精品解析：山西晋中市左权县第二中学校等校2025 - 2026学年度第二学期期中学业质量监测 七年级数学(北师大版)

2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与完全平方公式，根据初中整式运算的对应法则，逐一计算判断即可得到正确结果. 【详解】解：选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故A选项计算错误； 选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故B选项计算正确； 选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故C选项计算错误； 选项D：根据完全平方公式展开，可得，故D选项计算错误. 故选：B. 2. 下列是随机事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 两个负数相乘，积是正数 C. 13个人中至少有2人生肖相同 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 3. 随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 中国四大名楼是黄鹤楼（湖北武汉）、岳阳楼（湖南岳阳）、滕王阁（江西南昌）和鹳雀楼（山西永济）．从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了概率．直接根据概率公式解答即可． 【详解】解：∵总共有4个名楼，鹳雀楼是1个， ∴从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是． 故选：D 5. 如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 6. 下列公式中，适用平方差公式化简的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，掌握好平方差公式的结构是关键． 平方差公式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：对于A选项：，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式的形式，故A正确； 对于B选项：是完全平方公式的形式，不符合平方差公式，故B错误； 对于C选项：，是完全平方的形式，不符合平方差公式，故C错误； 对于D选项：中，与不是互为相反数，不符合平方差公式，故D错误． 故选：A． 7. 如图，直线，直线分别与直线交于点A、B，点C在直线n上，且在点B的右侧，连接．若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和平角定义即得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 若三角形的面积为，底边上的高为，则三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：三角形的底边长为， 故选C． 9. 下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（ ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法： ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法： ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法： ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法： A. ②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定等知识，平移的性质，平行线的判定，垂直的定义逐步判断各情境即可． 【详解】解∶①如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ②如图， 根据三角板的特征知∶， 无法得出， ∴不能说明，故作法不正确． ③如图， 根据三角板的特征知∶， ∴，故作法正确； ④如图， 根据平移的性质知∶ ， ∴，故作法正确； 故选∶B． 10. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图， ， 根据题意，得，， ∴， ∵直尺对边互相平行， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. _____． 【答案】1 【解析】 【详解】． 12. 冬至是中国二十四节气之一，是一年中白天时间最短、夜晚时间最长的一天．据测量，四川地区冬至这天的正午太阳光线与地面的夹角约为，那么这个角的余角等于___． 【答案】##54度 【解析】 【分析】此题考查求一个角的余角，和为90度的两个角互为余角，根据余角定义求解． 【详解】解：的余角为， 故答案为：． 13. 喜欢数学的小荷说“”（即：数学是我的菜！）从组成“”的所有字母中随机抽一个字母（不分大小写），抽中“i”的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了随机抽样的概率的求法，掌握概率公式是解题的关键． 计算“”四个单词的总字母数，以及字母“i”的出现次数，再求概率即可． 【详解】解：∵“”字母总数为，字母“i”仅出现1次， ∴概率为． 故答案为：． 14. 设是实数，定义关于“”的一种运算： ，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值． 根据新定义简化得到，由给定条件求出的值，再计算即可． 【详解】解：由新定义可知，． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 15. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ． 18. 如图所示，，，射线平分． （1）当时，求的大小； （2）若射线是射线的反向延长线，当时，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，理解图示，掌握角度和差的计算方法，互余、互补的概念及计算是解题的关键． （1）根据题意可得，由角平分线的定义得到，由即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义得到，列式计算得，根据互补的关系有，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 则， ∴， ∴． 19. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． （1）请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； （2）若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【答案】（1）平方米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形变化准确表示出扩建后长方形的长和宽，再利用面积公式建立方程求解． （1） 先求出扩建后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出表达式并化简； （2） 先求出原面积与扩建后面积的差，代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【小问1详解】 解：扩建后的长为：， 扩建后的宽为：， 扩建后的面积为： 故扩建后的面积为 平方米． 【小问2详解】 解：原面积为：， 面积增加量为：， 当 时，面积增加了400平方米， 代入得，即，， ∴． 答：的值为． 20. 设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） （1）如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； （2）请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 【答案】（1） （2） 解：如图，所画转盘即为所求： 将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，此时指针指向阴影区域的可能性大小是． 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，以及概率公式，理解题意是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）结合几何概率定义，以及指针指向阴影区域的可能性大小是，将转盘面分成8个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色，即可解题． 【小问1详解】 解：根据题意，共有6块全等的扇形区域，其中3块是灰色，则指针指向灰色区域的可能性大小是； 【小问2详解】 略 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 【概念理解】规定两数之间的一种运算，记作，如果，我们叫为“雅对”．例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即． 【问题解决】 （1）根据上述规定，填空：___；____；_____． （2）计算： 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（）根据新定义求解即可； （）设，根据新定义得到，根据同底数幂的乘法得到． 【小问1详解】 解：∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； 【小问2详解】 解：设，则， 故， 则， 即． 22. 综合与探究 问题情景： 在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： （1）【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； （2）【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？并说明理由． 【答案】（1）；； （2） ． 理由如下： 如图，过点作，过点作， 因为，所以． 所以． 所以，即． 所以． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质即可求解； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，可得，结合，即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）【探究一】 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 略 23. 很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 【答案】（1）；（2）108；（3）15；（4）58 【解析】 【分析】考查了完全平方公式的几何背景及应用，熟练掌握完全平方公式的变形与几何意义是解题的关键． （1）观察图②，用整体与部分的面积关系推导等式，即大正方形面积减去空白部分面积得到阴影部分面积，或者用各部分阴影小图形面积相加来表示． （2）根据类比探究得出的公式，将与的值代入计算 ． （3）把和看作整体，利用类比探究的公式，结合已知条件计算 ． （4）设出直角三角板的两条直角边，根据线段和与面积和的条件，结合完全平方公式变形求解单块三角板面积 ． 【详解】解：（1）大正方形边长，面积，空白是两个长宽的长方形，两个小正方形的面积分别为，， ∴阴影面积； （2）由，，， ∴； （3）设，，则， ． ， ∴； （4）设，，则 ． ，即 ． ∵， ∴， 解得 ． ∴一块直角三角板面积 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是随机事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 两个负数相乘，积是正数 C. 13个人中至少有2人生肖相同 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 3. 随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 中国四大名楼是黄鹤楼（湖北武汉）、岳阳楼（湖南岳阳）、滕王阁（江西南昌）和鹳雀楼（山西永济）．从中随机选取一个名楼，刚好抽到“鹳雀楼”的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 5. 如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 下列公式中，适用平方差公式化简的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，直线，直线分别与直线交于点A、B，点C在直线n上，且在点B的右侧，连接．若，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 8. 若三角形的面积为，底边上的高为，则三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 9. 下列四个情境中，利用一副三角板完成作图要求正确的是（ ） ①要求：根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”作． 作法： ②要求：过直线外一点P作这条直线的平行线． 作法： ③要求：过直线外一点P作这条直线的垂线． 作法： ④要求：根据“同位角相等，两直线平行”作． 作法： A. ②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 10. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. _____． 12. 冬至是中国二十四节气之一，是一年中白天时间最短、夜晚时间最长的一天．据测量，四川地区冬至这天的正午太阳光线与地面的夹角约为，那么这个角的余角等于___． 13. 喜欢数学的小荷说“”（即：数学是我的菜！）从组成“”的所有字母中随机抽一个字母（不分大小写），抽中“i”的概率为_____． 14. 设是实数，定义关于“”的一种运算： ，若，则___________． 15. 如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 已知，求的值． 18. 如图所示，，，射线平分． （1）当时，求的大小； （2）若射线是射线的反向延长线，当时，求的大小． 19. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． （1）请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； （2）若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 20. 设置一个转盘，其盘面被分为若干个全等的扇形区域．用力转动转盘，转盘停止后，指针指向每个区域的可能性都相等（当指针指向两个区域的分界线时，规定为它指向的是其右边相邻区域） （1）如图1，如果转盘面被分成6个全等的扇形区域，其中3个区域涂成灰色．用力转动转盘，当转盘停止后，求指针指向灰色区域的可能性大小； （2）请你在图2中画一个转盘，用力转动转盘，当转盘停止后，使得指针指向阴影区域的可能性大小是． 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 【概念理解】规定两数之间的一种运算，记作，如果，我们叫为“雅对”．例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即． 【问题解决】 （1）根据上述规定，填空：___；____；_____． （2）计算： 22. 综合与探究 问题情景： 在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： （1）【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； （2）【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？并说明理由． 23. 很多同学在学习整式乘法及乘法公式时，容易机械记忆．为了帮助同学们直观理解公式的几何意义，老师设计了一节“拼图与公式”实验课： 【知识重现】 观察图①，用等式表示图中图形面积的运算： 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分的面积为__________． 【拓展应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则__________． （3）若实数满足，求． 【学习致用】 （4）如图③，两块完全相同的直角三角板与按图示放置，点在同一直线上．连接，已知，且，求一块直角三角板的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $