山西晋城市部分学校2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试卷

保密★启用前 2025-2026学年第二学期高一年级期中考试试题 数学 (考试时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知向量a=(-1,2),万=(2，-1)，则3a-b=() A.(-5,5) B.(-5,7) C.(-1,7) D.(-1,5) 2.设{，已2}是表示平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是() A.a=e+2e,,b=-e+2e2 B.a=-g-可6=28+8 c.a=3g+2马6=-6g-可 D.a=-6+g,6-6+2g 3.设复数2+i是关于x的方程x2-ax+b=0(a,b∈R)的一个根，则ab=() A.20 B.15 C.10 D.8 4.已知a,b,c是空间中的三条不同直线，下列说法中错误的是() A.若a∥b,bIc,则ahc B.若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C.若，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D.若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 5.已知a=2,6-(G) ,c=log},则ab,c的大小关系为（) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.b>c>a 6.函数y=2一2的图象大致为（） 高一·数学第1页共4页 ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 7.已知函数f()=3sin@x+写)(0>0)在[0，刘上恰有3个零点，则0的取值范围是() A. B. c[) [哈) 8.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=6,AC=8,N为边BC的中点，则N.M=() A.13 B.14 C.20 D.25 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中正确的是() A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B.六条棱长均相等的四面体是正四面体 C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D.长方体是直四棱柱，也是正四棱柱 10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结 论正确的是() 高一·数学第2页共4页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆柱、圆锥、球的表面积之比为6：(1+V5):4 11.对于△ABC,有如下判断，其中正确的判断是() A.若a=8,b=10,B=60°，则符合条件的△ABC有两个 B.若点G为△ABC的重心，则GA+GB+GC=O AB C.若点P为△ABC所在平面内的动点，且AP=入 AC ∈(0，+o), AB cosB 则点P的轨迹经过△ABC的垂心 D.已知O是△ABC内一点，若2OA+OB+30C=0,S△4oc,SAMc分别表示 △AOC,△ABC的面积，则S。Aoc:SMBc=1:6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在正四棱台ABCD=A,B,CD中，AB=2AB=8,A4=√11，则该棱台的体积为 13.△ABC中，角A的平分线交边BC于点D,AB=3,AC=2,∠BAC=60°，则角平分线AD的 长为 14.已知复数z满足z-1=1,则z+2+41（i是虚数单位)的最小值为、 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 15.已知函数f(x)=2 sin xcosx+23cos2x√3， (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)求f(x)>1在(0，元)上的解集， 高一·数学第3页共4页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 16.己知复数z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,其中m∈R. (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围； (⊙)若z是纯虚数，求己的模. 17.已知向量a,6满足|a=2,1b=1,且a,6的夹角为60°. (1)求[a-b1; (2)求在a上的投影向量；（用a表示） (3)若向量2ta+76与向量a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,C, sin2 A+sin2B=(2sin Asin B+sin C)sin C. (1)求C; (2)若D是边AB的中点，且CD=2,求△ABC面积的最大值. 19.如图所示，在△ABC中，AB=1,AC=2,∠BAC=120°，BD=2DA,CE=2EB (1)用AB,AC表示CD,CB,AE; (2)若九∈(0，)，C乎=1CB,是否存在实数2使得CDLA亚？若存在，求出的值；若不存 在，说明理由； (3)若O是△ABC内一点，且满足OC+20B+mOA=0(m>0),求OA.oC+20A.OB的最小 值 高一…数学第4页共4页 Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效 2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学（答案） 题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 答案 Q 0 A 0 0 BC CD 题号 11 答案 BCD 1.B 【详解】因为日=(-1,2)，b=(2,-1), 所以3a-b=3(-1,2)-(2,-1)=(-3,6)-(2,-1)=(-5,7). 2.C 【分析】根据平面内不共线的两个向量可以作为一组基底，逐项判断即可. 【详解】e,e,是平面内所有向量的一组基底，所以e,与e,不共线 对于A,假设a=e+2e,与b=-e+2e,共线，则存在实数入，使g+2e2=A(-e+2e),所 以1s7 2入=2，无解，所以假设不成立， 所以a=日+2e,与b=-e+2e2不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B,侵设后=-日-可与6-9+8共线，则存在实数不，使--6=仔+日月 1=1, 所以{2 ,无解，所以假设不成立， 1入=-1 所以a=-g-g与6=18 二日+e,不共线，所以能作为基底，所以B错误； -1一 对于C,因为-2=-23g+28=6=-6g-8, 2 所以=3g+8与6=-6g-g共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D,假设后=-8+8与6=g+28,共线，则存在实数1，使-+8=8+29)，所 门 3 以{ s、1 13,无解，所以假设不成立，所以后=日9+。与6=日+26不共线 2入=1 所以能作为基底，所以D错误， 3.A 答案第1页，共2页 ▣紫▣ Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 【详解】由复数2+i是关于×的方程x2-ax+b=0(a,b∈R)的一个根， a=(2+i)+(2-i)=4 得复数2-是该方程的另一个根，则 b=(2+i)(2-i)=5’ 所以ab=20 4.D 【详解】对于A,由平行的传递性知A正确； 对于B,如图①，在正方体ABCD-AB,C,D,中， D A B B ① 当AD1AB,AB⊥AA时，AD与AA相交； 当AD1AB,AB⊥BC时，ADI/BC; 当AD1AB,AB1CC,时，AD与CC,异面； 所以由a1b,b1c可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确； 对于C,若a，b分别在两个相交平面内，如图所示， a- a b 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确； 对于D,如图①，在正方体ABCD-AB,C,D,中， AB与BC相交，C,D,与BC异面，此时AB与C,D,平行； AB与BC相交，AA与BC异面，此时AB与AA相交； AB与BC相交，DD,与BC异面，此时AB与DD,异面； 所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣H 5.A 【详解】由题可得：a=2>2°=1,0<b 8. c=10923 <10g,1=0,故a>b>c. 6.A (详解1函数7广2中，2州-240，解得1，函数的定义域为x用切， 由己22得函数y产 -X 一是奇函数，其图象关于原点对称，排除BC; 当0<x<1时，y=,×。<0,排除选项D,选项A符合要求，故选A 2*-2 7.D 【详解】因为x∈0，则，所以ux+∈ ,m+ .It 55 5 因为f(刘在10，m上怡有3个零点，所以3m≤m+<4n,解得'sw<19 5 8.D 【分析】根据向量的线性运算、向量数量积的运算及三角形外接圆的性质求解即可 【详解】因为N为边Bc的中点，根据向量的平行四边形法则可知，AN=(AB+AC), 2 所以AN·AM)AB+AC:AM三AB·AM+ACAM B 取边AB中点D,连接MD,则MD⊥AB,所以AB·DM=0. ·1 所以AB·AM=AB·(AD+DM)=AB·AD+AB·DM=AB二AB+AB·DM 340-x6=18 2 同理可得，AC·A=(AC)-子×8=32. 2 所以AmAM=(aAw+AGAM)=2×19+32)=25 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 9.BC 【分析】依据棱柱定义判断选项A,依据正四面体的定义判断选项B,一个n棱锥的各个侧 面都是等边三角形时，顶角之和可以60°n<360°，判断C,依据正四棱柱的定义判断选项D 【详解】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行的几何体是棱柱.而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误， 四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B 正确： 一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和60°n<360°，即n<6,故C正确； 当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱，若长方体相对面没有正方形时，则不是正四 棱柱，D错误 10.CD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断， 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为2πR·2R=4nR2,A错误； 圆锥的母线长1=√R2+(2R)2=√5R,则侧面积为nR/=V5nR2,B错误； 球的表面积为4πR2,所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为2mR2+4nR2=6nR2,圆锥的表面积为πR2+V5nR2=(1+V)nR2, 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为6nR2:(1+√5)πR2:4nR2=6:(1+V5):4,D正确」 故选：CD 11.BCD 【分析】对于A,根据正弦定理求得snA=2 ，再结合a<b即可判定；对于B,根据重心 5 为中线交点判断即可；对于C,根据AP.BC=0判断；对于D,设AC,BC的中点分别为E,D, 进而得0E=1DE,再结合面积公式判断。 sin4 sin9，即8=10 【详解】对于A,由正弦定理可知日=。 sinA sin60° 解得sinA=2V3 5 又a<b,所以A<B=60°，故A只有一解，所以三角形一解，故A错误； Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ L 对于B,因为点G为VABC的重心，设AC中点为D,则GB=-2GD GA+GB+GC=(GA+GC)+GB=2GD+GB=0,故B正确； AB 对于C,因为AP=入 AC ABcosB ACcOsC AB·BC AC·BC ABBC cos(n-B)ACBCcosc 所以AP·BC ABCOSB AC cosc ABcosB =d(-8c+8c=0, 所以AP⊥BC,所以点P的轨迹经过VABC的垂心，故C正确； 对于D,因为20A+0B+30C=0,所以2(0A+0C)+(0B+0C)=0, 设AC,Bc的中点分别为E,D,如图，则20E+0D=0,即0E=1DE, 所以S△Aoc= 1x1 3 S64ae3,S6ane石SaA6故D正确 D 12. 