精品解析：山西省晋城市部分学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024~2025学年第二学期高一4月期中提升考 数学（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册（约）、必修第二册第六章~第八章第5节（约）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知，，则与同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 5. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B. 棱柱至少有五个面 C. 棱台的侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 10. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是关于的方程的一个根 11. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 13. 已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______． 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则______；的外接圆的圆心是，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，， （1）设，求，的值； （2）若，求的值． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若点是线段上的一点，且，求的值． 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且． （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； （3）已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期高一4月期中提升考 数学（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册（约）、必修第二册第六章~第八章第5节（约）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 故，则，故B正确. 故选：B 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算和加法运算化简，再根据虚部的定义即可得出. 【详解】， 则的虚部为. 故选：A 3. 已知，，则与同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出向量的坐标，即可得出与同方向的单位向量为. 【详解】由题意可得，则， 所以与同方向的单位向量为. 故选：D. 4. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 【详解】由题意知，， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形的周长为12. 故选：C 5. 若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积来计算投影向量即可. 【详解】因为，，由可得：， 以向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 6. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到， 将的图象向右平移个单位长度得到. 故选：D 7. 在平行四边形中，，点满足，点是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为且点是的中点， 所以， 又， 所以 . 故选：B 8. 已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥 B. 棱柱至少有五个面 C. 棱台的侧棱延长后必交于一点 D. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 【答案】BC 【解析】 【分析】根据棱锥、棱柱、棱台、圆台的概念以及性质，即可判断得出答案. 【详解】对于A项，根据棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，可知A项错误； 对于B项，棱柱中面最少的为三棱柱，有五个面.故B正确； 对于C项，由于棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的多面体为棱台.结合棱锥的性质，可知棱台的侧棱延长后必交于一点.故C正确； 对于D项，以直角梯形的垂直于底面的腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台，当腰与底面不垂直时，得到的旋转体不是圆台.故D错误. 故选：BC. 10. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是关于的方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的共轭以及复数的模长、复数的四则运算逐一判断即可. 【详解】，所以 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，即是关于的方程的一个根，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为定值 C. 若点在线段上，则为定值 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】根据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 则， ，则， 所以， 对于A，若，则，，故A错误； 对于B，若，则，则为定值，故B正确； 对于C，由可得， 若点在线段上，即三点共线，所以， 即为定值，故C正确； 对于D，若，即，即， 令， 则，其中， 当时，，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知扇形的弧长， 设该圆锥的底面圆的半径为，则， 即，得，即该圆锥的底面圆的直径为. 故答案为： 13. 已知，复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将复数化简，令其对应的实部大于，虚部小于，即可求出对应的实数的取值范围. 【详解】 ， 令则，得. 故答案为：. 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，则______；的外接圆的圆心是，则的最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解第一空，合理作出图形，建立平面直角坐标系，利用外心的性质求出关键点的坐标，将目标式表示出来，最后利用余弦定理结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由正弦定理得，解得，， 则， 如图，取中点，连接，因为的外接圆的圆心是，所以，以为原点建立平面直角坐标系， 则，，，则边上的中垂线方程为， 由斜率公式得，则的方程为， 由中点坐标公式得的中点坐标为， 故边上的中垂线方程为， 设，代入方程中，得到， 解得，则， 故，，， 则，故， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 故， 由重要不等式得，当且仅当时取等， 则，解得， 则，故，即其最大值为， 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，， （1）设，求，的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量的坐标运算用表示向量，再根据向量相等列方程组求出，的值； （2）先分别写出，的坐标，再根据两向量平行的坐标表示，即可求的值. 【小问1详解】 ， 所以，解得，即，； 【小问2详解】 ， ， 因为，所以，解得：. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 【答案】（1），单调递增区间为（） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得，然后由两角差的余弦公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令（），解得（）， 所以的单调递增区间为（）； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若点是线段上的一点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知边化角，结合两角和的正弦公式化简可得.结合角的范围即可得出答案； （2）由已知可得，，.设，则，.进而在中，中，中，多次使用余弦定理求解可推得.进而根据二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解得出.进而即可根据角的范围得出答案. 【小问1详解】 易知 由以及正弦定理边化角可得， ， 整理可得. 又，， 所以，，. 【小问2详解】 由已知可得，所以为锐角，，，. 设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 所以. 在中，由余弦定理可得 . 在中，由余弦定理可得 ， 即， 整理可得， 平方可得， 整理可得. 所以有， 解得，所以. 又为锐角，所以. 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 【答案】（1）证明如下： 连接，因为点分别为棱的中点，则， ∵在正方体中且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四点共面； （2）证明如下： 连接、分别交、于点、，连接， 在正方体中，且， ∴，则， 同理可得， ∴， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （3） 【解析】 【分析】（1）连接，即可证明，，从而得证； （2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证； （3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又，所以，因为，所以. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，且． （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； （3）已知的面积为，且所在平面内的点满足，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算列方程，然后角化边，根据余弦定理求出角的大小. (2)在三个三角形中分别用余弦定理找出，的关系式解方程即可. (3)方法一：先确定点的位置分两种情况进行分析，根据余弦定理和面积关系找到的关系即可；方法二：由面积公式求出，再分点与点在直线的异侧与同侧两种情况讨论，设，利用正弦定理表示出线段的长度，再计算可得. 【小问1详解】 因为所以， 角化边可得：， 整理可得， 又因为， 又因为为三角形的内角，所以. 【小问2详解】 在中由余弦定理可得：， 整理得：； 在中由余弦定理可得：， 在中由余弦定理可得：， 又因为，所以， 又因为，所以， 解方程组：，解得或， 所以或. 【小问3详解】 方法一：因为点满足，所以点在的外部， 设，，， 当在直线的异侧时， 在中由余弦定理有：， 又因为的面积为，即，所以， 所以， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 在中由余弦定理有：， 所以， 整理得： ， 又因为， 所以， 整理得：，即， 又因为 所以即， 所以； 当在直线的同侧时， 分别在，，，中用余弦定理及的面积为 依然可以得出， 又因为， 即 整理得：，又因为， 所以， 即， 所以. 综上所述的值为或 方法二：因为的面积为，所以，所以， 若点与点在直线的异侧，设， 则，，， 在中由正弦定理，所以，； 在中由正弦定理，所以，； 所以 ； 若点与点在直线的同侧，设， 则，，， 在中由正弦定理，所以，； 在中由正弦定理，所以，； 所以 ； 综上可得的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $