7.3离散型随机变量的数字特征讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征 题型预览 题型一 求离散型随机变量的均值 题型二 求离散型随机变量的方差与标准差 题型三 均值与方差的性质 题型四 利用均值和方差求参数 知识清单 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X )＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y )＝E(aX＋b)＝aE(X )＋b． 2．两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则E(X )＝p. 【注意】分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平 离散型随机变量均值的性质 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X )的偏差的平方(x1－E(X ))2，(x2－E(X ))2，…，(xn－E(X ))2. 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X )的偏离程度，我们称D(X )＝(x1－E(X ))2p1＋(x2－E(X ))2p2＋…＋(xn－E(X ))2pn＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X )，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X )． 【注意】(1)方差也可以用公式D(X )＝计算 (2)随机变量的方差是非负常数 离散型随机变量方差的线性运算性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X )． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 3．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 4．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 5．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 6．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 题型突破 题型一 求离散型随机变量的均值 1．（广东省东莞市2026年高三年级四月综合测试（二模）数学试题）为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设为打卡完某一类所有景点需要的天数，则的概率为__________，的期望__________. 【答案】 【分析】由题可知可取，根据排列组合计算出对应概率并计算期望即可． 【详解】由题可知可取， ， ， ，， 则的概率为， ． 2．（25-26高二下·福建福州·期中）一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】依题意知：的取值为， 故（第一次摸到红球）， （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）， （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）， （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）， 期望：， . 3．（2026·山东东营·模拟预测）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) X 0 2 4 6 P . 【分析】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”，“第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”，由，结合互斥事件、独立事件概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”， “第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”， 则，且与相互独立， 与相互独立，与互斥， 所以. （2）X的可能取值为0，2，4，6. ， ， ， . 的分布列为： 0 2 4 6 P 故. 4．（25-26高二下·湖南长沙·月考）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析；1012.5 【分析】（1）根据概率的乘法公式及加法公式求解即可. （2）判断可能的取值，分别求其概率，即可得到分布列，进而求出数学期望． 【详解】（1）记这批产品通过检验为事件， 则. （2）当时，的取值为800；当时，的取值为1600；当时，的取值为1000， 所以的可能取值为800，1000，1600. ，， . 所以的分布列为： 800 1000 1600 数学期望为：. 5．（2026·四川遂宁·二模）某科技公司开展智能算法应用能力认证考核，员工在一个考核周期内需参加3轮考核，前一轮考核通过才能进行下一轮考核，否则认证失败，3轮考核都通过即可获得认证.员工小张报名参与本次认证考核，各轮考核通过的概率依次为，且他每轮考核是否通过相互独立. (1)若小张在一个考核周期内获得认证的概率不超过，求的取值范围； (2)若，设小张在一个考核周期内考核通过的轮次为随机变量，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【分析】（1）根据题意结合相互独立事件的概率公式列不等式求解即可； （2）由题意的所有可能取值为，分别求出每一个对应的概率，即可得到分布列，再根据数学期望公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示第轮考核通过， 则小张在一个考核周期内获得认证的概率为， 所以，又因为，所以. （2）由已知可知的所有可能取值为. 则，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以. 6．（2026·四川达州·二模）某学校组织了种类丰富的社团活动.某寝室6名同学中，有2人选择了其中的2类，有3人选择了其中的3类，有1人选择了其中的4类，现从这6人中随机选出2人进行满意度测评. (1)求选出的2人选择社团种类的个数相同的概率； (2)记选出的2人选择社团种类的个数之和为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望： 【详解】（1）选出的2人选择社团种类的个数相同的概率： ， （2）由题意知，所有可能取值为：4，5，6，7 ， ， ， ， 所以的分布列为： 4 5 6 7 的期望为：. 题型二 求离散型随机变量的方差与标准差 7．（2026·河北·模拟预测）（多选）若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据概率之和为1求出判断A；然后结合均值和方差的概念计算判断B，C，应用均值性质求解新的离散型随机变量的均值判断D. 【详解】由题意得，解得，A正确； 由，B选项正确； ，故D选项正确； 因为，故C选项错误； 8．（25-26高二下·上海闵行·期中）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 【答案】 【分析】分析可知X所有可能取值为1，2，3，根据题意求相应概率，进而可得期望，再结合方差计算公式即可求解 【详解】由题意可知：的所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 所以， 所以 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.6 其中为常数，则__________. 【答案】0.4 【分析】由分布列概率之和为1，得到，再求分布列期望，进而得到方差． 【详解】解：，解得， ， ． 10．（25-26高二下·上海·期中）甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； (2)已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）先确定的取值并计算相应的概率，通过列出分布列再根据期望和方差的公式求解； （2）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4局的概率，然后利用条件概率求解. 【详解】（1）可能的取值为， ， ， ， 所以的分布列为 ， . （2）设甲队获胜为事件，比赛恰好进行4局为事件， ， ， 根据题目可知，， 代入条件概率公式可得， 化简可得 ， 令，可得 ，解得或， 所以或. 11．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，解得， 因为，解得， 所以. 12．（25-26高二下·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 【答案】(1),，事件与事件不独立. (2) 0 1 3 5 ， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系； （2）分析可知，随机变量的可能取值有，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出和的值. 【详解】（1）由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，所以， 故事件与事件不独立. （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：， 则， ， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 3 5 故. 方差 题型三 均值与方差的性质 13．（25-26高二下·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），； （2）； （3）. 所以 14．（25-26高二下·浙江舟山·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 【答案】/ 【详解】因为， 所以． 15．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此 . 因为，解得. 则，进而. 16．（25-26高二下·江苏盐城·月考）（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据期望和方差的公式及线性运算性质，求解即可. 【详解】由分布列的性质得，所以. 则离散型随机变量X的数学期望为，故A正确； 而，故B正确； 而方差为，故C正确； 可得，故D错误. 17．（25-26高二下·江苏常州·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意得，解得， 所以，， ，． 18．（25-26高二下·重庆·月考）随机变量X的取值有0，1，2，若，，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】因为，所以①， 又因为，所以，即②， 联立①②，解得，， 所以， 所以. 题型四 利用均值和方差求参数 19．（25-26高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由分布列的性质，得，所以； 所以的均值为 ，解得. 20．（24-25高二下·天津西青·期末）已知随机变量X的分布列如下图，若，则____________. x 2 3 5 P a b 【答案】 【分析】利用离散型随机变量的期望计算公式以及分布列中概率之和为1建立方程组，可解得的值. 【详解】因为，可得，解得. 故答案为：. 21．（25-26高二下·江苏南京·月考）（多选）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 0.25 则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 22．（25-26高二下·山东临沂·月考）已知随机变量的分布如下：若，则（    ） 0 1 2 A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意可得，，解得，因为，所以， 解得，所以，，所以，所以. 23．（25-26高二上·江西·期末）（多选）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得，结合期望与方差的性质，分别求得的值，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 24．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 【答案】 【分析】先根据分布列的性质可得，再计算随机变量X的期望及方差，最后再根据方差的性质可得结果. 【详解】由随机变量的分布列的性质，得，即. 再由期望公式， 所以， 由方差的性质得. 故答案为： 强化训练 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3，再分别求出对应概率并计算期望即可． 【详解】设抽取到高二年级学生的人数为，则可取1，2，3， ；， ， ． 2．（25-26高二下·山西·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 【答案】A 【分析】首先求的取值，再求其概率，最后代入期望公式. 【详解】由条件可知，，，， 所以. 3．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则（   ） 0 3 A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用分布列性质来求参数，再利用期望和方差公式计算即可求解. 【详解】由分布列的性质，所有概率和为1，得：① 由得：② 联立①②得，解得：，. 由方差公式， 可得， 代入公式得：. 4．（2026高三下·湖北咸宁·专题练习）随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（   ） X 0 1 P a b A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故，故， 故，故. 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数学期望计算公式计算，然后根据代入计算即可. 【详解】由随机变量的分布列可知， 因为，则，故D正确. 6．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）（多选）已知随机变量的概率分布表如下： 其中，，都是正数，若随机变量的数学期望，方差，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由概率分布表的性质及离散型随机变量的期望与方差公式，列出相应的数量关系解决问题. 【详解】由概率分布表性质可知，解得， 又，则， 整理得，所以. 又由概率的性质，，所以，故. 因为，所以，因为，所以. 综上，，. 7．（25-26高二下·山东济南·期中）（多选）已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用分布列的性质和期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可判断AB选项，可得出的分布列，利用方差公式可判断C选项，利用分布列的性质可判断D选项. 【详解】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 所以离散型随机变量的分布列为 故， ，BCD都对，A错. 8．（25-26高二下·浙江衢州·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 9．（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 【答案】 / 【分析】第一空：利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求出结果；第二空先求出的可能取值为，再求出的每个取值的概率，由期望的计算公式，即可求解. 【详解】“取出的个小球上的数字互不相同”记为事件， 则为“取出的个小球上有个数字相同”，∴，则． 又由题意可知的可能取值为， ，， ，． 可得的分布列如表所示， 2 3 4 5 所以. 10．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 则的值为_______. 【答案】2 【分析】由分布列的性质求，再由均值定义求，再由方差定义求结论. 【详解】由分布列的性质可得， 所以， 由表中的数据有： ， . 11．（25-26高二下·湖南长沙·月考）随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 【答案】2 【分析】利用分布列性质来求参数，再利用期望和方差公式计算即可求解. 【详解】由题意得：，解得：， 所以. 12．（25-26高二下·上海闵行·期中）袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球5个，白球2个. (1)任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； (2)任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 4 【分析】（1）分2个黑球，2个红球，2个白球结合互斥事件和事件计算公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解. 【详解】（1）设事件表示“取出的3球中恰有2球同色”， 则； 取出的球中恰有2球同色的概率为 （2）由题意可知，的所有可能取值为，，0，1，2，4， 则，， ，， ， 所以的概率分布列： 0 1 2 4 所以 13．（25-26高三下·海南·月考）黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产，一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节，只有纺线设计通过后才能进行织锦制作，且只有同时通过两个环节才能成为成品．某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品，已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为通过织锦制作环节的概率依次为． (1)求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率； (2)若已知甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节，求通过的作品为甲的概率； (3)经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意结合互斥事件和独立事件的概率公式进行求解； （2）由条件概率公式求解； （3）记三幅作品成为成品的事件分别为，则，由可取，求出对应的概率，列出分布列即可求解数学期望． 【详解】（1）记甲，乙，丙三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记甲，乙，丙三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件， 则． （2）． （3）记甲，乙，丙三幅作品成为成品的事件分别为， 则， 由可取，             则， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 离散型随机变量的数字特征 题型预览 题型一 求离散型随机变量的均值 题型二 求离散型随机变量的方差与标准差 题型三 均值与方差的性质 题型四 利用均值和方差求参数 知识清单 离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X )＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y )＝E(aX＋b)＝aE(X )＋b． 2．两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则E(X )＝p. 【注意】分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平 离散型随机变量均值的性质 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X )的偏差的平方(x1－E(X ))2，(x2－E(X ))2，…，(xn－E(X ))2. 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X )的偏离程度，我们称D(X )＝(x1－E(X ))2p1＋(x2－E(X ))2p2＋…＋(xn－E(X ))2pn＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X )，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X )． 【注意】(1)方差也可以用公式D(X )＝计算 (2)随机变量的方差是非负常数 离散型随机变量方差的线性运算性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X )． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 3．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 4．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 5．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 6．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 题型突破 题型一 求离散型随机变量的均值 1．（广东省东莞市2026年高三年级四月综合测试（二模）数学试题）为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设为打卡完某一类所有景点需要的天数，则的概率为__________，的期望__________. 2．（25-26高二下·福建福州·期中）一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 3．（2026·山东东营·模拟预测）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 4．（25-26高二下·湖南长沙·月考）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品检验费用为200元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望. 5．（2026·四川遂宁·二模）某科技公司开展智能算法应用能力认证考核，员工在一个考核周期内需参加3轮考核，前一轮考核通过才能进行下一轮考核，否则认证失败，3轮考核都通过即可获得认证.员工小张报名参与本次认证考核，各轮考核通过的概率依次为，且他每轮考核是否通过相互独立. (1)若小张在一个考核周期内获得认证的概率不超过，求的取值范围； (2)若，设小张在一个考核周期内考核通过的轮次为随机变量，求的分布列与数学期望. 6．（2026·四川达州·二模）某学校组织了种类丰富的社团活动.某寝室6名同学中，有2人选择了其中的2类，有3人选择了其中的3类，有1人选择了其中的4类，现从这6人中随机选出2人进行满意度测评. (1)求选出的2人选择社团种类的个数相同的概率； (2)记选出的2人选择社团种类的个数之和为，求的分布列和期望. 题型二 求离散型随机变量的方差与标准差 7．（2026·河北·模拟预测）（多选）若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A． B． C． D． 8．（25-26高二下·上海闵行·期中）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.6 其中为常数，则__________. 10．（25-26高二下·上海·期中）甲､乙两队进行乒乓球双打比赛，规定每局比赛必须决出胜负，采用五局三胜制，即先赢得三局比赛的队伍获胜.已知每局比赛甲队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立. (1)设，记比赛结束时的场数为，求的分布､期望和方差； (2)已知甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为，求的值. 11．（25-26高二下·福建厦门·月考）已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 12．（25-26高二下·上海·期中）《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 6 12 隐藏卡 2 5 (1)若小明从25张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否相互独立； (2)小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得1分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布，并求出的数学期望和方差. 题型三 均值与方差的性质 13．（25-26高二下·浙江台州·期中）已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 (1)求的值； (2)求； (3)求. 14．（25-26高二下·浙江舟山·期中）已知离散型随机变量的分布列如表所示，若，则__________． 0 1 15．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 16．（25-26高二下·江苏盐城·月考）（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（    ） 0 1 0.6 A． B． C． D． 17．（25-26高二下·江苏常州·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·重庆·月考）随机变量X的取值有0，1，2，若，，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 题型四 利用均值和方差求参数 19．（25-26高二下·浙江·期中）已知离散型随机变量的分布列如表，且的均值为，则下列结论正确的是（    ） 1 2 A． B． C． D． 20．（24-25高二下·天津西青·期末）已知随机变量X的分布列如下图，若，则____________. x 2 3 5 P a b 21．（25-26高二下·江苏南京·月考）（多选）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 0.25 则（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·山东临沂·月考）已知随机变量的分布如下：若，则（    ） 0 1 2 A． B．7 C．21 D．22 23．（25-26高二上·江西·期末）（多选）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 强化训练 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）东北育才学校高中部举行跳绳比赛，有8人进入决赛，其中高二年级6人，高一年级2人，随机抽取3人，则抽取到的高二年级学生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山西·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 3．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知随机变量的分布列如表所示，且满足，则（   ） 0 3 A． B． C．4 D．5 4．（2026高三下·湖北咸宁·专题练习）随机变量X的分布列如表所示，若，则等于（   ） X 0 1 P a b A．1 B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知随机变量的分布列如下表所示，设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）（多选）已知随机变量的概率分布表如下： 其中，，都是正数，若随机变量的数学期望，方差，则正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·山东济南·期中）（多选）已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·浙江衢州·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·天津红桥·一模）袋中装着标有数字的小球各个，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球上的最大数字，则取出的个小球上的数字互不相同的概率为___________；随机变量的数学期望为___________． 10．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 则的值为_______. 11．（25-26高二下·湖南长沙·月考）随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 12．（25-26高二下·上海闵行·期中）袋中有大小相同的小球10个，其中黑球3个，红球5个，白球2个. (1)任取3球，求取出的球中恰有2球同色的概率； (2)任取2球，取到1个红球得2分，取到1个白球得0分，取到1个黑球得分，求总得分的概率分布列及数学期望. 13．（25-26高三下·海南·月考）黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产，一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节，只有纺线设计通过后才能进行织锦制作，且只有同时通过两个环节才能成为成品．某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品，已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为通过织锦制作环节的概率依次为． (1)求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率； (2)若已知甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节，求通过的作品为甲的概率； (3)经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $