精品解析：浙江省温州市安阳实验中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷-八年级（数学）

2025学年第二学期期中检测试卷 八年级（数学） 温馨提示： 本试卷分选择题部分与非选择题部分，满分100分，答题时不得使用计算器．解答题请在答题区域内作答，不得超出答题区域边框线． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 以下是一些著名摩托车品牌的标志图案，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 要使式子有意义，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个正八边形的窗户，图中正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 10. 小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是，水平宽米，则坡面的长度是___米． 13. 若是关于的一元二次方程的根，则的值为___． 14. 已知，是方程的两个根，则________． 15. 如图，在中，垂直平分，点在线段上，，相交于点，，连接，若，则的长为_____． 16. 如图，的对角线，相交于点，点，是边上的点，满足，且，，，，则四边形的面积为_____． 三、解答题（本题有7小题，共52分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在所给网格中按下列要求画出格点图形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出关于点成中心对称的； （2）在图2中画一个平行四边形，且有一个内角为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 21. 如图，在四边形中，是的中点，垂直平分交于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： （1）任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ （2）任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 23. 如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； （3）当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中检测试卷 八年级（数学） 温馨提示： 本试卷分选择题部分与非选择题部分，满分100分，答题时不得使用计算器．解答题请在答题区域内作答，不得超出答题区域边框线． 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 以下是一些著名摩托车品牌的标志图案，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图案是中心对称图形，故正确； B、该图案不是中心对称图形，故错误； C、该图案不是中心对称图形，故错误； D、该图案不是中心对称图形，故错误． 2. 要使式子有意义，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是5． 故选：D 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B选项：，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C选项：，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故本选项符合题意； D选项：，被开方数含能开得尽方的因数 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 4. 用反证法证明“在中，如果，那么”，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，只需确定原结论的反面即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步是假设命题结论不成立， 本题原结论为 ， 其否定为 ， ∴ 第一步应假设． 5. 如图是一个正八边形的窗户，图中正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是求多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．根据多边形的内角和，其中为正多边形的边数，计算即可 【详解】解：正八边形的内角和为： 故选：A． 6. 如图，在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∴ 7. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，配方后即可得到正确结果. 【详解】解：， 移项得， 方程两边加得， 整理得. 8. 《九章算术》中卷九“勾股”有一个问题：“今有户不知高广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”意思是有一扇门，不知道它的高度和宽度；有一根竹竿，不知道它的长度．将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺；斜着放，恰好能与门的对角线重合，求门的高度、宽度和对角线的长度？设门的对角线长度为尺，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺，表示出门宽、门高后，由勾股定理列方程即可． 【详解】解：设门的对角线长度为尺，则竹竿的长度为尺， 将竹竿横着放，比门宽长出尺；竖着放，比门高长出尺， 门宽尺；竖着放，门高尺， 则由勾股定理可得． 9. 如图，在中，，，为边上的一个动点，以，为邻边作，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，作于点，作于点，根据平行四边形的性质，得到，，进而得到当最小时，的值最小，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小为的长，根据平行线间的距离处处相等，得到，进而求出的长即可. 【详解】解：连接交于点，作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴点为的中点，当最小时，的值最小，， ∴当点与点重合时，最小为的长， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为. 10. 小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 非选择题部分 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标规律，可得点关于原点对称的点的坐标为． 12. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是，水平宽米，则坡面的长度是___米． 【答案】 8 【解析】 【分析】根据坡比的定义，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：由题意，， ∵米 ∴米， 由勾股定理，得（米）. 13. 若是关于的一元二次方程的根，则的值为___． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：把代入，得：， 化简，得：． 14. 已知，是方程的两个根，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， 对通分得 ， 将，代入得 原式． 15. 如图，在中，垂直平分，点在线段上，，相交于点，，连接，若，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，得出为的中位线，得出，证明，得出相等的线段，最后可以求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，的对角线，相交于点，点，是边上的点，满足，且，，，，则四边形的面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用平行四边形对角线互相平分的性质，证得；通过等腰三角形的性质和角度关系，推出；接着在直角三角形中求出高，结合等腰三角形的性质，得到的长度；最后判定四边形为平行四边形，进而计算其面积． 【详解】解：如图，在上取点，使，连接，过点作于，取的中点，连接，过点作于， ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，为中点， ∴． ∵，， ∴． 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴． 三、解答题（本题有7小题，共52分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法、除法运算法则求出答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 19. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在所给网格中按下列要求画出格点图形（顶点在格点上）． （1）在图1中画出关于点成中心对称的； （2）在图2中画一个平行四边形，且有一个内角为． 【答案】（1） 解：如图， （2） 如图， 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质找到对应点即可 （2）利用网格求得，，利用勾股定理的逆定理判定为等腰直角三角形，即，进一步利用网格的性质可知四边形为平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则， 根据网格的性质可知，四边形为平行四边形． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）； 【解析】 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 21. 如图，在四边形中，是的中点，垂直平分交于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分交于点， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）易得是的中位线，则，结合，即可得出结论； （2）根据三角形的中位线定理，平行四边形的性质，得到，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵垂直平分交于点，， ∴． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： （1）任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ （2）任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 【答案】（1）750万元 （2）4万人 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出代数式，将数值直接代入即可． （2）先判断的取值范围，再根据范围列出票务收入的代数式，根据票务收入等于票务收入代数式列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：∵4月30日为平日票， ∴门票为200元/张， ∴票务收入为： ， 将代入（万元）， 【小问2详解】 解：∵5月5日为假期， ∴门票价格为240元/张， 若每位游客都没有购买快速通道票，则（万人），与题意不符， 所以游客人数大于等于万人， 此时票务收入为：， 则，解得或， ∵游客上限是5万人， ∴， 即5月5日游客人数为4万人． 23. 如图，在直角坐标系中，四边形的顶点的坐标是，，平分，点的横坐标是3，，点是对角线中点，点是射线上的一个动点，点是线段上的一个动点，且有，以，为边构造． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当的顶点落在四边形的边所在的直线上时，求的长度； （3）当时，求点的坐标． 【答案】（1） 证明：如图，延长交y轴于点K， ∵， ∴轴，， ∵点的横坐标是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）3或6 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交y轴于点K，根据，可得轴，，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，根据平分，可得到，从而得到，再由点的坐标是，可得，即可求证； （2）连接，则交于点D，由（1）可得到四边形是菱形，证明是等边三角形，可得，，，然后分两种情况：当点G在上时，当点G在直线上时，再结合等边三角形的判定和性质，即可求解； （3）过点D作轴于点M，由（2）得：，，，可得，，从而得到，可求出点，设，则，则，，再由直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，，，，可得到点，，进而得到点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置，再结合四边形为平行四边形，点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，则交于点D， 由（1）得：四边形是平行四边形，，， ∴四边形是菱形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 如图，当点G在上时，则， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 如图，当点G在直线上时，此时， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长度为3或6； 【小问3详解】 解：如图，过点D作轴于点M， 由（2）得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 设，则，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∴点，， ∴点D先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点F的位置， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点E先向右平移个单位，再向下平移个单位到达点G的位置， ∴点G的坐标为，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $