精品解析：2026年山西省晋中市榆次区九年级数学第一次模拟测试卷

2026年九年级第一次模拟测试题（卷） 数学 【温馨提示】 1．试题共8页，计23题；总分值120分；答题时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的信息填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先比较大小，再选出最小的数即可． 【详解】解：4，0，，中最小的数是． 2. 着教育数字化深入推进，信息技术广泛应用于教育，助力精准教学与个性化学习不断发展．下列与信息技术相关的图标中，为轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可． 【详解】解：∵A，C，D选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， ∴不是轴对称图形； ∵B项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， ∴是轴对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：．，， 错误， ．，，错误， ．，等式成立， 正确， ．，，错误． 4. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线的性质得到和都是直角三角形，根据全等直角三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：、 在和中 ． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组中的每个不等式，然后取其解集的公共部分即可求出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是：． 6. 某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 7. 如图，中，平分交边于点．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到、，结合角平分线的性质得到，进而得到，根据等量代换得到，据此解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 、， ， 平分， ， ， ， ， 故选项B一定成立． 8. 如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由得，由，根据两直线平行，内错角相等得，再由求出，然后根据即可求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 为弘扬传统文化，某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．这五轮次角逐中他们的得分（满分为分）如下： 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 乙 下列说法正确的是（ ） A. 甲同学获胜 B. 乙同学获胜 C. 甲乙同学并列获胜 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是统计中的平均数与方差，掌握平均数的计算和方差的意义是解题的关键．根据平均数的定义分别求出甲、乙两名同学的平均分，再利用方差公式计算出两人的方差，根据 “平均分高的同学获胜；若平均分相同，则发挥较稳定（方差小）的同学获胜” 的规则进行判断． 【详解】解：，， 两人平均分相同，比较稳定性， ， ， 甲同学发挥更稳定，故甲同学获胜， 故选：． 10. 如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，经过的路径分别是、．若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，扇形的面积，以及分割法进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴ ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 12. 每年的3月5日，既是缅怀雷锋同志的学雷锋纪念日，也是青年学子践行志愿精神的中国青年志愿者服务日．今年学雷锋纪念日某校团委号召团员积极参与志愿者服务活动，小明和小亮准备从图书馆、博物馆、养老院三个志愿服务点随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，得到小明和小亮选择志愿服务点的所有情况，找出符合题意的情况，利用概率公式求解即可． 【详解】解：令志愿服务点图书馆、博物馆、养老院分别为A、B、C， 小明和小亮选择志愿服务点的所有情况，画树状图如下： 则小明和小亮选择志愿服务点有9种情况，其中两人恰好选择同一志愿服务点有3种情况， 因此，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是． 13. 某商场销售一款运动鞋，其成本价为每双元，按成本价提高标价，然后又八折出售，则这双运动鞋的售价为________元． 【答案】 【解析】 【分析】先根据成本价求出运动鞋的标价，再根据折扣规则计算实际售价，化简后得到最终结果． 【详解】解：由题意可知，成本价为元， 按成本价提高后的标价为：， 八折出售后的售价为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，．点在斜边上，如果经过旋转后与重合，那么点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，经旋转后得到，，再利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：过点E作轴的垂线段， 的顶点的坐标为，，， ， ， 经过旋转后与重合， ，， ， ，， 点的坐标为． 15. 如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理的综合应用，解题关键是通过作辅助线构造等腰三角形的高，利用角的关系证明平行线与全等三角形，再结合中位线定理与勾股定理求解．先由等腰三角形三线合一得到平分，结合推出，进而证得；再利用证明，得到线段等量关系，结合三角形中位线定理求出相关线段长度，最后通过勾股定理计算出的长，进而求得的长度． 【详解】解：， 为等腰三角形， 过点作， 平分，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ，， ，为中点， 为的中位线， ，为中点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数与直线的表达式； （2）将直线向上平移5个单位长度后分别与轴，轴交于点D，E，连接．请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式，进而得出点的坐标，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解： 反比例函数的图象经过点， ． ．反比例函数的表达式为 设直线的表达式为， 将，代入， 得， 解得． 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线向上平移5个单位长度后分别与轴，轴交于点D，E， ∴直线的解析式为： 当时， 解得： ∴ ∵点的坐标为，点的坐标为． ∴ ∴ 18. 2025年12月，国家卫生健康委等13部门联合印发《儿童青少年“五健”促进行动计划（2026-2030年）》，某校为了更好地落实这一行动计划，持续深化青少年近视防控行动，对学生周末使用电子设备的时间进行了了解，在此基础上科学指导学生合理用眼，有效预防近视．以下是该校九年级组撰写的调查报告（不完整）．请仔细阅读，并完成相应的任务． 关于**中学九年级学生上周末使用电子设备时间的调查报告 调查主题 了解**中学九年级学生上周末使用电子设备的时间情况 调查方式 抽样调查 调查对象 **中学九年级学生 调查过程 收集数据： 设计调查问卷（如下）并采用合理的抽样方法进行调查． 关于上周末使用电子设备时间的调查问卷 你上周末使用电子设备的时间（单位：）约为多少？ A． B． C． D． E． 整理与描述数据： 将所有问卷全部收回，并就调查结果绘制成如下统计图（均不完整）： 调查结论 …… 任务： （1）本次共抽样调查了_______名学生；扇形统计图1中“E”选项所在扇形的圆心角度数为______°，并补全条形统计图； （2）若该校九年级有300名学生，请估计该校九年级上周末使用电子设备的时间大于或等于4小时的学生人数； （3）奋进小组利用同样的调查问卷对该校八年级学生进行了抽样调查，并整理数据得到如图2所示的扇形统计图．小明依据此图判断该校八年级上周末使用电子设备的时间在1小时以内的学生人数少于九年级．你同意他的看法吗？请说明理由． 【答案】（1）50；14.4； 补全条形统计图如图所示： （2）12人 （3） 解：不同意，理由如下： 因为该校八年级的总人数不确定，所以不能通过百分比直接比较． 【解析】 【分析】（1）根据A组的数据可求解人数，再由扇形的求圆心角公式即可求解圆心角度数，由抽样人数可算出D选项有10人，补全条形统计图即可； （2）根据抽样学生中大于或等于4小时的人数为2人，计算即可； （3）根据八年级的总人数确定是否比较即可． 【小问1详解】 解：根据A组的数据可知，本次共抽样调查了名学生； “E”选项所在扇形的圆心角度数为； 故答案为：50；14.4； 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校九年级上周末使用电子设备的时间大于或等于4小时的学生约为12人． 【小问3详解】 略 19. 某科技公司研发了甲、乙两款智能体，用于处理企业日常办公任务．在企业每份日常办公任务难度相同的前提下，对两款智能体进行了测试，发现智能体甲平均每小时能完成的日常办公任务数比智能体乙多10份，智能体甲完成600份日常办公任务所用时间是智能体乙完成500份日常办公任务所用时间的．求智能体乙平均每小时能完成多少份日常办公任务？ 【答案】20份 【解析】 【分析】设智能体乙平均每小时能完成份日常办公任务，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设智能体乙平均每小时能完成份日常办公任务． 根据题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：智能体乙平均每小时能完成20份日常办公任务． 20. 项目学习：测量河流的宽度 项目背景：潇河蜿蜒流经榆次，为汾河第二大支流．近年来，我区持续推进潇河生态治理与环境提升，如今两岸生态环境明显好转，已成为市民休闲散步、亲子活动、健身锻炼的重要公共场所．某校数学小组围绕“测量潇河某处的河床宽度”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 测量潇河某处的河床宽度 驱动问题 如何测量潇河某处的河床宽度 活动内容 利用三角函数的有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 如图为测量方案示意图，为河床宽度．测量时无人机悬停于点处，为无人机悬停处的水平线．即．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 通过无人机携带测绘工具测得点到的距离为，无人机观察点时俯角，观察点时俯角． 计算 ．．． 交流展示 ．．． 请根据上述数据，计算此处潇河河床的长（结果精确到．参考数据：，，，，，）． 【答案】51米 【解析】 【分析】过点作交于点．解，分别求得，即可求解． 【详解】解：过点作交于点． ∵ ，． 在中，，， ， （）． ， （）． 在中，，， ， （）． （）． 答：此处潇河河床的长约为米． 21. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 一类特殊乘法运算的研究 研究对象：两个十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘． 初探算法：例：；；； ．．．．．． 发现规律：可以将它们的积分解成“前积”和“后积”两部分．例：的积为4216，其中42看作“前积”，16看作“后积”．“前积”就是将十位数字与________相乘的积，“后积”就是个位数字相乘的积，“前积”乘以100加上“后积”就是这两个两位数相乘的积． 算法推理：两个两位数分别记为和，且，其中，，则上述规律表示为________．尝试对此规律进行证明． …… 任务： （1）请你写出一个符合以上乘法运算特征的算式并计算出结果：_______，其中“前积”为_______，“后积”为_______． （2）直接写出报告中“_______”处空缺的内容：①________，②________； （3）完成“算法推理”中的证明过程． 【答案】（1） （2）十位数字加1的数； （3） 解：因为，所以 【解析】 【分析】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）根据规律填空即可； （3）根据多项式的乘法进行计算证明，即可求解． 【小问1详解】 解：；其中“前积”为30；“后积”为24； 【小问2详解】 解：十位数字加1的数（或比它大1的数）；（语言表达合理即可） ； 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 问题情境：为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质蔬菜品种，助推村民增收致富．小颖的父母准备响应号召种植蔬菜，小颖想利用所学知识为父母找到该蔬菜的最佳上市时间，实现收益最大化． 实践操作：小颖利用假期对往年该蔬菜的市场行情和生产情况进行了调查，希望能对今年该蔬菜的最佳上市时间进行一个预测．她统计了去年当地该蔬菜种植期间（3月-9月）每千克的售价、成本价与销售时间的关系数据如下，并发现它们的关系满足我们学过的函数关系． 销售时间（）（月份） 3 4 5 6 7 8 9 售价（）（元/） 5 3 1 成本价（元/） 4 1 4 问题解决：根据上述信息，帮助小颖解决下列问题： （1）去年该蔬菜的售价（元/kg）是销售时间x（月份）的_______函数，去年该蔬菜的成本价（元/kg）是销售时间（月份）的________函数（选填“一次”或“反比例”或“二次”）； （2）求与的函数表达式； （3）去年哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本价）最大？每千克的最大收益是多少元？ 【答案】（1）一次，二次 （2）（，且为整数） （3）去年5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，每千克的最大收益是元 【解析】 【分析】（1）直接根据一次函数、二次函数的意义即可解答； （2）由表格可知，顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）先利用待定系数法求得与的函数表达式为（，且为整数）；再结合（2）可得，再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：∵销售时间每增加1个月，蔬菜的售价（元/）减少， ∴去年该蔬菜的售价（元/）是销售时间x（月份）的符合一次函数； ∵当时，函数有最小值1，另外数据具有对称性， ∴去年该蔬菜的成本价（元/）是销售时间（月份）的二次函数． 【小问2详解】 解：由表格可知，顶点坐标为， 设与的函数表达式为 ． 将，代入表达式可得：解得． 与的函数表达式为（，且为整数） 【小问3详解】 解：设与的函数表达式为， 由题意可知，当时，；当时，， ，解得 与的函数表达式为（，且为整数）； 设每千克的收益为元． 则， ，且为整数，， 当时，． 去年5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，每千克的最大收益是元． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，点是的中点，连接，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，连接． （1）猜想验证：判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探究：将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，，且． ①如图2，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，在旋转的过程中，直线与直线相交于点，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 解：四边形为菱形．理由如下： 线段平移至线段， ，， 四边形是平行四边形， 在中，，点是的中点， ， 为菱形． （2） ①，理由如下： 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， 又，， ， ． ②或 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到结论； （2）①根据旋转的性质以及菱形的性质证明即可解答．②分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别画出图形，根据菱形的性质、相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②a．∵,， ∴， ∵为菱形， ∴， ∴，即， 由上述证明得到，， 由旋转得到，为等腰直角三角形， ∴当绕B顺时针旋转时，如图：过点作交的延长线于点， ∵点是的中点，， ∴，，， 由（1）可得：为菱形， ∴，则四边形为正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∵, ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（负值舍去）； b．由①可得，如图：当绕B顺时针旋转时，相当于绕B逆时针旋转，点在的延长线上，连接， ∵且，为菱形， ∴四边形为正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由（2）①可知， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 综上，线段的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第一次模拟测试题（卷） 数学 【温馨提示】 1．试题共8页，计23题；总分值120分；答题时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的信息填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. 4 B. 0 C. D. 2. 着教育数字化深入推进，信息技术广泛应用于教育，助力精准教学与个性化学习不断发展．下列与信息技术相关的图标中，为轴对称图形的是（） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 6. 某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，平分交边于点．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 为弘扬传统文化，某校举行以“弘扬传统文化，传承优良家风”为主题的中学生知识竞赛，经过五轮次的角逐，甲、乙两名同学脱颖而出．根据规则，均分高的同学获胜，若均分相同，则发挥较稳定的同学获胜．这五轮次角逐中他们的得分（满分为分）如下： 同学 第1轮 第2轮 第3轮 第4轮 第5轮 甲 乙 下列说法正确的是（ ） A. 甲同学获胜 B. 乙同学获胜 C. 甲乙同学并列获胜 D. 无法判断 10. 如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，经过的路径分别是、．若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____． 12. 每年的3月5日，既是缅怀雷锋同志的学雷锋纪念日，也是青年学子践行志愿精神的中国青年志愿者服务日．今年学雷锋纪念日某校团委号召团员积极参与志愿者服务活动，小明和小亮准备从图书馆、博物馆、养老院三个志愿服务点随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是________． 13. 某商场销售一款运动鞋，其成本价为每双元，按成本价提高标价，然后又八折出售，则这双运动鞋的售价为________元． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，，．点在斜边上，如果经过旋转后与重合，那么点的坐标为________． 15. 如图，在中，，，点为的中点，连接并延长到点，连接．若，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，与反比例函数的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数与直线的表达式； （2）将直线向上平移5个单位长度后分别与轴，轴交于点D，E，连接．请直接写出的面积． 18. 2025年12月，国家卫生健康委等13部门联合印发《儿童青少年“五健”促进行动计划（2026-2030年）》，某校为了更好地落实这一行动计划，持续深化青少年近视防控行动，对学生周末使用电子设备的时间进行了了解，在此基础上科学指导学生合理用眼，有效预防近视．以下是该校九年级组撰写的调查报告（不完整）．请仔细阅读，并完成相应的任务． 关于**中学九年级学生上周末使用电子设备时间的调查报告 调查主题 了解**中学九年级学生上周末使用电子设备的时间情况 调查方式 抽样调查 调查对象 **中学九年级学生 调查过程 收集数据： 设计调查问卷（如下）并采用合理的抽样方法进行调查． 关于上周末使用电子设备时间的调查问卷 你上周末使用电子设备的时间（单位：）约为多少？ A． B． C． D． E． 整理与描述数据： 将所有问卷全部收回，并就调查结果绘制成如下统计图（均不完整）： 调查结论 …… 任务： （1）本次共抽样调查了_______名学生；扇形统计图1中“E”选项所在扇形的圆心角度数为______°，并补全条形统计图； （2）若该校九年级有300名学生，请估计该校九年级上周末使用电子设备的时间大于或等于4小时的学生人数； （3）奋进小组利用同样的调查问卷对该校八年级学生进行了抽样调查，并整理数据得到如图2所示的扇形统计图．小明依据此图判断该校八年级上周末使用电子设备的时间在1小时以内的学生人数少于九年级．你同意他的看法吗？请说明理由． 19. 某科技公司研发了甲、乙两款智能体，用于处理企业日常办公任务．在企业每份日常办公任务难度相同的前提下，对两款智能体进行了测试，发现智能体甲平均每小时能完成的日常办公任务数比智能体乙多10份，智能体甲完成600份日常办公任务所用时间是智能体乙完成500份日常办公任务所用时间的．求智能体乙平均每小时能完成多少份日常办公任务？ 20. 项目学习：测量河流的宽度 项目背景：潇河蜿蜒流经榆次，为汾河第二大支流．近年来，我区持续推进潇河生态治理与环境提升，如今两岸生态环境明显好转，已成为市民休闲散步、亲子活动、健身锻炼的重要公共场所．某校数学小组围绕“测量潇河某处的河床宽度”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 测量潇河某处的河床宽度 驱动问题 如何测量潇河某处的河床宽度 活动内容 利用三角函数的有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 如图为测量方案示意图，为河床宽度．测量时无人机悬停于点处，为无人机悬停处的水平线．即．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 通过无人机携带测绘工具测得点到的距离为，无人机观察点时俯角，观察点时俯角． 计算 ．．． 交流展示 ．．． 请根据上述数据，计算此处潇河河床的长（结果精确到．参考数据：，，，，，）． 21. 阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 一类特殊乘法运算的研究 研究对象：两个十位数字相同，个位数字和为10的两位数相乘． 初探算法：例：；；； ．．．．．． 发现规律：可以将它们的积分解成“前积”和“后积”两部分．例：的积为4216，其中42看作“前积”，16看作“后积”．“前积”就是将十位数字与________相乘的积，“后积”就是个位数字相乘的积，“前积”乘以100加上“后积”就是这两个两位数相乘的积． 算法推理：两个两位数分别记为和，且，其中，，则上述规律表示为________．尝试对此规律进行证明． …… 任务： （1）请你写出一个符合以上乘法运算特征的算式并计算出结果：_______，其中“前积”为_______，“后积”为_______． （2）直接写出报告中“_______”处空缺的内容：①________，②________； （3）完成“算法推理”中的证明过程． 22. 综合与实践 问题情境：为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质蔬菜品种，助推村民增收致富．小颖的父母准备响应号召种植蔬菜，小颖想利用所学知识为父母找到该蔬菜的最佳上市时间，实现收益最大化． 实践操作：小颖利用假期对往年该蔬菜的市场行情和生产情况进行了调查，希望能对今年该蔬菜的最佳上市时间进行一个预测．她统计了去年当地该蔬菜种植期间（3月-9月）每千克的售价、成本价与销售时间的关系数据如下，并发现它们的关系满足我们学过的函数关系． 销售时间（）（月份） 3 4 5 6 7 8 9 售价（）（元/） 5 3 1 成本价（元/） 4 1 4 问题解决：根据上述信息，帮助小颖解决下列问题： （1）去年该蔬菜的售价（元/kg）是销售时间x（月份）的_______函数，去年该蔬菜的成本价（元/kg）是销售时间（月份）的________函数（选填“一次”或“反比例”或“二次”）； （2）求与的函数表达式； （3）去年哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本价）最大？每千克的最大收益是多少元？ 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，点是的中点，连接，将线段平移得到线段，点，的对应点分别是点，，连接． （1）猜想验证：判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探究：将线段绕点按顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，，且． ①如图2，若，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，在旋转的过程中，直线与直线相交于点，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $