2026年中考数学二轮复习二次函数图像分析题

二次函数图像分析题练习 一、二次函数图形分析题 1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2﹣b2＜0；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）．其中正确结论的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＜0； ③3|a|+|c|＜2|b|； ④若﹣1＜m＜n＜1，则． 其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①4a+2b+c＜0；②4ac﹣b2＜﹣4a；③b＞c；④a＜1．其中，正确结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（1，n），且经过（﹣1，0），（0，m）两点，2＜m＜3．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）有两个相等的实数根； ②当x＜1时，y的值随x值的增大而减小； ③16a+4b+c＞0； ④． 以上结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①abc＞0； ②3a+c＞0； ③对于任意实数t，总有不等式at2+bt+c≤a+b+c； ④若方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1，x2，则2＜|x1﹣x2|＜4． 其中正确的是　 　 （只写序号）． 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点（2，0）．现有下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜2；④（m为任意实数）．其中正确的是　 　 （填序号）． 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点坐标为（1，n）；与x轴的交点为A（﹣1，0）和点B；与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（包括端点）．①b2﹣4ac＞0；②3a+c＜0；③点（﹣2，y1），，（5，y3）都在抛物线上，则y1＞y3＞y2；④方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0无实根；⑤．其中正确结论是　 　 ． 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③9a+c＜3b；④若点A（﹣3，y1）、点、点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤4a+2b≤m（am+b）；其中结论正确的是　 　 ．（填写序号） 9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1），有以下结论；①abc＞0：②4a+2b+c＝1；③x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b．其中结论正确的是 　 　 （填序号）． 10．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC．下列结论：①2b﹣c＝2；②a；③ac＝b﹣1；④0，其中正确的序号有 　 　 ． 11．已知二次函类y＝mx2﹣（m+1）x+1m为常数，且m≠0）．下列五个结论： ①该函数图象经过点（1，0）； ②若m＝1，则当x＞0时，y随x的增大函增大； ③该函数与x轴有两个不同的公共点； ④若m＜﹣1，则关于x的方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有一个根大于﹣1且小于0； ⑤若m＜﹣1，则关于x的不等式m|x|2﹣（m+1）|x|+1≥0的解集是﹣1≤x≤1． 其中正确的是　 　 （填写序号）． 12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x，有下列结论；①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有 　 　 .（填写序号） 13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＞0；③若点，点是函数图象上的两点，则y1＜y2；④．其中正确结论有　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2﹣b2＜0；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）．其中正确结论的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据二次函数的图象和性质，即二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最值与系数a、b、c的关系逐项进行判断即可． 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， 又∵抛物线的对称轴是直线x＝1，即x1＞0， ∴b＝﹣2a， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 因此①错误； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， 因此②正确； ③由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＜0， 因此③不正确； ④当x＝1时，y＝a+b+c，即顶点坐标为（1，a+b+c）， 由图象可知，a+b+c＜0， 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴（a+c）2﹣b2 ＝（a+c+b）（a+c﹣b）＞0， 因此④不正确； ⑤当x＝1时，y＝a+b+c，即顶点坐标为（1，a+b+c）， ∴当x＝1，函数y的最小值是a+b+c， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， 当m≠1时，有a+b+c＜am2+bm+c， 即a+b＜m（am+b）， 因此⑤正确； 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性以及最值与系数a、b、c的关系是正确解答的关键． 2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＜0； ③3|a|+|c|＜2|b|； ④若﹣1＜m＜n＜1，则． 其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置确定a、b、c的符号及相互关系，再结合特殊点的函数值及不等式性质逐一判断． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则： ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴， ∴b＜0， ∴abc＜0，故①正确； ∵对称轴，a＞0， ∴﹣b＞2a， ∴2a+b＜0，故②正确； ∵a＞0，b＜0，c＞0， ∴3|a|+|c|＝3a+c，2|b|＝﹣2b， ∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，且2a+b＜0， ∴（a+b+c）+（2a+b）＜0，即3a+2b+c＜0， ∴3a+c＜﹣2b，即3|a|+|c|＜2|b|，故③正确； ∵对称轴， ∴， ∴， ∵﹣1＜m＜n＜1， ∴﹣2＜m+n＜2， ∴，故④错误． 故答案为：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①4a+2b+c＜0；②4ac﹣b2＜﹣4a；③b＞c；④a＜1．其中，正确结论有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】利用二次函数的对称轴、对称性、顶点坐标、与坐标轴交点等图象性质，逐一判断每个结论的正误． 【解答】解：已知条件： 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上（a＞0）， 与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为x＝1， 与y轴交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，即﹣2＜c＜﹣1， 根据二次函数的对称性，对称轴为x＝1，则x＝2与x＝0关于x＝1对称，因此x＝2时的函数值等于x＝0时的函数值，即： y（2）＝4a+2b+c＝y（0）＝c， ∵y（0）是函数与y轴交点的纵坐标，且﹣2＜c＜﹣1＜0， ∴4a+2b+c＝c＜0，结论①正确； 二次函数顶点坐标公式为，由图象可知，顶点在直线y＝﹣1下方，即顶点纵坐标小于﹣1， ∴1， ∵a＞0，两边同时乘以4a（不等号方向不变），得： 4ac﹣b2＜﹣4a，结论②正确； 由对称轴公式x1，可得b＝﹣2a， ∵函数过点A（﹣1，0），代入解析式得： a﹣b+c＝0， 将b＝﹣2a代入上式： a﹣（﹣2a）+c＝0， 3a+c＝0， a， ∴b＝﹣2a＝﹣2×（）， 计算b﹣c： b﹣cc， ∵﹣2＜c＜﹣1， ∴c为负数，为正数，即b﹣c＞0，故b＞c，结论③正确； 由a，且﹣2＜c＜﹣1，两边同时除以﹣2： ， 即a，也就是a，并非a＜1，结论④错误， 综上，①②③正确， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握对称性、顶点坐标、函数值符号判断及参数范围推导是解题的关键． 4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（1，n），且经过（﹣1，0），（0，m）两点，2＜m＜3．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）有两个相等的实数根； ②当x＜1时，y的值随x值的增大而减小； ③16a+4b+c＞0； ④． 以上结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先根据二次函数的顶点坐标和过点情况，确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征判断即可． 【解答】 解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（1，n）， ∴抛物线与直线y＝n有一个交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n（a≠0）有两个相等的实数根，故①正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（1，n），且经过（﹣1，0），（0，m）两点， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴另一个交点为（3，0）， ∴x＝4时，y＜0， ∴16a+4b+c＜0，故③错误； ∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）， ∴二次函数为y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， ∴m＝﹣3a， ∵2＜m＜3， ∴2＜﹣3a＜3， 解得﹣1， ∵1， ∴a， ∴﹣1， ∴b＜2，故④正确， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二．填空题（共9小题） 5．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①abc＞0； ②3a+c＞0； ③对于任意实数t，总有不等式at2+bt+c≤a+b+c； ④若方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1，x2，则2＜|x1﹣x2|＜4． 其中正确的是　①④　 （只写序号）． 【分析】根据所给二次函数的图象，结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由所给图形可知， 因为抛物线开口向下， 所以a＜0． 因为抛物线顶点坐标为（﹣1，2）， 则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 所以， 则b＝2a＜0． 因为抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， 所以抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间， 所以c＞0， 则abc＞0． 故①正确； 当x＝1时，函数值小于零， 则a+b+c＜0， 所以a+2a+c＜0， 即3a+c＜0． 故②错误； 因为抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）且开口向下， 所以当x＝﹣1时，函数取得最大值为a﹣b+c， 所以对于任意实数t，总有不等式at2+bt+c≤a﹣b+c． 又因为a+b+c＜a﹣b+c， 所以不存在对于任意实数t，总有不等式at2+bt+c≤a+b+c． 故③错误； 因为抛物线与x轴的两个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间及（0，0）和（1，0）之间， 则0﹣（﹣2）＝2，1﹣（﹣3）＝4， 所以当方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1，x2时，总有2＜|x1﹣x2|＜4． 故④正确． 故答案为：①④． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点（2，0）．现有下列说法：①abc＜0；②﹣2b+c＝0；③ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜2；④（m为任意实数）．其中正确的是　①②③　 （填序号）． 【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴a＜0，c＞0，再根据对称轴可得b＞0，由此可判断说法①；将对称轴进行化简得到a＝﹣b，代入二次函数中，即y＝﹣bx2+bx+c，将点（2，0）代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点（﹣1，0），结合图象得到当﹣1＜x＜2，ax2+bx+c＞0，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【解答】解：∵由图可知a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即a＝﹣b， ∴二次函数y＝ax2+bx+c可化简为y＝﹣bx2+bx+c， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（2，0）， ∴将（2，0）代入y＝﹣bx2+bx+c，得﹣4b+2b+c＝0，即﹣2b+c＝0，故②符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线，且经过点（2，0）， ∴与x轴另一个交点为，即（﹣1，0）， ∴由图象可知ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜2，故③符合题意； 由条件可知当时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最大值， ∵假设（m为任意实数），即， ∴，即， ∵当，，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点坐标为（1，n）；与x轴的交点为A（﹣1，0）和点B；与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（包括端点）．①b2﹣4ac＞0；②3a+c＜0；③点（﹣2，y1），，（5，y3）都在抛物线上，则y1＞y3＞y2；④方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0无实根；⑤．其中正确结论是　①④⑤　 ． 【分析】根据二次函数的图象与x轴有两个交点，得Δ＝b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴为，得b＝﹣2a，根据二次函数图象交x轴于点A（﹣1，0），得a﹣b+c＝0，得3a+c＝0，可判断②；根据点（﹣2，y1），，（5，y3）都在抛物线上，且（5，y3）的对称点为（﹣3，y3），当x＜1时，y随x的增大而增大，，得y3＜y1＜y2，可判断③；根据直线y＝n+1在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点（0，c），得2≤c≤3，由c＝﹣3a，得，由顶点（1，n），得n＝﹣4a，得，即得，可判断⑤． 【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点坐标为（1，n）；与x轴的交点为A（﹣1，0）和点B；与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（包括端点）则： ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣1，0）和点B， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴①正确，符合题意； ∵顶点坐标为（1，n）， ∴对称轴为直线x＝1， ∵对称轴为， ∴， ∴b＝﹣2a， 把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）， 得a﹣b+c＝0， ∴3a+c＝0， ∴②不正确，不符合题意； ∵二次函数对称轴为x＝1，开口向下， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大， ∵点（﹣2，y1），，（5，y3）都在抛物线上，（5，y3）的对称点为（﹣3，y3），且， ∴y3＜y1＜y2， ∴③不正确，不符合题意； ∵直线y＝n+1在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程ax2+bx+c﹣n﹣1＝0无实根， ∴④正确，符合题意； 对y＝ax2+bx+c，令x＝0，则y＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交y轴于点（0，c）， ∴2≤c≤3， ∵3a+c＝0， ∴c＝﹣3a 把（1，n）代入y＝ax2+bx+c， 得n＝﹣4a． ∴， 即． ∴⑤正确，符合题意． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③9a+c＜3b；④若点A（﹣3，y1）、点、点在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤4a+2b≤m（am+b）；其中结论正确的是　①②③　 ．（填写序号） 【分析】①根据二次函数图象的开口方向，与y轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象对称轴得b＝﹣4a来求解；③利用当x＝﹣3时，y＜0来求解；④利用A，B，C到对称轴的距离进行判定求解；⑤当x＝2时，y取得最大值求解． 【解答】解：由二次函数的部分图象可知a＜0，c＞0， ∵对称轴为直线x＝2， ∴， ∴b＞0， ∴abc＜0，故结论①正确，符合题意； ∵对称轴为直线x＝2， ∴，即b＝﹣4a， ∴4a+b＝0，故结论②正确，符合题意； ∵图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2， ∴当x＝﹣3时，y＜0， ∴y＝a×（﹣3）2﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，故结论③正确，符合题意； ∵点A（﹣3，y1）、点、点在该函数图象上，对称轴为直线x＝2， ∴A，B，C到对称轴的距离分别为， ∴y1＜y2＜y3，故结论④错误，不符合题意； ∵当x＝2时，y取得最大值， ∴当x＝m时，am2+bm+c≤4a+2b+c， ∴4a+2b≥m（am+b），故⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1），有以下结论；①abc＞0：②4a+2b+c＝1；③x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b．其中结论正确的是 　②③④　 （填序号）． 【分析】依据题意，由图象顶点为P（1，m），从而可得对称轴是直线x1，再结合抛物线的开口向下，及图象与坐标轴的交点，且经过点A（2，1）然后逐个进行判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，且抛物线与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0． 又∵图象顶点为P（1，m）， ∴对称轴是直线x1． ∴b＝﹣2a＞0． ∴abc＜0，故①错误． ∵抛物线过点A（2，1）， ∴4a+2b+c＝1，故②正确． ∵抛物线开口向下，对称轴直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故③正确． ∵∵抛物线开口向下，对称轴直线x＝1， ∴当x＝1时，y取最大值为a+b+c． ∴对于任意实数t，当x＝t时，y＝at2+bt+c≤a+b+c． ∴at2+bt≤a+b，故④正确． ∴正确的有②③④． 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 10．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC．下列结论：①2b﹣c＝2；②a；③ac＝b﹣1；④0，其中正确的序号有 　①②③　 ． 【分析】求出抛物线与y轴的交点C坐标，即可求出B坐标，从而得出x＝﹣c和x＝﹣2为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，由根与系数的关系建立等式可判断②③；由B（﹣c，0），代入抛物线的解析式即可判断①；由a＞0，c＜0，b＞0，即可判断④． 【解答】解：观察图象可知a＞0，c＜0，b＞0， ∴，故④错误； 令x＝0，得y＝c， ∵OB＝OC，则点B坐标为（﹣c，0）， 故x＝﹣c和x＝﹣2为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根， 由根与系数的关系可得， 解第二个等式可得：，故②正确； 把代入第一个等式得：﹣2+（﹣c）＝﹣2b， 移项得：2b﹣c＝2，故①正确； 把B坐标代入函数中得：ac2﹣bc+c＝0， ∴ac﹣b+1＝0，即ac＝b﹣1， 故③正确； 正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 11．已知二次函类y＝mx2﹣（m+1）x+1m为常数，且m≠0）．下列五个结论： ①该函数图象经过点（1，0）； ②若m＝1，则当x＞0时，y随x的增大函增大； ③该函数与x轴有两个不同的公共点； ④若m＜﹣1，则关于x的方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有一个根大于﹣1且小于0； ⑤若m＜﹣1，则关于x的不等式m|x|2﹣（m+1）|x|+1≥0的解集是﹣1≤x≤1． 其中正确的是　①④⑤　 （填写序号）． 【分析】把x＝1代入y＝mx2﹣（m+1）x+1即可得到①正确；当m＝1时，二次函数y＝mx2﹣（m+1）x+1为y＝x2﹣2x+1，根据抛物线对称性即可得到当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误；计算Δ＝（m﹣1）2，得到当m≠1时，二次函数与x轴有两个不同的公共点，当m＝1时，二次函数与x轴有一个公共点，故③错误；解方程mx2﹣（m+1）x+1＝0得x1＝1，x2，根据m＜﹣1，得到﹣1，故④正确；令t＝|x|，则关于x的不等式m|x|2﹣（m+1）|x|+1≥0化为mt2﹣（m+1）t+1≥0，画二次函数y＝mt2﹣（m+1）t+1图象，由题意得函数y＝mt2﹣（m+1）t+1与x轴交于点（1，0），与y轴交于点（0，1），结合图象得到当t≥0时，mt2﹣（m+1）t+1≥0解集为0≤t≤1，即可得到0≤|x|≤1，从而得到﹣1≤x≤1，故⑤正确． 【解答】解：当x＝1时，y＝m﹣（m+1）+1＝0， ∴该函数经过点（1，0），故①正确； 当m＝﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x+1， 此时函数对称轴为直线x＝1， 故当x＞1时，y随x的增大而增大，0＜x＜1时，y随x的增大而减小，故②错误；∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴当m≠1时，二次函数与x轴有两个不同的公共点， 当m＝1时，二次函数与x轴有一个公共点，故③错误； 解方程mx2﹣（m+1）x+1＝0得x1＝1，x2， ∵m＜﹣1， ∴﹣1， ∴关于x的方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有一个根大于﹣1且小于0，故④正确； 令t＝|x|，则关于x的不等式m|x|2﹣（m+1）|x|+1≥0化为mt2﹣（m+1）t+1≥0， 画二次函数y＝mt2﹣（m+1）t+1图象： 由题意得函数y＝mt2﹣（m+1）t+1与x轴交于点（1，0），与y交于点（0，1）， ∴当t≥0时，mt2﹣（m+1）t+1≥0解集为0≤t≤1， 即0≤|x|≤1， ∴﹣1≤x≤1，故⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程关系等知识，综合性强，难度较大． 12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x，有下列结论；①abc＞0；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）；⑤4am2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有 　①③④⑤　 .（填写序号） 【分析】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到abc＞0，即可判断①； 根据抛物线对称轴方程可得a+b＝0，即可判断②； 根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0）以及c＜0，得到4a+2b+3c＜0，即可判断③； 先根据a+b＝0和4a+2b+c＝0得c＝﹣2a，再根据对称性可知：抛物线过（﹣1，0），即可判断④； 根据b＝﹣a，把b换成﹣a，提公因式，分解因式，根据平方的非负性即可判断⑤． 【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x，即对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， ∵抛物线与y轴交在负半轴上， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x， ∴， ∴﹣2b＝2a， ∴a+b＝0， 故②不正确； ③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∵c＜0， ∴4a+2b+3c＜0， 故③正确； ④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）， ∵， ∴c＝﹣2a， ∴1， ∴当a≠0，无论b，c取何值，抛物线一定经过（，0）， 故④正确； ⑤∵b＝﹣a， ∴4am2+4bm﹣b＝4am2﹣4am+a＝a（4m2﹣4m+1）＝a（2m﹣1）2， ∵a＞0， ∴a（2m﹣1）2≥0，即4am2+4bm﹣b≥0， 故⑤正确； 本题正确的有：①③④⑤，共4个． 故答案为：①③④⑤． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）． 13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＞0；③若点，点是函数图象上的两点，则y1＜y2；④．其中正确结论有　②③④　 ． 【分析】根据开口方向、对称轴，与y轴的交点的位置即可判断①；根据二次函数的对称性和图象上点的坐标特征即可判断②；根据二次函数的对称性和增减性即可判断③；通过求得c＝﹣5a，由2＜c＜3，即可判断④． 【解答】解：①∵函数图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝2， ∴， ∴b＝﹣4a＞0， ∵二次函数与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0）， ∴当x＝3时，y＞0， ∴9a+3b+c＞0，故②正确； ③∵函数图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点，点是函数图象上的两点，且， ∴y1＜y2，故③正确， ④∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴x＝﹣1，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， ∴c＝﹣5a， ∵2＜c＜3， ∴2＜﹣5a＜3， ∴，故④正确 故答案为：②③④． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/30 11:51:47；用户：善思博学；邮箱：ssbx11@xyh.com；学号：66067240 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $