江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期中小题练习4

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期中小题练习4 1,sin130°c0sl70°-cos50°sin10°=() A.-3 2 B.3 2 C._ D.2 2.设1，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是() A.若1⊥m,mca,则1⊥a B.若1上a,I∥m,则m⊥a C.若l⊥m,I∥a,则m∥a D.若l∥a,l∥m,则m∥0 3.e,e,是平面内不共线两向量，已知AB=e,-k,,CB=3C+4e,CD=4e+e,若A,B ,D三点共线，则k的值为() A.3 B.-3 C.-2 D.2 4.已知复数z满足z-7=z-7i(z≠0)，则z可能是(） A.1+2i B.2+i C.1+i D.1-i 5如图，四面体ABCD中，AC=3,BD=2,M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线 AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为(） M A B.3 c.v19 D. 或 2 2 2 2 2 6.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若2a2+b2=c2,则tanA的最大值为 () 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 A B. c.3 D.3 3 2 7.(多选)如图，G,N,M,H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点 或所在棱的中点，则表示直线GH,MN是异面直线的图形有（) G M M M,岁N N 图① 图② 图③ 图④ A.① B.② C.③ D.④ 8.(多选)已知向量ā，6满足=3，=2，则下列结论正确的有() A.(2a+3b)1(2a-36 B.若a.b=6,则a∥五 c.a在石方向上的投影狗量为恒6)5 D.若+2-而，则a与硝关角为 9.若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数，则实数a= 10.在ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且c=8,B=T.若ABC有两解，则b的 6 长的取值范围是 2 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 11.若a是第三象限角，且sin(a+P)cosB--sinBeos(a+B)=- ig,则tang 2 12.如图，直三棱柱ABC-A,B,C,中，AA=2,AB=BC=1,∠ABC=90°，点D是BB,中 点，则点C到直线DA的距离是 13.如图，已知扇形A0B半径为1，∠A0B=60°，弧AB上的点P满足 OP=1OA+uOB(2,H∈R),则22+4的最大值是 3 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期中小题练习4解析版 1,sin130°cosl70°-cos50°sin10°=() A.、3 B.3 C. 1 2 2 D·2 【详解】sin130°cos170°-cos50°sin10°=-sin50°cosl0°-cos50°sin10 =-sin(50°+10)=-sin60°=- 2 故选：A 2.设1，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是(） A.若l⊥m,mca,则1⊥a B.若1⊥a,1∥m,则m⊥a C.若l⊥m,l∥a,则m∥ D.若l∥a,l∥m,则m∥ 【详解】对于选项A: 若l⊥m,mca,那么l可能在平面a内，所以A错误； 对于选项B: 因为1⊥a,l/1m,所以m⊥a,所以B正确 对于选项C: 若l⊥m,l11a,那么m可能在平面a内，所以C错误； 对于选项D: 若l11a,l11m,那么m可能在平面内，所以D错误 故选：B 3.e,e,是平面内不共线两向量，已知AB=e,-ke,,CB=3e+4e,CD=4e,+e,若A,B ,D三点共线，则k的值为() A.3 B.-3 C.-2 D.2 【解析】由CB=3e,+4e,CD=4e+e,得BD=CD-CB=e,-3e,, 由A,B,D三点共线，得AB/IBD,又AB=-ke?,e,已不共线 则专所以=3故选：A 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 4.已知复数z满足z-7=z-7i(z≠0)，则z可能是() A.1+2i B.2+i C.1+i D.1-i 【详解】设z=a+bi,则 l2-7=lbi+a-7=B2+(a-72,la+(b-7)1=Va2+(b-7 因为2-7=-7，所以b2+(a-7}2=Va2+(b-72 两边平方得：b2+a2+49-14a=a2+b2-14b+49,解得a=b 从选项中可以看出只有C符合题目条件故选：C 5.如图，四面体ABCD中，AC=3,BD=2,M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线 AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为() A. B.3 C. V19 D. 2 2 2 2 2 【详解】取BC的中点为P,连接PM,PW, 在ABC中，PMAC,且PM=AC=3 2 2 在△BCD中，PN/BD,且PN=BD=1, 2 因为异面直线AC与BD所成角的大小为60， 所以直线PM,PN的夹角为60，则∠MON=60°或120°， 所以在aPMN中， 当∠MPN=60°时，由余弦定理得， 4137 MN=PM+PN:-2PM.PNxc0s60 24,得Mw= 当∠MPN=120°时，由余弦定理得 5 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 9 319 MW2=PM2+PW2-2PM·PW×cos120°=2+1+三= 4 F24,得Mwg 2 故选：D 6.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若2a2+b2=c2,则tanA的最大值为 () A青 B.Z C.3 D.3 3 2 【详解】法-：由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcosC=2a2+b2,所以a=-2 bcosC, 即sinA=-2 sinBcosC,又sinA=sinB+C）,代入可得：sin(B+C)=-2 sin B cos C, 化简得sin B cosC+cos B sin C=-2 sin B cosC,解得tanC=-3tanB, 故tanM=-tan(B+C)=, 2tanB 2 1+3tan2B 1 +3tanB tanB 因为cosC=-a<0,所以<C<,所以0<B< 2b 5所以anB∈0，tw). 所以1 tanB +3anB≥25，当且仅当=3anB,即anB=5时取等号 tanB 2 所以tan4=1 +3tanB 3,所以最大值为3 3 tanB 法二：由余弦定理得。 sd=+c2-a C、+2b√3bC 2bc 2bc 2bc 2 所以0<As石，则an15 6 所以最大值为 .故选：C 3 3 7.(多选)如图，G,N,M,H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点 或所在棱的中点，则表示直线GH,MN是异面直线的图形有（） 6 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 图① 图② 图③ 图④ A.① B.② C.③ D.④ 【详解】图①中，直线GH∥MN;图②中，G,H,N三点共面，但ME平面GHN, NEGH,因此直线GH与MN异面； 图③中，连接GM(图略)，GM∥HN,因此GH与MN共面； 图④中，G,M,N三点共面，但HE平面GMN,GEMN,因此直线GH与MN异面； 所以在图②④中，GH与MN异面 故选：BD 8.(多选)已知向量ā，6满足个=3，=2，则下列结论正确的有（) A.(2a+36)1(2a-3b) B.若a.b=6,则a∥ C.a在石访向上的投影向量为a,5列方 D.若i+6=厅，则a与2的夹角为 【详解】对于A:因为(2a+36)2a-36)=42-9奶2=4-95=4x9-9×4=0,所以 2a+3b12a-36,故A正确： 对于B:因为ab=6,所以ā万=a5c0s0=3×2xcos0=6→cos0=1,因为 0≤0≤元，→0=0→ā11b,故B正确； 对于C:a在万方向上的技影向星为6-5列6，放c错误 对于D:因为a+2b=3,所以 a+26=V→a2+4a.6+462=9+24cosa,6+16=13→cosa,6=-1 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 2π 因为0≤a,6≤r,所以ā与五的夹角为号，故D正确 故选：ABD 9.若复数(1+ai)2+i)是纯虚数，则实数a= 【详解】因(1+ai)(2+i)=2-a+(1+2a)i, 要使其为纯虚数，需使2-a=0且1+2a≠0，解得a=2· 故答案为：2 10,.在ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且c=8,B=交.若ABC有两解，则b的 6 长的取值范围是 【详解】如图，过A作AH垂直BC所以直线于H, 因为c=8,B=元，则AH=csin B=8sin=4, 6 6 又ABC有两解，则4<b<8, H 故答案为：4<b<8 1若a是第三象限角，且sma+例eosB--sinpcos(a+-B=音，则tam号 2 【洋解1sna+eosB-sinpcola+=sn[a+j-B]=sna=各 由于a是第三象限角.所以cosa=--sin2a=-12 13' 0 sin- 所以an=2 sin2a 1-cosa 1412 2 =，2 =1-cosa 13=-5 2 2sina sina s2 sin cos 1 cos- 、 2 13 故答案为：-5 8 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 12.如图，直三棱柱ABC-A,B,C,中，AA=2,AB=BC=1,∠ABC=90°，点D是BB,中 点，则点G到直线DA的距离是 B 【详解】连接CD, 夕 因为AB=BC=1,∠ABC=90°，点D是BB,中点，AA=2, 所以AC=√AB2+BC2=√P+1P=√2，AC,=AC=V2, 又因为AD=√4B+B,D2=VP+1P=V2,CD=√CB+BD2=P+1=V2, 所以△A,DC,是边长为√2的等边三角形， 取AD的中点，连接C,E, 则CE⊥A,D, 所以C,E的长即为点C到直线DA的距离， 又因为△ADC,是边长为√2的等边三角形 所以CE=5x2-6 2 故答案为：6 9 高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 13如图，已知扇形A0B半径为1，∠A0B=60°，弧AB上的点P满足 OP=λOA+uOB(2,u∈R),则2元+u的最大值是 B 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 0 B 04号90. 设POB=0∈[0，]， (os.in)(=(1).OP=(cos0.sin0) (R)(cos0,sin0)=(+(0). 即co0=子+4，n6=、解得2- sin0,u=cos0-1 sin0 3 3 故a以+-5as4owa=a50:-20r号 所以当0=亚时，(2元+=2 3 故答案为：2 10