125/6 3 【分析】根据正棱台的特征，构造直角三角形，解出正棱台的高，代入公式即可求解. 【详解】如图所示： ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 L 取正棱台上下底面中心，连接0，A,0A,过点A,作00，的平行线，交A0于点E, 因为AB=2AB,=8,所以0，A=2√2,0A=4√2， 在直角三角形AAE中，A,E=V11-8=√3， 故正四棱台的高为， 根据棱台体积计算公式，V-号s+s4V5s)=（64+16+32)-125 13.6v6 5 【分析】利用等面积法列出方程求解即可. 【详解】依题意，设AD=X,LBAD=∠CAD=1∠BAC=30. 2 由S,BAo+S,cao=S,BAe,可得2x3xsin30°+×2xsin30°=X2x3sin60'. 2 2 解得x=V3 14.4 【分析】利用复数的几何意义进行求解， 【详解】复数z满足z-1=1，则复数z对应的点Z(x,y)在以c(1,0)为圆心，半径r=1的圆 上， 而z+2+41=z-(-2-4i)表示圆上的点2(xy)到定点A(-2,-4)的距离d, 圆心c到定点4距离为：d,=√(1+2)2+(0+4)2=5 Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效 、/ L 所以z+2+4i1(i是虚数单位)的最小值为：d。=5.1=4. 15.(1) 2o3ugd 【分析】(1)结合倍角公式和辅助角公式化简解析式，由正弦函数周期性求最小正周期； (2)结合(1)，根据正弦函数单调性和“整体法”解三角不等式即可. 【详解】(1)因为f(x)=2 sin xcosx+2V3cos2x-√3 =sin2x+V3(1+cos2x)-v3 =sin2x+√3cos2x 2n) 所以最小正周期7=2n =π. 2由>1得2nx+)>1sn2x+ 因为ea,所以2x+5气传） 则<2x+<5,解得0<x< 36 4 日，解得 13m<2x+<7n <X<I 12 所以f(x)>1在(0，)上的解集是 16.(1)m=1或m=2. a @159 【分析】(1)根据虚部等于0解方程即可； (2)根据实部小于0，虚部大于0解不等式即可； (3)根据实部等于0，虚部不等于0求得m=:,再求对应复数的模即可。 【详解】(1)解：因为z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i是实数， 所以，z的虚部为0，即m2-3m+2=(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2. ▣紫▣ Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ L 2m2-3m-2<0 (2)解：因为z对应的点在第二象限，则实部小于0，虚部大于0，即： m2-3m+2>0’ 解第一个不等式得--<m<2,解第二个不等式得m>2或m<1, 取交集得m∈ 所以实数m的取值范围为 2m2-3m-2=0 (3)解：因为z是纯虚数，所以实部等于0，虚部不等于0，即： m2-3m+2≠0 解得m=- 2 ，此时2=0+15 =15 新以 17.(1)1a-b=√3 2)a 【分析】(1)利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解； (2)利用投影向量的计算公式计算求解； (3)结合已知条件构造不等式，解不等式求实数t的取值范围 【详解】(1)已知1a=2,1b=1,且a,6的夹角为60°， da-6P=l-2a6+6=f+6-2r6cos60 =22+12-2x2x1×1=3, a-b=3. (2)根据投影向量的定义，6在a上的投影向量为 :a-6=6c0s60°=2x1×2=1,1a1=2, 2 投影狗量为2a=4司. 1 4 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ (3)已知向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为钝角， ∴(2ta+7b)(a+tb)<0,且2t后+7b与a+b不反向共线； 则(2a+76)(a+b)=2+(22+7)a-6+7t6=2t×4+(2+7)x1+7tx1<0, 即2r+15+7<0,解得-7<1<2 若两向量反向共线，则存在实数入，使得2ta+7b=A(a+tb),(小<0)， 2t=入 即 7=, 将入=2t代入7=t,得到2t2=7, 由2t=<0,解得(=-h 2 :2ta+7b与a+tb不反向共线， t*-4 2 综上可得，实数t的取值范围是 〔 18.(1)c= 4 (2)4(N2-1) 【分析】()根据正余弦定理求解即可、 (2)根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式 求解即可！ 【详解】(1)因为sin2A+sin2B=(2 sin Asin B+sinC)sinC, 所以a2+b2=2abs1nc+c2,即a+6-c -=sin C. 2ab 23bC,则c0sc=sinc,所以1anc=1. 由余弦定理可得cosC=a+b-c2 因为0<C<r,所以c=” (2)因为D是边AB的中点，所以2CD=CA+CB, 所以4cD=cA+2cA:cB+c8,即b2+a2+V2ab=16. ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ L B D A 因为b2+a2≥2ab,所以(2+V2)ab≤16，即ab≤8(2-√2)，当且仅当a=b时，等号成立， 则vA6c的面积s=absin c=2b b≤4V2-1, 4 即当a=b时，VABc的面积取得最大值4（√2-1）， 19.(1)CO-1AB-AC;CB-AB-AC;AE=2AB+1AC (2)存在，1=13 17 【分析】(1)结合条件，根据向量的线性关系，即可求解； (2)利用基底AB,AC表示向量cD和AP,再结合垂直关系的向量运算，即可求解； (3)首先由向量的线性运算关系推出点0，A,E三点共线， “-m0A=30E.0A=-30E0A,再结合基本不等式求最值，并化简oA0c+20A-0B, 求最值 Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效