精品解析：2026年辽宁朝阳市第一中学中考数学一模试卷

2026年辽宁省朝阳一中中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 辽宁舰是我国第一艘服役的航空母舰，其甲板某区域的长度约为180米，将180用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（    ） A.     B.     C.     D.     4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，则的度数为（ ）． A. 20° B. 25° C. 35° D. 65° 6. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 4 D. 8. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去378里的关口，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了6天才能到达关口．设第一天走的路程为x里，根据题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：m2-6m+9=_______． 12. 分式方程的解为______  ． 13. 如图，在轴、轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点若点的坐标为，则的值为______  ． 14. 如图，函数和函数的图象相交于点，若，则的取值范围是______． 15. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某电商计划购进A、B两种农产品，已知购进2件A产品和3件B产品共需270元，购进3件A产品和2件B产品共需230元． （1）求每件A、B产品的进价分别是多少元？ （2）该电商计划购进A、B两种产品共100件，且A产品的数量不超过B产品数量的3倍，总费用不超过4200元，该电商共有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若每件A产品售价40元，每件B产品售价100元．哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 18. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，直接写出四边形的面积是______． 19. 为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理．数据分成4组：A组：；B组：；C组：；D组：． 下面给出了部分信息： a．C组数据：6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，8.5，8.8 b．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______； （2）请补全条形统计图； （3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是______h； （4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数． 20. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． （1）求的度数； （2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）． 21. 如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求AF的长． 22. 在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接、． （1）如图1，与的位置关系是 ；与位置关系是______； （2）已知，， ①如图2，当点E运动到中点时，求的长度；（提示：（1）中结论可直接利用） ②若，求的长度． 23. 如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. （1）求该二次函数的解析式； （2）已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； （3）如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年辽宁省朝阳一中中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 辽宁舰是我国第一艘服役的航空母舰，其甲板某区域的长度约为180米，将180用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 3. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的俯视图是（    ） A.     B.     C.     D.     【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形． 【详解】解：从上边看，共有2行3列，第1行第1列有1个小正方形，第2行第1列有1个小正方形，第2列有1个小正方形，第3列有1个小正方形． 4. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出各个选项中的式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意． 5. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，则的度数为（ ）． A. 20° B. 25° C. 35° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 先根据平行线的性质可得,然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． 一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选A． 8. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去378里的关口，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了6天才能到达关口．设第一天走的路程为x里，根据题意可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第一天走的路程为x里，则第二天走的路程为里，第三天走的路程为里，第四天走的路程为 里，第五天走的路程为里，第六天走的路程为里，根据六天共走了378里，即可列出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设第一天走的路程为x里，则第二天走的路程为里，第三天走的路程为里，第四天走的路程为里，第五天走的路程为里，第六天走的路程为里， 根据题意得： ． 9. 如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键在于能够灵活运用这些知识点进行推理和计算．首先确定四边形的形状，然后利用菱形的性质求出的长度，最后得出的长度． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， ， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形，， ， ， ． 故选：A． 10. 如图（1），点P是边上一动点，沿的路径移动，设点P经过的路径长为x，的面积是y，图（2）是点P运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点P运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：根据点P运动，可得， 设与间的距离是d， 当点P在上时，， 解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点P运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：m2-6m+9=_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接应用完全平方公式即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 12. 分式方程的解为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：把代入，得， 分式方程的解为． 13. 如图，在轴、轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点若点的坐标为，则的值为______  ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得出点P在第一象限的平分线上，据此得出关于a的方程进行求解即可． 【详解】解：由题知，因为点在第一象限的平分线上， 所以 ， 解得． 14. 如图，函数和函数的图象相交于点，若，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是结合函数图象解题． 先求出、的值，再根据函数图象即可求解． 【详解】∵在函数和函数上， ， 即，， ∵，即， 的范围如图中实线所示：即或． 故答案为：或． 15. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点为内一点，连接，若为等腰三角形且面积为，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的定义，坐标系中两点距离计算公式，取，过点C作交线段于D，则，可求出，，则，据此可证明的面积等于，则，故点Q在线段上（不包括端点），设，再分，三种情况利用两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，取，过点C作交线段于D，则 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且面积为， ∴的面积等于， ∴， ∴点Q在线段上（不包括端点）， 设， ∴，， 当时，则，解得， ∴此时点Q的坐标为； 当时，则，解得（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． （1）先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值分别计算出各数，再算加减即可； （2）利用完全平方公式和提取公因式法化简式子，把代入化简后的式子进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 当时：原式． 17. 某电商计划购进A、B两种农产品，已知购进2件A产品和3件B产品共需270元，购进3件A产品和2件B产品共需230元． （1）求每件A、B产品的进价分别是多少元？ （2）该电商计划购进A、B两种产品共100件，且A产品的数量不超过B产品数量的3倍，总费用不超过4200元，该电商共有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若每件A产品售价40元，每件B产品售价100元．哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每件A产品的进价为30元，每件B产品的进价为70元 （2）进货方案共有6种 （3）当购进A产品70件、B产品30件时，获利最大，最大利润为1600元 【解析】 【分析】（1）设每件A产品的进价为x元，每件B产品的进价为y元，根据题意列出方程组，解方程组可得结果； （2）设该平台计划购进A产品m件，B产品件，根据题意列出不等式组，解不等组，结合是整数，进行解答即可； （3）设利润为元，根据题意，表示出总利润与的关系，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A产品的进价为x元，每件B产品的进价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：每件A产品的进价为30元，每件B产品的进价为70元； 【小问2详解】 解：设该平台计划购进购进A产品m件，B产品件， 根据题意得： 解得：， 为整数， 可以取70，71，72，73，74，75，共6种取值， 即该商场共有6种进货方案； 【小问3详解】 解：设利润为元，根据题意得： ， ， 随的增大而减小， 当m取最小值时，为最大值， 由（2）可知，m的最小值为70，此时件， 最大利润为元， 答：当购进A产品70件、B产品30件时，获利最大，最大利润为1600元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及到解不等式，一次函数的性质的应用，正确理解题意是解题的关键． 18. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，直接写出四边形的面积是______． 【答案】（1） 证明：∵过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可； （2）根据三角形的面积公式得出的面积，进而利用三角形中线得出的面积，进而得出，进而解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，点D是的中点，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积=． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的性质解答． 19. 为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理．数据分成4组：A组：；B组：；C组：；D组：． 下面给出了部分信息： a．C组数据：6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，8.5，8.8 b．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______； （2）请补全条形统计图； （3）抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是______h； （4）该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数． 【答案】（1）40；18 （2） 补全条形统计图如图， ； （3） （4）估计九年级所需指导教师6名． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计全体等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． （1）根据B组的人数及其占比，可求得样本容量；根据A组的占比乘可求得A组对应扇形的圆心角； （2）先求得D组的人数，即可补全条形统计图； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）根据样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， ， 故答案为：40；18； 【小问2详解】 解：D组的人数为， 【小问3详解】 解：抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是第20和21个数， ∴中位数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计九年级所需指导教师6名． 20. 如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． （1）求的度数； （2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）． 【答案】（1）的度数为 （2）这棵大树折断前的高度约为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键； （1）将延长交于点，根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解； （2）过点作于点，得出，，分别求得，进而求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，将延长交于点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，， ， ，， 在中，，， 在中，， 答：这棵大树折断前的高度约为9米． 21. 如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为E，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求AF的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接． ∵是的切线． ∴半径， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵． ∴． ∴， ∴是的外角， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接．根据切线的性质可得，进而得到，即，则，然后得到，最后根据三角形外角的性质即可解答； （2）如图：连接DF，DA,根据圆周角定理结合（1）的相关结论可得，即；再根据等腰三角形的性质可得，然后再证可得，最后根据正切的定义列比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接DF，DA, ∵，， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵是圆的直径． ∴． ∴．． ∵， ∴． ∴． ∴ ∴， 在中，,, ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22. 在菱形中，点为射线（不与点重合）上一动点，连接，点为中点，连接，将沿翻折得到，连接、． （1）如图1，与的位置关系是 ；与位置关系是______； （2）已知，， ①如图2，当点E运动到中点时，求的长度；（提示：（1）中结论可直接利用） ②若，求的长度． 【答案】（1）； （2）①；②的长为或 【解析】 【分析】（1）延长交于，利用翻折的性质可得是的中位线，利用三角形中位线的性质即可得出结论； （2）①延长交于，连接，证明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，求出， 得出， 设，， 根据勾股定理得出， 求出， 得出，最后根据中位线的性质得出答案即可； ②分两种情况进行讨论，即当点在上时和当点在延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理及相似三角形的判定和性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于， 由折叠的性质可知垂直平分， 是中点， 是中点， 是的中位线， ，即， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①如图，延长交于，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点为中点， ，， 由勾股定理得：， 是中点， ∴， 由（1）可知，，， ， 又， ， ， ， 设，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：， ∴， 由题意可得，为的中位线， ∴； ②如图，当点在上时，延长交于， ，， ， 在中，设，则， ，，， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ，即， ，， 在中，， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， ； ②如图，当点在延长线上时， 同理可得， 设，则， ， ，即， 解得：， ； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形与翻折的结合，三角形中位线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并作出辅助线． 23. 如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. （1）求该二次函数的解析式； （2）已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； （3）如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 【答案】（1） （2）①；②或 （3）2个公共点：或；3个公共点：或 【解析】 【分析】（1）由直线与坐标轴交点得到求出，再用待定系数法可得二次函数的解析式； （2）①根据题意得到，根据两点之间距离公式得到，由分类讨论去绝对值，将化为二次函数，由二次函数图象与性质求解即可得到答案；②由①知，，再求出，由，列绝对值方程求解即可得到答案； （3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，根据题意，作出图象，得到当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点；当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，令得；令得； ， 将代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图所示： ∵点为线段上一点，设其横坐标为，则， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的长度随着的增大而增大， 则此情况； 当时，，则； 综上所述，当的长度随的增大而增大时，的取值范围是； ②由①知，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴或， 则或， 解得或或或， ， ∴点的横坐标为或； 【小问3详解】 解：在中，令得， 解得或， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 如图所示： 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点， ①当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ②当与相切时，只有一组公共解， 即方程的判别式为， ∴，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ③当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有1个公共点； ④如图所示，当时，直线与这个新图象有4个公共点； ⑤如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑥如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑦如图所示，当时，直线与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数图象与性质、两点之间距离公式、解绝对值方程、翻折变换、一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $