7.1.2 全概率公式第1课时教案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

《7.1 条件概率与全概率公式》第 1 课时教案 学科 数学 备课 时间 2026 年 4 月 20 日 主备 保亭中学高二数学组 教学内容 班级 14班 课时 1 7.1.2 全概率公式（1） 学情分析 学生在必修课程中已经学了随机事件、古典概型以及事件的独立性，具备基本的概率计算基础。上节课又学习了条件概率的相关知识，本节课从具体实例归纳出全概率公式存在一定的难度，部分学生可能对复杂的文字描述类概率问题感到畏惧，需要通过具体的情境和图形辅助来降低理解难度。 教材分析 本节内容选自人教 A 版高中数学选修三第七章第一节。教材通过“摸球”和“餐厅选择”等生活化案例，自然过渡到全概率公式的学习，展示了如何将复杂事件分解为互斥事件的并集来求解。本节内容是后续学习贝叶斯公式、离散型随机变量及其分布列的基础，在概率论体系中起着承上启下的关键作用。 学习目标 识记与理解 是什么 1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式的过程与方法; 2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率（教学重点、难点） 3.记住全概率公式的形式： ， 两两互斥，且 . 理解与分析 为什么 1.辨析条件概率与积事件概率的区别与联系，明白乘法公式 是条件概率定义的直接推论。 2.分析全概率公式的逻辑根源：任何复杂事件的发生，必然伴随着某个“原因”的发生，因此的概率等于所有可能原因导致发生的概率之和。 应用与实践 怎么样 1. 能够构建全概率模型，理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率（重点、难点）。 2. 通过绘制树状图或者韦恩图直观展示事件之间的关系，辅助进行概率推导和计算，提升数形结合能力。 还能怎么样 1. 能结合生活实际场景（如AI测试、质量检测、抽奖等），自主设计简单的全概率问题并求解，实现知识迁移应用； 2. 初步辨析全概率公式与条件概率的综合应用场景，灵活运用树状图等工具分析复杂概率问题中的事件关系，优化解题思路，为后续学习贝叶斯公式等奠定基础。 教学准备 多媒体课件、课前学习任务单等 教学流程 1 诱学（点燃学习兴趣） 情景引入（3分钟）： 一个综艺节目中，有编号为1、2、3的三扇门，门后分别藏有两只山羊和一辆跑车作为奖品，门后的奖品主持人知道，参赛选手不知道，选手可以从三扇门中任选一扇门，得到相应的奖品.假设该选手选中了1号门，主持人将未选的两扇门中打开一扇后面是山羊的门(例如3号门），如果你是选手，为了抽中跑车，现主持人给你一次改变选择的机会，你是否改变选择，将选中的1号门换为2号门? 活动预设：学生可能会产生分歧，有的认为要换门，有的认为不需要换。教师不急于给出答案，而是指出：“要解决这个问题，需要用到另一种新的数学工具，这就是我们今天要学习的——全概率公式。 通过这种贴近生活的悬念设置，瞬间点燃学生的好奇心，将抽象的数学概念与真实的决策场景联系起来，激发内驱力。 2 导学（点亮学生困惑） 复习旧知与自主探究（2分钟） 1. 复习旧知： ①条件概率公式： ②若 互斥，则 ③概率的乘法公式： = 如果和B互为对立事件，则 2.问题探索（教材 P49“思考"） 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出一个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为. 那么第2次摸到红球的概率有多大？ 3 自学（教师巡视指导） 学生深度阅读与概念建构（8分钟） 1.学生带着问题深入阅读教材 P49 的思考。 追问1：“第2次摸到红球”，这个事分几步完成？ 追问2：如何用数学符号表示事件“第1次摸到红球”，“第1次摸到蓝球”，“第2次摸到红球”？ 追问3：“第1次摸到红球”与“第1次摸到蓝球”这两个事件是什么关系？ 2.小组交流：两人一小组合作交流计算结果和思考过程。 自学指导：让学生尝试画出第一次摸球结果的树状图或韦恩图，思考第二次摸到红球的概率是如何由第一次的结果决定的。 教师巡视课堂，重点关注那些在题目理解上有困难的学生，给予个别点拨，提示他们可以用画图的方式辅助理解。 4 讲学（点亮学生困惑） 成果展示与深度点拨（全概率公式的初探）（8分钟） 1.公式构建：结合教材 P49“思考”摸球问题。教师分析推导过程：事件 可以分解为两种互斥情况：第一次摸到红球且第二次摸到红球（），第一次摸到蓝球且第二次摸到红球（），即=.利用概率的加法公式和乘法公式可得 2.归纳总结全概率公式： 前提： 两两互斥，且 公式： “全”考虑了导致事件B发生的所有可能原因（即样本空间的一个完备划分 ）. 它告诉我们，要计算一个复杂事件的概率，必须全面考察各种情况，不能有遗漏. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一，教师强调关键词：“互斥”。 5 评学（点化知识迁移） （一）例题讲解（6分钟）+课堂练习（10分钟） 例4. 某学校有A,B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 目标：应用全概率公式计算概率。 （二）师生共同归纳利用全概率公式求复杂事件的概率的一般步骤： 1. 设事件：将样本空间拆分成若干个两两互斥的事件，分别命名为A_i；命名结果事件的概率事件为事件B； 2.写概率：由已知写出每一原因发生的概率(即P(A1)，P(A2)…… P(An ) ),及每一原因对结果的影响程度(即P(B|A1 ) ,P(B| A2)….. P(B|An ))； 3.代公式：代入全概率公式求解结果事件发生的概率(即P(B)). （3） 课堂练习 1.某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的40%，优质率为80%，乙品牌的手机优质率为90%．某人从该店中随机购买一部手机，能“买到的是优质品”的概率为多少？ 预期：60%左右 学生能列出算式并计算出 0.86. 2.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率. 预期：50% 学生能列出算式并计算出 0.7375。 评价方式：学生评价和教师评价相结合，教师选取典型错误（如混淆 与 ）进行全班点评，及时纠正思维偏差。 6 小结 师生共同或者提问学生小结本节课所学的内容（2分钟）： 1. 全概率公式的推导过程（基于概率加法公式和概率乘法公式）； 2. 全概率公式的形式、适用前提（样本空间划分的互斥性）； 3. 解题核心步骤（设事件—写概率-代公式求概率）。 板书 7.1.2 全概率公式 1. 条件概率公式： 2. 若 互斥，则 3.概率的乘法公式： 4. 全概率公式 前提： 两两互斥，且 公式： 5.例题4 作业设计 一、基础达标（必做） 1.教材P52习题7.1第4题. 2.学校举行羽毛球、乒乓球和跳绳三项比赛，学生甲只能参加其中一项比赛，他参加羽毛球、乒乓球和跳绳比赛的概率分别为0.4、0.3、0.3，若他在羽毛球、乒乓球和跳绳比赛中获得冠军的概率分别为0.6、0.4、0.5，则该生获得冠军的概率为多少？ 二、能力提升（选做） 3.2024年末 DeepSeeKR1一经发布就火爆全球，其科技水准对标OpenAIGPT4.在对DeepSeeK进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，DeepSeeK的回答被采纳的概率为90%，出现语法错误时，DeepSeeK的回答被采纳概率为50%.已知输入的问题中出现语法错误的概率为5%.求DeepSeeK的回答被采纳的概率. 4. 查阅资料，了解“蒙提霍尔问题”（三门问题），尝试用全概率的知识解释为什么换门会增加获奖概率，并写下你的分析过程（200 字左右）。 教学反思 1 学科网（北京）股份有限公司 $