精品解析：山西省晋中市左权县2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

山西省晋中市左权县2024-2025学年 七年级下学期4月期中考试数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷　选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方运算．解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和幂乘方运算法则是，解题的关键． 根据积的乘方运算法则和幂乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 2. 下列事件中为必然事件的是（ ） A. 山西队某球员罚球两罚全中 B. 潜水员深潜海底捞到月亮 C. 从只装有3个白球的袋子中摸出1个球，是白球 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解：A． 山西队某球员罚球两罚全中是随机事件，故不符合题意； B． 潜水员深潜海底捞到月亮是不可能事件，故不符合题意； C． 从只装有3个白球的袋子中摸出1个球，是白球是必然事件，故符合题意； D． 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故不符合题意； 故选：C． 3. 如图，直线相交于点，过点作，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，由对顶角相等得到的度数，由垂线的定义得到的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 山西晋中有深厚的面食文化，形状各异、风味独具的面食，每一样都承载着当地独特的历史文化．到山西晋中旅游的赵小鸣一家，为中午吃刀削面、桃花面、一根面、剔尖面中的哪种面而发愁，在一个不透明的口袋中有个完全相同的小球，赵小鸣把刀削面、桃花面、一根面、剔尖面分别标号为，，，，随机摸出一个小球，则中午吃桃花面的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式，由一个不透明的口袋中有个完全相同的小球，赵小鸣把刀削面、桃花面、一根面、剔尖面分别标号为，，，，直接利用概率公式求解即可求得答案，解题的关键是掌握概率公式的应用． 【详解】解：由题意得，中午吃桃花面的概率是， 故选：． 5. 3月底至4月初，是平遥襄垣万亩梨园梨花绽放的绝佳观赏时节．梨花的花粉直径为，已知，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 6. 如图，给出下列条件，其中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定逐项判断即可，熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，是解此题的关键． 【详解】解：A、根据，利用同位角相等，两直线平行，可以判定，故A不符合题意； B、不能能判定，故B符合题意； C、∵，, ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据，利用同旁内角互补，两直线平行，能够判定，故D不符合题意． 故选：B． 7. 从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，图①的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图②平行四边形的长为，高为，因此面积为，由图①和图②阴影部分的面积相等，即可得出等式． 【详解】解：， ∵等腰梯形的高为，可得图②平行四边形的高为，面积为， ∴， ∴， 故选：B． 8. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 B. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上一面的点数是2 D. 从一副除去大小王扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近上下波动，即这个实验的概率大约为，分别计算四个选项的概率，大约为的即为正确答案． 【详解】解：A、在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的可能性为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的可能性为，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上一面的点数是2的可能性为，符合题意； D、从一副除去大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的可能性为，不符合题意； 故选：C． 9. 定义，例如．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，多项式乘多项式，根据定义将变形为，再按照多项式乘多项式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选D． 10. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故选：D． 第Ⅱ卷　非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了涉及负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查几何概率．根据几何概率的求法：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为， 其中阴影部分面积为， ∴飞镖停留在阴影部分的概率是， 故答案为：． 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，求一个数的平方根，根据完全平方公式把已给等式左边展开，进而得到，求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500 发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435 发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是__________．（结果精确到0.01） 【答案】0.97 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可． 【详解】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97， 故答案为：0.97． 15. 将一副直角三角尺按如图所示放置，下列结论：；；如果，那么；如果，那么．其中正确的有______．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，同角的余角相等，根据同角的余角相等，即可判断结论，通过角度和差即可判断，通过平行线的性质即可判断，通过平行线的判定即可判断，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， 即，故正确； ∵，， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）．（用乘法公式简便计算） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）7959． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘除，后算加减，即可解答； （2）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （3）利用单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （4）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】求出字母“”所在的区域的圆心角度数，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：由图知字母“”所在的区域的圆心角度数为， ∴当转盘停止转动后，指针落在字母“”所在的区域内的概率是，即中奖的概率为． 【点睛】本题考查几何概率求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 18. 如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点均在格点上． （1）过点作的平行线； （2）过点作线段的垂线，交于点； （3）点是线段与网格线的交点，连接，比较线段的大小：_____，理由是______． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）图见详解，，垂线段最短． 【解析】 【分析】此题考查了作图-平行线；作图-垂线；线段的长短比较； （1）根据作图-平行线结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线结合题意画图即可求解； （3）根据垂线段最短比较线段大小即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图， 由图可知，，理由是：垂线段最短． 19. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去小括号，然后合并同类项，再计算多项式除以单项式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 20. 将下列解答过程补充完整： 已知：如图，，，试说明：． 解：因为， 根据“______”， 所以______． 又因为， 根据“______”， 所以______． 根据“______”， 所以______． 根据“______”， 所以． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质证明即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：因为， 根据“两直线平行，同旁内角互补”， 所以． 又因为， 根据“同角的补角相等”， 所以． 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以． 根据“两直线平行，同位角相等”， 所以． 21. 在一个不透明的盒子里只装有红、白、黑三种颜色的球，每个球除颜色外完全相同，其中有红球3个，白球6个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子里其中一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，写出一种可行的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，方案见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据摸到白球的概率结合概率计算公式求出球的总数，进而求出黑球数，最后根据概率计算公式求解即可； （2）再保证红球数量不变的情况下，摸到红球的概率为，那么球的总数为15，据此可减少3个白球或减少3个红球即可． 【小问1详解】 解：（个）， ∴盒子中有黑球（个）． ∴（任意摸出一个球是黑球）． 【小问2详解】 解：能．方案如下： 可以将盒子中的白球拿出3个，这时（任意摸出一个球是红球） 22. 综合与实践 借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 如图①，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张． （1）用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图②，用两种方法计算这个长方形的面积，可以得到一个等式，请你写出该等式：______； （2）观察图③，请你写出代数式之间的数量关系：______； （3）如图④，某学校有一块四边形空地于点．该校计划在三角形和三角形区域内种花，在三角形和三角形区域内种草．经测量，两个种花区域的面积和为，求两个种草区域的面积和． 【答案】（1）（）（； （2）； （3）11． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图②的面积即可； （2）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图③的面积即可； （3）设，，由题意得，，根据，求出的值即可． 【小问1详解】 解：图②整体上是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵拼成图②的六个部分的面积和为， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图③整体上是边长为的正方形，因此面积为， ∵拼成图③的四部分的面积和为， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设，， 由题意得，，即， ∵， ∴， 解得， ∴两个种草区域面积和为． 23. 综合与探究 【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想． 【提出问题】有这样一个问题：如图①，已知直线，直线分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线的左侧，点是直线上的一个动点（不与点E，F重合），设．当点在线段上运动时，试探索之间的数量关系． 【解决问题】 （1）张睿的解题思路是：“过点作……”请你用直尺和铅笔在图①中作出这条辅助线，并帮助张睿完成推理过程． 【类比探究】 当点在线段外运动时，（1）中得到的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． （2）如图②，当动点在线段之外且在直线的上方运动（不与点重合）时，之间满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）请用直尺、铅笔在图③中画出动点在线段之外且在直线的下方运动（不与点重合）时的图形，并仿照图①，图②，标出图③中的，此时，之间满足怎样的数量关系？请直接写出结论：______． 【应用拓展】 （4）如图④所示，，请直接写出图中之间满足数量关系：______． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析；（4），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （2）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （3）过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （4）过点作，过点作，根据平行线性质即可得出结论； 【详解】解：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， （4）如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西省晋中市左权县2024-2025学年 七年级下学期4月期中考试数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷　选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中为必然事件的是（ ） A. 山西队某球员罚球两罚全中 B. 潜水员深潜海底捞到月亮 C. 从只装有3个白球的袋子中摸出1个球，是白球 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 3. 如图，直线相交于点，过点作，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 4. 山西晋中有深厚的面食文化，形状各异、风味独具的面食，每一样都承载着当地独特的历史文化．到山西晋中旅游的赵小鸣一家，为中午吃刀削面、桃花面、一根面、剔尖面中的哪种面而发愁，在一个不透明的口袋中有个完全相同的小球，赵小鸣把刀削面、桃花面、一根面、剔尖面分别标号为，，，，随机摸出一个小球，则中午吃桃花面的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 3月底至4月初，是平遥襄垣万亩梨园梨花绽放的绝佳观赏时节．梨花的花粉直径为，已知，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，给出下列条件，其中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图①），然后拼成一个平行四边形（如图②），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. B. C. D. 8. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是剪刀 B. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上一面的点数是2 D. 从一副除去大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 9. 定义，例如．则（ ） A. B. C. D. 10. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷　非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是_______． 13. 已知，则的值为______． 14. 2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据： 种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500 发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435 发芽频率 0933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974 根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是__________．（结果精确到0.01） 15. 将一副直角三角尺按如图所示放置，下列结论：；；如果，那么；如果，那么．其中正确的有______．（填序号） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）．（用乘法公式简便计算） 17. 某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，求其中奖的概率． 18. 如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点均在格点上． （1）过点作的平行线； （2）过点作线段的垂线，交于点； （3）点是线段与网格线交点，连接，比较线段的大小：_____，理由是______． 19. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 20. 将下列解答过程补充完整： 已知：如图，，，试说明：． 解：因为， 根据“______”， 所以______． 又因为， 根据“______”， 所以______． 根据“______”， 所以______． 根据“______”， 所以． 21. 在一个不透明的盒子里只装有红、白、黑三种颜色的球，每个球除颜色外完全相同，其中有红球3个，白球6个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子里其中一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，写出一种可行的方案；若不能，请说明理由． 22. 综合与实践 借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 如图①，有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张． （1）用1张A型卡片，2张B型卡片，3张C型卡片拼成一个长方形，如图②，用两种方法计算这个长方形的面积，可以得到一个等式，请你写出该等式：______； （2）观察图③，请你写出代数式之间的数量关系：______； （3）如图④，某学校有一块四边形空地于点．该校计划在三角形和三角形区域内种花，在三角形和三角形区域内种草．经测量，两个种花区域的面积和为，求两个种草区域的面积和． 23. 综合与探究 【问题情境】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想． 【提出问题】有这样一个问题：如图①，已知直线，直线分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线的左侧，点是直线上的一个动点（不与点E，F重合），设．当点在线段上运动时，试探索之间的数量关系． 【解决问题】 （1）张睿的解题思路是：“过点作……”请你用直尺和铅笔在图①中作出这条辅助线，并帮助张睿完成推理过程． 【类比探究】 当点在线段外运动时，（1）中得到的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． （2）如图②，当动点在线段之外且在直线的上方运动（不与点重合）时，之间满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）请用直尺、铅笔在图③中画出动点在线段之外且在直线的下方运动（不与点重合）时的图形，并仿照图①，图②，标出图③中的，此时，之间满足怎样的数量关系？请直接写出结论：______． 应用拓展】 （4）如图④所示，，请直接写出图中之间满足的数量关系：______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$