精品解析：湖北襄阳市第二十七中学等校2025-2026学年下学期九年级4月调研考试数学试卷

2026年下学期湖北省襄阳市樊城区部分学校4月调研考试数学试卷 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先理解题意，观察数轴，得出，，再逐项判断即可． 【详解】解：观察数轴，得出，， A、∵，∴，原结论错误，不符合题意； B、∵，，∴，原结论正确，符合题意； C、∵，，∴，原结论错误，不符合题意； D、∵，，∴，原结论错误，不符合题意． 2. 如图所示的几何体，左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图定义，左视图是从左面观察几何体得到的平面图形，需分析几何体的前后排数及每排的最高层数． 【详解】解：观察几何体可知，该几何体由小正方体堆积而成，分为前后两排．从左面看（左视图）：视线方向从左向右，看到的图形列数对应几何体的排数（前后方向）．左视图的左列对应几何体的后排，左视图的右列对应几何体的前排． ∵几何体后排左侧有层小正方体， ∴左视图的左列有个正方形，竖直排列． ∵几何体前排右侧有层小正方体， ∴左视图的右列有个正方形，位于下层． 综上所述，左视图应为左列层、右列层（靠下）的图形，与选项D相符． 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，选出结果为的选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，运算结果不是，A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，，结果不是，B错误； 选项C：根据同底数幂乘法法则，，结果为，C正确； 选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不是，D错误； 故选：C． 4. 若一元二次方程的两根分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出方程求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 解得． 5. 如图是一个化学实验某一步骤的截面示意图，其中液面，一根粗细均匀的玻璃棒（直线）分别交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B. 三点确定一个圆是必然事件 C. 平面内任意三点可以画三个平行四边形是必然事件 D. “明天的地方会降雨”表示明天一定会降雨 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、∵掷一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种不确定的结果，∴正面朝上是随机事件，A正确； B、∵只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，∴三点确定一个圆不是必然事件，B错误； C、∵若三点在同一直线上，无法画出平行四边形，∴平面内任意三点可以画三个平行四边形不是必然事件，C错误； D、∵“明天的地方会降雨”表示降雨范围的可能性，不是一定会降雨，∴D错误． 7. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据菱形的性质得出，，进而求出，在中利用勾股定理和含角的直角三角形性质求出，的长，从而得出的长，即可确定点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案. 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故选：D ． 9. 已知，按如下步骤操作： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线； ②在上任取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点，，； ③连接，．则下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. 垂直平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及推论，垂径定理，平行线的判定和性质．解题的关键是灵活运用以上知识点解决问题． 选项：根据作图可得，根据圆周角定理，可得，进而可得； 、选项：通过证明，得到，根据圆周角定理的推论和三角形中位线定理，得到垂直平分线段，继而根据垂径定理，得到； 选项：根据不一定等于，得到不一定等于． 【详解】解：由作图可知， 又， ，选项正确，不符合题意； ， ， ， 如图，设和交于点， ， 又， ， 垂直平分线段，，选项、正确，不符合题意； 的度数未知，和互余，但不一定等于， 不一定等于，选项符合题意． 故选：． 10. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个长方形的长是宽的倍，设宽为，则这个长方形的周长为____．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据长是宽的倍，以及长方形的周长公式，列出代数式即可. 【详解】解：设宽为，则长为， ∴长方形的周长为. 12. 已知点、都在反比例函数的图象上，且当时，，则的值可以是_________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．就根据题意，结合反比例函数的增减性，可得k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵ 点、都在反比例函数的图象上，且当时，， ． 则k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 为保障学生们安全有序进出校园，学校在校门口开设了A，B，C三个人脸识别通道．小红和小军两位同学在不同的时间入校并各随机选取一个通道进入校园，则这两位同学所选择的通道相邻的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表或画树状图求概率，根据题意列出表格，得出一共有9种可能，其中通道相邻的有，，，，一共4种可能，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解∶根据题意列表如下： A B C A B C 一共有9种可能，其中通道相邻的有，，，，一共4种可能， 故这两位同学所选择的通道相邻的概率为：， 故答案为： 14. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则，先计算括号内的加法，再计算除法，即可求解． 【详解】解： ． 15. 如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是__________ ； （2）c处的数值等于__________． 【答案】 ①. 1 ②. 10 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；即可求解． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E， ∴， ∴， 在中，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴， ∴， 故答案为∶1；10． 三、解答题（共72分） 16. 计算：． 【答案】11 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，，，垂足分别为B，E．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用证明，即可证得． 【详解】略 18. 如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度．兴趣小组在海拔的A处，测得气象雷达站顶端B的仰角为，气象雷达站底端C的仰角为，已知气象雷达站顶端B点的海拔约为，求气象雷达站的高度．（参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，由得，再通过解可求出，进而可求出的高度． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后、数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表： 类别 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 a 95 八年级 92.5 97 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“”“>”或“”）； （2）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为300人和360人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好？请说明理由． 【答案】（1），， （2）456人 （3） 解：我认为七年级的参赛学生掌握得较好． 因为七年级的平均成绩大于八年级，且七年级成绩的方差小，更稳定，故七年级的参赛学生掌握得较好． 【解析】 【分析】（）先统计七年级成绩中出现次数最多的数，确定众数；再将八年级成绩排序，取中间两个数的平均数得到中位数；最后通过观察成绩分布，判断七年级成绩更集中，得出七年级方差小于八年级方差的结论； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）根据平均数和方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：七年级名学生成绩： 出现次数最多的是， 因此众数； 列出八年级名学生成绩，从小到大排序：， 中位数为第个数的平均数，即； 观察成绩分布：七年级成绩更集中，波动更小， 因此方差； 【小问2详解】 解:（人)， 答：估计七八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为人． 【小问3详解】 略 20. 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 活动一图1是2026年3月的月历，用平行四边形框选取了其中的9个数． （1）移动平行四边形框，若框中的部分数如图2所示，则_____，_____； （2）移动平行四边形框，若框中的部分数如图3所示，则_____，_____；（用含的代数式表示） 活动二移动平行四边形框，选取月历中的9个数，将其放入的正方形网格中，并调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若平行四边形框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则_____，______； （4）若平行四边形框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则_____（用含的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）， （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知： 【小问2详解】 解：由图可知：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵9个数的和为 ∴每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于 ∴， 设右上角的数字为，则 ∴，即 解得： 【小问4详解】 解：最小的数是，则最大数为， 其他数分别为， ∵9个数的和为 ∴每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于 ∵中间列，中间行和两条斜对角线上的三个数的和的总和是三行之和加中间数的三倍， ∴ ∴ 21. 已知：如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，长为半径作． （1）求证：是的切线； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）证明：如图，过点作于， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）过点作于，利用角平分线的性质证明即可求证； （）由得，再根据正弦的定义及勾股定理可得，即得，即得到，同理得到，最后根据勾股定理解答即可求解； 本题考查了角平分线的性质，切线的判定，锐角三角函数等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴同理可得， ∴． 22. 近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费270元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费140元． （1）求A，B两款机器人玩具的单价； （2）某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折． ①若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ ②若购买A款机器人玩具的数量不少于B款机器人玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）A款机器人玩具的单价为110元，B款机器人玩具的单价为80元． （2）①最多购买A款机器人玩具12个；②当购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个最省钱． 【解析】 【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为x元，B款机器人玩具的单价为y元，根据题中的等量关系列方程组求解即可； （2）①设购买A款机器人玩具m个，则B款机器人玩具个，再根据“预算不超过1200元”列不等式解题即可；②设购买A款机器人玩具n个，则B款机器人玩具个，列不等式求出n的取值范围，然后取整数设计方案即可． 【小问1详解】 解：设A款机器人玩具的单价为x元，B款机器人玩具的单价为y元， 由题意得：，解得：， 答：A款机器人玩具的单价为110元，B款机器人玩具的单价为80元． 【小问2详解】 解：①设购买A款机器人玩具m个，则B款机器人玩具个， 由题意得：， 解得：， ∵m取正整数， ∴m的最大值为12， 答：最多购买A款机器人玩具12个． ②设购买A款机器人玩具n个，则B款机器人玩具个， 由题意得：，解得：， ∴， ∵n取正整数， ∴n可取的值为11，12，13， 方案一：购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个； 总费用：元； 方案二：购买A款机器人玩具12个，则购买B款机器人玩具2个； 总费用：元， 方案三：购买A款机器人玩具13个，则购买B款机器人玩具1个； 总费用：元， ∵， ∴当购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个最省钱． 23. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）【特例感知】如图1，当时，点在延长线上，求证：； （2）【问题探究】在（1）的条件下，若，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，当时，点在边上． ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②若，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵点与点关于直线的对称, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）４ （3）①；② 【解析】 【分析】（）利用点的对称性和平行线的性质找出对应的角相等，解出答案． （）利用小问中的全等，得到新的条件，证明，得到，最后利用方程思想和相似解出答案． （）①同小问中证全等的方法，证，利用相似三角形对应边成比例解出答案． ②作辅助线，利用方程思想，将题中的线段设出来，经过两次８字模型的相似，求出的代数式，第三次利用相似解出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ，即， ∵， ∴，解得， ∴． 【小问3详解】 ①解：∵点与点关于直线的对称, ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，点Ａ、F、P共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴． ②解：如图所示，延长线段交的延长线于点, ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴，解得， 则， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形与相似三角形的综合，解题的关键点是能找出线段是已知条件的相似三角形，得出新的条件，再利用相似和方程思想解题． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． （1）求a的值； （2）判断的形状，并说明理由； （3）定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 【答案】（1） （2） 是直角三角形，理由如下： 由（1）得：抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 对于， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）①有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，；②，或 【解析】 【分析】（1）求出点A的坐标，即可； （2）求出点B，C的坐标，再利用勾股定理逆定理解答即可； （3）①分三种情况：当顶点G，H都在边上时，只有一个顶点H落在上时，当点E与点C重合时，结合相似三角形的判定和性质解答即可；②结合①，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴， ∴点， 把点代入得： ，解得：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当顶点G，H都在边上时，如图，设与交于点K， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴．， ∴， ∴，即， ∴； 当顶点G在边上，顶点H在边上时，如图， 此时点F与点C重合， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E与点C重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，； ②有两个顶点G，H落在上时，， 只有一个顶点H落在上时，； 当点E与点C重合时，点G在上，， ∴当或或时，矩形的面积最大， 当时，，，即点E的纵坐标为1， 当时，，解得：， ∴矩形在边上的顶点的坐标分别为，； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点H为的中点， ∴点H的坐标为； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点G为的中点， ∴点G的坐标为； 综上所述，矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标为，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期湖北省襄阳市樊城区部分学校4月调研考试数学试卷 一、选择题．（每小题3分，共30分） 1. 已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程的两根分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个化学实验某一步骤的截面示意图，其中液面，一根粗细均匀的玻璃棒（直线）分别交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B. 三点确定一个圆是必然事件 C. 平面内任意三点可以画三个平行四边形是必然事件 D. “明天的地方会降雨”表示明天一定会降雨 7. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（ ） A. B. C. D. 9. 已知，按如下步骤操作： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线； ②在上任取一点，以点为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点，，； ③连接，．则下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. 垂直平分 D. 10. 如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个长方形的长是宽的倍，设宽为，则这个长方形的周长为____．（用含的式子表示） 12. 已知点、都在反比例函数的图象上，且当时，，则的值可以是_________．（写出一个即可） 13. 为保障学生们安全有序进出校园，学校在校门口开设了A，B，C三个人脸识别通道．小红和小军两位同学在不同的时间入校并各随机选取一个通道进入校园，则这两位同学所选择的通道相邻的概率为_____． 14. 计算：_____． 15. 如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是__________ ； （2）c处的数值等于__________． 三、解答题（共72分） 16. 计算：． 17. 如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，，，垂足分别为B，E．求证：． 18. 如图是衢州石门山顶气象雷达站，某校数学兴趣小组开展综合实践活动，测量气象雷达站的高度．兴趣小组在海拔的A处，测得气象雷达站顶端B的仰角为，气象雷达站底端C的仰角为，已知气象雷达站顶端B点的海拔约为，求气象雷达站的高度．（参考数据：，，）． 19. 为了增强学生的阅读意识，某校在“世界读书日”组织了名著知识竞赛．竞赛结束后、数学小组从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理，绘制了如下统计图表： 类别 平均数 众数 中位数 方差 七年级 93.2 a 95 八年级 92.5 97 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“”“>”或“”）； （2）已知在这次竞赛活动中，七、八年级的参赛人数分别为300人和360人，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校哪个年级的参赛学生名著知识掌握较好？请说明理由． 20. 幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 活动一图1是2026年3月的月历，用平行四边形框选取了其中的9个数． （1）移动平行四边形框，若框中的部分数如图2所示，则_____，_____； （2）移动平行四边形框，若框中的部分数如图3所示，则_____，_____；（用含的代数式表示） 活动二移动平行四边形框，选取月历中的9个数，将其放入的正方形网格中，并调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若平行四边形框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则_____，______； （4）若平行四边形框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则_____（用含的代数式表示）． 21. 已知：如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，长为半径作． （1）求证：是的切线； （2）若，且，求的长． 22. 近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费270元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费140元． （1）求A，B两款机器人玩具的单价； （2）某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折． ①若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ ②若购买A款机器人玩具的数量不少于B款机器人玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 23. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）【特例感知】如图1，当时，点在延长线上，求证：； （2）【问题探究】在（1）的条件下，若，求的长； （3）【拓展延伸】如图2，当时，点在边上． ①试判断与的数量关系，并说明理由． ②若，直接写出的值． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． （1）求a的值； （2）判断的形状，并说明理由； （3）定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $