2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题

**基本信息** 立足学业水平合格性考查，以食堂满意度调查、药熏消毒等现实情境为载体，融合数学抽象、几何直观、数据分析等素养，覆盖函数、立体几何、概率统计等核心模块，梯度设计兼顾基础与能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|19/57|集合运算、古典概型、三角函数象限判断等|第7题分层抽样考查数据意识，第19题药熏消毒问题体现模型意识| |填空题|4/16|球体积计算、函数最值、数据四分位数等|第23题幸福指数数据处理强化数据分析能力| |解答题|3/27|立体几何体积与线面平行证明、解三角形、函数奇偶性与存在性问题|24题正四棱柱体积证明考查几何直观，26题函数存在性问题凸显推理意识|

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，所以；故选：B. 2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记三件正品为，一件次品分别为，取出两件有“”共6个样本点，其中恰有一件次品为“”共3个样本点，所以其发生的概率为. 由题意得“，”的否定是，，故选：B 3．已知，，则角的终边位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由知，角的终边在第三或四象限或轴负半轴上，由知，角的终边在第二或四象限，综上所述，角的终边在第四象限，故选D. 4．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得“”的否定是，故选：B 5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可用排除法，对于A，自变量分别取与，函数值相等（没有增加），排除； 对于B，自变量分别取与，函数值相等（没有增加），排除； 对于D，自变量分别取与，函数值相等（没有增加），排除； 对于C，可画图像如右，故选C. 6．（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】原式，故选：C 7．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．30 【答案】B 【解析】记高一、高二、高三的人数分别为，从高一、高二、高三用比例分配的分层随机抽样的方法抽取的人数分别为，则，即得, 故选：B. 8．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（     ） A.内心 B．重心 C．外心 D．垂心 【答案】C 【解析】易得,,全等，所以，所以是的外接圆圆心，即是外心.故选C. 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由诱导公式，，即， ，故选A. 10．已知为的边的中点.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选B. 11．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】不等式的解集为或，所以“或”“”，但反之不然，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选B. 12．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由二倍角公式.所以， 故选C. 13．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，即，， ，所以,故选A. 14．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（   ） A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42 【答案】D 【解析】记事件为“甲地下雨”，事件为“乙地下雨”,则,， 因为与相互独立，则与也相互独立， 则甲、乙两地都不下雨的概率为.故选D. 15．设3x＝4y＝36，则的值为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】由，得，，， 所以. 故选D. 16．如果，那么下面不等式一定成立的是（ CD ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】不妨令，，，可排除A与B； 对于C，因为函数在上单调递减，且，所以，C正确； 对于C，，由基本不等式“”，得 D正确. 17．把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，所得图像的表达式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的图像上的所有的点向右平移个单位得 ，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半得，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍得，故选D. 18．已知向量，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在上的投影向量是 即为.故选B. 19．如上图，某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物15分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ D  ） A．15分钟 B．分钟 C．18分钟 D．分钟 【答案】B 【解析】 当时，设，把代入得，，得，则，令，即，解得且，得； 当时，设，把代入得，，得，令，即，解得且，得； 综上所述，或，即，所以消毒的有效时间为. 故选D. 答题卡区 班级 姓名 座号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20．已知球的表面积为，则它的体积为 . 【答案】【解析】球的表面积为，所以，解得， 球的体积为. 21．函数的最大值为 2 . 【答案】2【解析】. 由于，所以. 22．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】.【解析】在对称轴左边单调递减，即递减区间为. 所以，所以. 23．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是 7.85 . 【答案】.【解析】记12个幸福指数从小到大分别为. 因为25%=3，则第一四分位数为. 三、解答题：本题共3题，共27分. 24．（本小题满分8分）如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点． (1)求三棱锥的体积 (2)求证：∥平面； 【解析】（1）∵平面， 所以三棱锥的高为 所以； （2）连接交于，连接， 则为的中点，且为的中点 所以，中位线//，且平面，平面 所以，//平面 25.（本小题满分9分）在中，. (1)求B； (2)若的周长为，求边上中线的长. 【解析】（1）∵，由正弦定理 ∴，即，且 ∴,且，即， ∴或，解得或，且内角和等于， ∴; （2）∵，，∴， 由正弦定理， 即，设，则，， 则周长，解得，则，， 边上中线 . 26．（本小题满分10分）已知函数，. (1)若是奇函数，求的值并判断的单调性（单调性不需证明）； (2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数的取值范围. 26.【解析】∵是奇函数，∴，即，解得， 此时,又的定义域是，对于， 即，根据定义，是奇函数.所以若是奇函数，则 当时，在单调递增， 当时，在单调递增，又是连续函数，故在上单调递增. （2）当时，，∴， . ①当即时，在上单调递增，∴， 解得，. ②当即时，在上单调递减，在上单调递增. ∴， ③当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 ∴，解得，不成立. 综上所述，. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则角的终边位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（   ） A． B．1 C． D． 7．学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（   ） A．18 B．20 C．22 D．30 8．在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（     ） A.内心 B．重心 C．外心 D．垂心 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．已知为的边的中点.若，，则（   ） A． B． C． D． 11．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（   ） A． B． C． D． 13．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 14．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（   ） A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42 15．设3x＝4y＝36，则的值为（   ） A．6 B．3 C．2 D．1 16．如果，那么下面不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 17．把函数的图像上的所有的点向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原的一半，最后把所有的点的纵坐标伸长到原来的4倍，所得图像的表达式（   ） A． B． C． D． 18．已知向量，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 19．如上图，某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例（如图），现测得药物15分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为12毫克.研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（   ） A．15分钟 B．分钟 C．18分钟 D．分钟 答题卡区 班级 姓名 座号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20．已知球的表面积为，则它的体积为 . 21．函数的最大值为 22．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是 23．幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是 . 三、解答题：本题共3题，共27分. 24．（本小题满分8分）如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点． (1)求三棱锥的体积 (2)求证：∥平面； 25.（本小题满分9分）在中，. (1)求B； (2)若的周长为，求边上中线的长. 26．（本小题满分10分）已知函数，. (1)若是奇函数，求的值并判断的单调性（单调性不需证明）； (2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $