精品解析：广东深圳市光明区光明中学2025-2026学年高二下续期期中考试数学试题

2025-2026高二下学期数学期中考试试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 2. 给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后2个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有 A. 8本 B. 9本 C. 12本 D. 18本 3. 已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，该运动员的滑雪速度为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式的第7项为（ ） A. B. 35 C. D. 5. 在单调递减的等比数列中，若，，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 180种 B. 192种 C. 300种 D. 420种 8. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分、部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 10. 下列数中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的极值点为 B. 的极大值为 C. 的最大值为 D. 只有1个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12. 已知，则__________． 13. 函数在上是增函数，则的取值范围是_____________. 14. 已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值． 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. （1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场； （2）2个舞蹈节目不相邻； （3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 18. 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列. （1）若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求； （2）若，且满足， （i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论； （ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高二下学期数学期中考试试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】由可得， 故选：C 2. 给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后2个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有 A. 8本 B. 9本 C. 12本 D. 18本 【答案】D 【解析】 【分析】先安排首字符，再安排后面的两个字符，再利用分步计数乘法原理求解. 【详解】先安排首字符有种，再安排后面的两个字符有种， 所以由分步计数原理得，不同的编号共有种， 故选：D 3. 已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，该运动员的滑雪速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，对求导，再将代入求解即可. 【详解】因为，所以， 故， 所以该运动员的滑雪速度为. 故选：B. 4. 的展开式的第7项为（ ） A. B. 35 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据展开式通项写出第7项即可． 【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以的展开式的第7项为． 故选：A． 5. 在单调递减的等比数列中，若，，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得，结合条件即求. 【详解】设等比数列的公比为，则 由，，得 ，解得或， 又单调递减， 故，. 故选：A. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除BD，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故排除BD； 当时，，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以函数在上单调递增，故排除C 故选：A. 7. 现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ） A. 180种 B. 192种 C. 300种 D. 420种 【答案】D 【解析】 【分析】先涂区域，再涂区域，然后涂区域，分区域与区域同色、区域与区域不同色两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】先涂区域有种选择，再涂区域有种选择，然后涂区域有种选择， 若区域与区域同色，此时区域有种选择， 若区域与区域不同色，则区域有种选择，区域有种选择， 故有种涂色方法. 故选：D 8. 过点作曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分、部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】设公比为，则，解得，故， 则，. 对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，为常数，故C正确； 对D，，，故为等比数列，故D正确； 故选：ACD 10. 下列数中，与不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的运算分别计算，即可得到答案. 【详解】， A选项，，与不相等； B选项，，， 所以， 与不相等； C选项，； D选项，. 故选：AB. 11. 已知函数，则（ ） A. 的极值点为 B. 的极大值为 C. 的最大值为 D. 只有1个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导函数可得，进而可求函数的极值，可判断ABC，利用对数函数的性质可判断D. 【详解】∵函数， ∴， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴是函数的极大值点，函数在上取得极大值，，且为函数的最大值，故Ａ错误，BC正确； 又因为，且当时，，当时，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法求得、，即可求值. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 13. 函数在上是增函数，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数单调性与导数的关系，得在上恒成立，由此求解即可． 【详解】∵函数，∴， ∵函数在上是增函数， ∴在上恒成立， ∴，解得， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______. 【答案】 ①. 2 ②. 3989 【解析】 【分析】将数列各项排成三角数阵，确定的位置，可得出的值，确定数列的前项中，项的值为的项数，即可求得的值. 【详解】由题意，将数列各项按如下数阵排列： 其中第行有项， 则该数阵中第行最后一项对应数列中的第项， 因为，且， 所以位于数阵的第行第项，故， 数列的前项中，项的值为的共项，项的值为的共项， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）最大值为16，最小值为. 【解析】 【分析】(1)利用导数求解函数的单调区间即可. (2)利用导数求解函数在闭区间上的最值即可. 【小问1详解】 令.则， 则当和时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为 【小问2详解】 由(1)知当时，取极大值为，当时，取极小值为， ，则在上最大值为16，最小值为. 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 时，，整理得，而， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得， 所以. 17. 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. （1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场； （2）2个舞蹈节目不相邻； （3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 【答案】（1）1200 （2）3600 （3）3456 【解析】 【分析】（1）采用分步计数原理，特殊元素先排计算出结果即可； （2）采用分步计数原理，特殊元素先排，再用插空法即可； （3）先分三类，一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目；另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目；最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个；再分步计算，最后求和即可. 【小问1详解】 按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步： 先排第1个节目，有种安排方法， 再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法， 最后余下的节目随便排，有种排法， 由分步计数原理得共有种排法. 【小问2详解】 先排非舞蹈节目，有种排法， 将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法， 故种排法. 【小问3详解】 前3个节目共三种情况： 一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法， 另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法， 最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个，有种排法， 故共有种排法. 18. 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列. （1）若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求； （2）若，且满足， （i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论； （ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）1，4，9，16；，； （2）（i）不是，证明：若，且满足，可得， 即，即有， 可得数列是首项和公比均为3的等比数列，即有，即， 可得，，不为非零常数，故不为二阶等差数列； （ii） 【解析】 【分析】（1）由二阶等差数列的定义，计算可得数列的前4项，由数列恒等式和等差数列的求和公式，可得； （2）（i）由数列的递推式推得，由等比数列的通项公式求得，，，由二阶等差数列的定义，可得结论；（ii）由等比数列的求和公式可得，由数列的单调性和不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【小问1详解】 若，，， 则，即， 由，可得， 则，可得，，解得， 由， 可得， 上式对也成立，即有，； 【小问2详解】 （i）略 （ii）数列的前n项和， 不等式，即，即为对恒成立． 设，， 当时，，当时，可得，即有， 可得数列中最小项为， 则，即有，则实数的取值范围是 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）（i） （ii）由，可得，即证，即证， 不妨设，因为， 由（i）知，， 令，则且， 又因为，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 所以等价于，即， 即为， 令，则， 所以在单调递增，所以， 即，可得，所以，即可得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，令，求得，得到的单调性，进而求得函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解. （2）（i）由题意得，令，求得，得到在单调递增，再令，得到在有2个零点，且，进而得到，求得函数，即可求解； （ii）根据题意，转化为证明，设，得到，令，求得，得到，进而转化为，令，利用导数求得单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 令，则， 当时，；当，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为时，，则，， 所以当时，；， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 解：（i）由函数， 令，因为，所以在单调递增， 令，即在有2个零点，且， 因为，所以时，，在单调递增， 此时不存在2个零点，所以， 因为时，；时，，所以在单调递减， 在单调递增，因为时，；时，， 所以，所以． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $