“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．设：，：，则是成立的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知a＞b,甲：c＞d；乙：a-d＞b-c，则甲是乙的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 8．“四边形对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 9．命题“，”的否定为(   ) A．， B．， C．， D．， 10．若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 11．下列命题中，正确的是(　　 ) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b C．若<，则a<b D．若a>b，c>d，则a－c>b－d 12．已知，则的取值范围为（         ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|x>2}，则A∪B＝________. 14．已知集合，， （1）若，则实数的取值范围为_______； （2）若，则实数的取值范围为 . 15．已知，，，则实数的取值范围是 . 16．已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． 三、解答题 17．已知集合，集合，以下说法正确的是 （1）求出集合； （2）若，求的取值集合. 学科网（北京）股份有限公司 $