精品解析：2025年湖北省襄阳市保康县中考模拟考试数学试题

保康县2025年中考模拟考试 数学试题 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效，作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷与答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 在数 中 ，最小的一个是（ ） A. 1 B. C. D. 0 2. 右图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 六棱柱 D. 六棱锥 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示放置，并且顶点A、C分别落在直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 了解湖北省中学生的视力和用眼卫生情况，采用全面调查 B. 检查“神舟十八号”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C. 掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D. 买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 7. 我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”大意是：用999文钱买了甜果和苦果共1000个，9个甜果卖11文钱，7个苦果卖4文钱，问买了甜果和苦果各多少个？设买了个甜果，个苦果，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或3 10. 已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（ ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A. 当时，随增大而增大 B. 抛物线的开口向下 C. D. 当时，的取值范围是 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 据新华社消息，截止目前网络平台数据显示，全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元．数据158亿用科学记数法表示为______． 12. 截至2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是__________． 13. 已知正比例函数，且随的增大而增大，请写出符合上述条件的的一个值：________． 14. 某蓄电池的电压36V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为．当时，I的值为______A． 15. 在矩形ABCD（AB＜ BC）的边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若∠CBE＝15°，则＝ ________； （2）如图2，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，＝_________． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算：． 17. 如图在中，交于，， （1）通过图中的作图痕迹判断四边形的形状并证明你的结论； （2）请你添加一个条件使得四边形为正方形（不再添加新的辅助线和特殊点）． 18. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 19. 在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：69，72，72，73，74，74，74，74，76，76，78，89，96，97，97，98，98，99，99，99． 八年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：65，68，70，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：．绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84.2 a 74 12.1 八年级 86 88.5 b 10.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）_________，_________； （2）补全频数分布统计图； （3）七年级有300人参加测试，八年级有320人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有_________人； （4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价． 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点和点． （1）求的值； （2）点在x轴上． ①当时，与有何数量关系，直接写出结论； ②若，并且为锐角，直接写出的取值范围． 21. 如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 22. 综合与实践 【材料阅读】我们知道，，展开移项得，当时，取到等号；我们可以利用它解决形如“（，为常数且）的最小值”问题． 例如：求式子的最小值． 解：，当时，即时，式子有最小值，最小值为4 【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积和篱笆总长与的长度之间的关系进行了研究分析． （1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求的值； （2）当篱笆总长为时， ①写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； ②当取何值时，有最大值？最大值是多少？ （3）当面积为时，关于的函数解析式为，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量的取值范围为多少时，随的增大而减小？（直接写出的取值范围） 23. 在中，，将绕点A旋转得到，连接对应点，． （1）如图1，求证：． （2）当经过的中点F时． ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，延长交于点G，当时，判断线段，的数量关系，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴交于、两点，交轴于，顶点为．点在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）当点都在第一象限时，，求的值； （3）设此抛物线点与点之间的部分（包括点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， ①求关于的函数解析式； ②当随增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保康县2025年中考模拟考试 数学试题 （本试题共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效，作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷与答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答． 1. 在数 中 ，最小的一个是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由正数大于零，零大于负数，负数的绝对值越大则越小判断即可． 【详解】∵正数大于零，零大于负数，负数的绝对值越大越小， ， ∴， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了比较实数的大小，掌握正数大于零，零大于负数，负数的绝对值越大则越小的法则是关键． 2. 右图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ） A. 正方体 B. 长方体 C. 六棱柱 D. 六棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定几何体的名称，根据题意这个几何体的三视图为长方形和正六边形，即可求解，熟记常见几何体的三视图的特征是解题的关键． 【详解】解：∵这个几何体的三视图为长方形和正六边形， ∴该立体图形是六棱柱， 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，及将解集在数轴上表示．解出一元一次不等式的解集，即可解答． 【详解】解：， 移项及合并，得 ， 系数化为1，得 ， 在数轴上表示如图所示： 故选C． 5. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示放置，并且顶点A、C分别落在直线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，过点B作，则，由平行线的性质得到，，再由三角形内角和定理求出，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 了解湖北省中学生的视力和用眼卫生情况，采用全面调查 B. 检查“神舟十八号”载人飞船上某种零部件，采用抽样调查 C. 掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件 D. 买一张体育彩票，中一等奖是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，事件的分类，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据以上知识逐一分析即可． 【详解】解：A、了解湖北省中学生的视力和用眼卫生情况，采用抽样调查，说法不符合要求； B、检查“神舟十八号”载人飞船上某种零部件，采用全面调查，说法不符合要求； C、掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面是正面是随机事件，原说法正确，符合要求； D、买一张体育彩票，中一等奖是随机事件，说法不符合要求； 故选C． 7. 我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”大意是：用999文钱买了甜果和苦果共1000个，9个甜果卖11文钱，7个苦果卖4文钱，问买了甜果和苦果各多少个？设买了个甜果，个苦果，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据一共买了1000个果子可得方程，根据9个甜果卖11文钱，7个苦果卖4文钱可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：设买了个甜果，个苦果， 由题意得，， 故选：B． 8. 如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，求角的余弦值，根据圆的基本性质和垂径定理得到，再根据余弦的定义可得答案． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先根据一元二次方程根与系数的关系求得或，再将或代入原方程中利用根的判别式即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 即：， ， 解得：或， 当时，原方程为：， ，则不符合题意； 当时，原方程为：， ，则符合题意； 综上所述，的值为， 故选A． 10. 已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（ ） … 0 1 2 3 … … 3 0 3 … A. 当时，随增大而增大 B. 抛物线的开口向下 C. D. 当时，的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和对应的函数值相等，可得对称轴对直线；根据对称轴两侧数据的变化，可得抛物线的开口方向；根据对称性可得和对应的函数值相等，进而可得m的值；根据抛物线与x轴的交点情况及开口方向，可得时，的取值范围． 【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线， ∴和对应的函数值相等， ∴，故选项C错误，不符合题意； 时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的开口向上，故选项B错误，不符合题意； 对称轴为直线，开口向上， ∴时，y随x的增大而增大，故选项A错误，不符合题意； 当时，的取值范围是，故选项D正确，符合题意； 故选D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 据新华社消息，截止目前网络平台数据显示，全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破158亿元．数据158亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：151亿． 故答案为：． 12. 截至2024年9月，我国共13位共和国勋章获得者，老师制作了正面分别书写有孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者为国奉献的事迹的四张卡片，除此之外背面完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用树状图和列表法求概率，解题的关键在于根据题意画出树状图．利用树状图展示12种等可能的结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算，即可解题． 【详解】解：记孙家栋、于敏、袁隆平、黄旭华四位共和国勋章获得者分别为A，B，C，D， 根据题意可画树状图如下： 由图知，共有12种等可能的结果数，其中两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的有2种结果， 所以两张卡片上分别写有袁隆平和黄旭华事迹的概率是． 故答案为：． 13. 已知正比例函数，且随的增大而增大，请写出符合上述条件的的一个值：________． 【答案】（不是唯一值） 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，当时，随的增大而增大，即可． 【详解】∵正比例函数，当时，随的增大而增大， ∴即满足题意， 故答案为：（不是唯一值）． 【点睛】本题考查正比例函数的知识，解题的关键是掌握正比例函数的图象和性质． 14. 某蓄电池的电压36V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的函数表达式为．当时，I的值为______A． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，把代入中求出I的值即可． 【详解】解；在中，当时，则， 故答案为：4． 15. 在矩形ABCD（AB＜ BC）的边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若∠CBE＝15°，则＝ ________； （2）如图2，延长EF，与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，＝_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得BF=BC，∠AFB=2∠CBE=30°，从而可得BC=2AB，即可得结果； （2）过N作NG⊥BF于点G，则易得AN=GN，AB=BG，△NFG∽△BFA，由对应边成比例可得BG=2NG，设AN=a，FD=b，则在Rt△NFG中，由勾股定理可得a，b的关系，从而可求得结果． 【详解】（1）根据折叠的性质，得BF=BC，∠FBE=∠CBE=15° ∴∠FBC=∠FBE+∠CBE=30° ∵四边形ABCD是矩形 ∴BC∥AD ∴∠AFB=∠FBC=30° ∵∠A=90° ∴BF=2AB ∴BC=2AB ∴ 故答案为： （2）过N作NG⊥BF于点G，如图 ∵BM平分∠ABF，AD⊥AB，NG⊥BF ∴AN=GN ∵BN=BN ∴Rt△ABN≌Rt△GBN ∴BG=AB ∵∠NGF=∠A=90°，∠NFG=∠BFA ∴△NGF∽△BAF ∴ ∵NF=AN+FD ∴AD=BC=2NF ∴AB=2GN 设AN=GN=a，FD=b，则NF=a+b，AB=2a，AD=BF=BC=2a+2b ∴FG=BF-BG=2b 在Rt△NFG中，由勾股定理得： 即 即 ∴BC= ∴ 故答案为:． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质及折叠的性质是解决本题的关键所在． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和零指数幂，最后去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． 17. 如图在中，交于，， （1）通过图中的作图痕迹判断四边形的形状并证明你的结论； （2）请你添加一个条件使得四边形为正方形（不再添加新的辅助线和特殊点）． 【答案】（1） 解：四边形为菱形． 理由如下：通过作图可知，为的角平分线， ， 四边形为平行四边形， ， ． ， ． 四边形为平行四边形， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． （2）当时，四边形为正方形 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的判定证明，再证四边形为平行四边形，从而得四边形为菱形． （2）根据正方形的判定求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，四边形为正方形， ∵，由（）得四边形为菱形， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，等角对等边，尺规作角平分线，菱形的判定，熟练掌握正方形的判定，尺规作角平分线，菱形的判定是解题的关键． 18. 综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据等腰三角形的性质计算出的值； （2）利用锐角三角函数求出长，然后根据计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由题可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19. 在某校科技节活动期间，学校组织了科普知识竞赛．现从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行统计、分析，过程如下： 【收集数据】 七年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：69，72，72，73，74，74，74，74，76，76，78，89，96，97，97，98，98，99，99，99． 八年级20名同学的竞赛成绩统计（单位：分）：65，68，70，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99． 【整理、描述数据】 将抽取的两个年级的成绩分别进行整理，分成A，B，C，D四组，用x表示成绩，A组：，B组：，C组：，D组：．绘制出了如下统计图． 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84.2 a 74 12.1 八年级 86 88.5 b 10.3 根据以上信息，解答下列问题： （1）_________，_________； （2）补全频数分布统计图； （3）七年级有300人参加测试，八年级有320人参加测试，若测试成绩不低于80分的为优秀，估计七、八年级测试成绩优秀的共有_________人； （4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对七、八年级测试成绩进行评价． 【答案】（1）77，89 （2）补图如图所示． （3）359 （4）解：从平均数来看，估计八年级学生平均分比七年级学生平均分高；从中位数来看，估计七年级至少有一半的学生成绩不低于7，八年级至少有一半的学生成绩不低于88.；从众数来看，估计七年级得7的最多，八年级得8的最多；从方差来看，估计八年级成绩比七年级成绩更集中． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义及意义、条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出七年级得分为C组的人数，再补全直方图即可； （3）分别用七、八年级的学生人数乘以优秀成绩的学生占比，相加即可； （4）根据平均数、中位数、众数和方差的意义分析即可． 【小问1详解】 解：七年级成绩从小到大排列局域中间的两个数为76，78，故； 八年级学生成绩89出现次，次数最多，故， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：八年级C组的人数为：， 图略， 【小问3详解】 解：估计七、八年级测试成绩优秀的为：人， 故答案为：； 【小问4详解】 略 20. 如图，正比例函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于点和点． （1）求的值； （2）点在x轴上． ①当时，与有何数量关系，直接写出结论； ②若，并且为锐角，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把代入求出m的值，把代入求出k的值即可； （2）①根据关于原点对称点的特点进行解答即可； ②过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，求出当时，，根据当点P在x轴正半轴上时，点P越向右运动越小，得出当时，为锐角． 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴， 把代入得：； 【小问2详解】 解：①根据解析（1）可知：反比例函数解析式为， 令， 解得：或， 经检验或是原方程的解， ∴点， ∵点， ∴点A、B关于原点对称， ∵当时，点P的坐标为， ∴此时点P在原点， ∴； ②过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： 则，，，，，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：，（舍去）， 经检验是原方程的解， ∴当时，， ∵当点P在x轴正半轴上时，点P越向右运动越小， ∴当时，为锐角． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，相似三角形的性质，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 21. 如图1，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为点，连接． （1）求证：是的切线； （2）如图2，分别延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ， 是直径， ， ， 又， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得，由内错角相等证得，进而证得，即可证得结论； （2）设，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理证得，，进而求得，，根据含30度直角三角形的性质求出，根据弧长公式即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 由（1）得，是的切线， ， ， ， 设， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 的长． 22. 综合与实践 【材料阅读】我们知道，，展开移项得，当时，取到等号；我们可以利用它解决形如“（，为常数且）的最小值”问题． 例如：求式子的最小值． 解：，当时，即时，式子有最小值，最小值为4 【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积和篱笆总长与的长度之间的关系进行了研究分析． （1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求的值； （2）当篱笆总长为时， ①写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； ②当取何值时，有最大值？最大值是多少？ （3）当面积为时，关于的函数解析式为，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量的取值范围为多少时，随的增大而减小？（直接写出的取值范围） 【答案】（1）8 （2）①；②当时，有最大值，最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，列一元二次方程求解计算； （2）①根据面积公式列出函数解析式，根据实际意义列出不等式组从而求解； ②根据二次函数的性质分析计算； （3）结合材料利用和数形结合思想分析求解． 【小问1详解】 解：当为时，， ∴，即： 解得， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， 【小问2详解】 解：①当为时， ∴， 又∵，解得， ∴； ② ， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：结合材料，， ∴， 当时，有最小值为，解得（负值舍去）， ∴点P的坐标为 又∵且，解得 综上，当时，随的增大而减小． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． 23. 在中，，将绕点A旋转得到，连接对应点，． （1）如图1，求证：． （2）当经过的中点F时． ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，延长交于点G，当时，判断线段，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． （2）①； ②，理由： 设． ∵，， ∴，，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 由①知，． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）①勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，即可得，结合，得出，即可得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． ②设，根据，，得出，，．证明，得出，，由①知，．即可得．根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，，， ∴． ∵点F是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∴． ②略 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质等知识点．解题的关键是证明三角形相似． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴交于、两点，交轴于，顶点为．点在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）当点都在第一象限时，，求的值； （3）设此抛物线点与点之间的部分（包括点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， ①求关于的函数解析式； ②当随增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）过作于，过作于，可得，，，，，由得，再根据列出方程即可求解； （）由二次函数解析式可得顶点，，，分四种情况结合图形解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴交于、两点，交轴于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过作于，过作于，则， ∵点都在第一象限，在此抛物线上，其横坐标分别为， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为； 【小问3详解】 解：①∵， ∴顶点为， ∵点在此抛物线上，其横坐标分别为， ∴，， 如图，当点都在顶点左侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点在点左侧，在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点在点左侧，在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点都在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； ∴； ②当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， 又∵， ∴； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵， ∴此种情况不存在； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵， ∴； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随增大而增大， ∵， ∴； 综上，当随增大而增大时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $